Pendli faasiportree

Separatriks on ainus trajektoor, mis kunagi lõpuni ei sulgu: see on tee, mille pendel jätab, kui see lastakse lahti täpselt θ = 180° juures nullkiirusega, kõikudes lõpmatuseni ümberpööratud tasakaaluoleku peal, enne kui lõpuks alla vajub. Kuna taastav jõud kaob täpselt tipus, kulub pendlil sealt lahkumiseks lõpmatult kaua aega – seepärast läheneb siin arvutatud täpne periood (elliptilise integraali K(m) kaudu) lõpmatusele, kui θ0 läheneb 180°-le, samal ajal kui lineaarne väikese nurga valem T = 2π√(L/g) jääb täiesti lõplikuks. Iga separatriksi sisemine trajektoor võngub edasi-tagasi; iga sellest väljaspool olev trajektoor – piisava energia korral – lihtsalt jätkab pöörlemist üle tipu, selle asemel et võnkuda.

Selle asemel, et jälgida pendli kõikumist ajas, kannab faasiportree tema nurga vastu nurkkiirust. Iga punkt kirjeldab pendli täielikku olekut ühel hetkel ja seda punkti jälgides joonistub üksainus suletud silmus — üks lõputult korduv võnge. Kogu diagramm näitab korraga kõiki võimalikke liikumisi, nii et õrn kõikumine ja lai kaar asuvad ühel pildil üksteise sisse pesitsetud silmustena. Mida suurem on silmus, seda rohkem energiat pendel kannab.

Täpne periood on 2π√(L/g) / M(1, cos(θ₀/2)), kus M on aritmeetilis-geomeetriline keskmine — arv, mille Gauss leidis, asendades kaks väärtust ikka ja jälle nende hariliku keskmise ja geomeetrilise keskmisega. Mõlemad keskmised lähenevad ülikiiresti, õigete numbrikohtade arv kahekordistub igal sammul, nii et kolm ringi juba tabavad perioodi. Kui θ₀ = 90°, annab see T = 1.18 × T_linear — sama 18% pikenemise, mille annab elliptiline integraal.