See on masintõlge; algne artikkel on inglise keeles. Loe originaali
Valemita algfunktsioon ja pindala täpselt ln 2
Integreeri (x − 1)/ln x nullist üheni. Muutujate vahetus, ositi integreerimine ja osamurrud ei vii siin kuhugi ning selle algfunktsiooni ei saa kirja panna ilma erifunktsioonita. Vastus on täpselt ln 2.
Siin on integraal, mille puhul matemaatilise analüüsi esimese kursuse võtted kuhugi ei vii:
∫₀¹ (x − 1) / ln x dx
Integraalialune funktsioon on täiesti taltsas. Kohal x = 0,5 on see 0,72135, punkti x = 1 lähedal tõuseb tasapisi 1 suunas ja teises otsas vajub 0 suunas. See on x ja 1 logaritmiline keskmine, seega asub see √x ja (1 + x)/2 vahel ning pindala on surutud 2/3 ja 3/4 vahele. Murekoht on algfunktsioon. Välja kirjutatuna vajab see erifunktsiooni: li(x²) − li(x), kus li ehk integraalne logaritm on funktsiooni 1/ln x algfunktsioon ja üks funktsioonidest, mille kohta Liouville'i teooria tõestab, et neid ei saa moodustada astmetest, eksponentfunktsioonidest, logaritmidest ja trigonomeetrilistest funktsioonidest.
Pindala on täpselt ln 2 = 0,693147 ja selle saamiseks kulub kolm rida, kui vaid lakata vaatamast etteantud integraali.
Anna integraalile reguleerimisnupp
Asenda lugejas x avaldisega xᵃ ja vaatle tulemust a funktsioonina:
I(a) = ∫₀¹ (xᵃ − 1) / ln x dx
Otsitav integraal on I(1). Integraal, mille saame kohe välja arvutada, on I(0), sest x⁰ − 1 = 0 ja seega I(0) = 0. Nüüd diferentseeri integraalimärgi all a järgi, käsitledes muutujat x konstandina. Avaldise xᵃ tuletis a järgi on xᵃ ln x ning probleemi lootusetuks teinud ln x taandub välja:
I′(a) = ∫₀¹ xᵃ dx = 1 / (a + 1)
Kasutatava algfunktsioonita integraalist on saanud kõige esimene, mida igaüks õpib. Integreeri uuesti a järgi ja kasuta seost I(0) = 0 konstandi määramiseks:
I(a) = ln(a + 1), seega I(1) = ln 2
Kontrolli seda toore jõuga, integreerides numbriliselt reguleerimisnupu mitme eri asendi juures:
- a = 0,5: 0,405465 ja ln 1,5 = 0,405465
- a = 1: 0,693147 ja ln 2 = 0,693147
- a = 3: 1,386294 ja ln 4 = 1,386294
- a = 9: 2,302585 ja ln 10 = 2,302585
Logaritm tekib avaldise 1/(a + 1) integreerimisest reguleerimisnupu järgi.
See on seesama logaritm, mis täidab astmereegli ainsa lünga n = −1 juures, sisenedes kõrvaluksest.
Teistsugune tööriistakast
Richard Feynman tegi selle meetodi kuulsaks, kasutades seda kõigi teiste integraalide peal. Ta õppis selle koolipoisina Frederick Woodsi raamatust Advanced Calculus, mille oli talle andnud keskkooli füüsikaõpetaja härra Bader, ning ta kirjeldab tulemust raamatus Surely You're Joking, Mr. Feynman!: MIT või Princetoni inimesed tõid talle integraali, millega nad polnud hakkama saanud, tema proovis diferentseerimist integraalimärgi all „ja sageli see töötas“. Põhjuseks tõi ta tööriistakasti, mis oli „teistsugune kui kõigil teistel, ja nad olid juba kõiki oma tööriistu selle peal proovinud, enne kui ülesande mulle andsid“.
Näide, mille Woods ise leheküljel 154 läbi arvutab, on klassikaline. Paiguta avaldise sin x / x ette hääbuv tegur:
J(b) = ∫₀^∞ e−bx sin x / x dx
Diferentseerimine b järgi eemaldab tülika 1/x, jättes järele integraali e−bx sin x, mille lahendab kaks vooru ositi integreerimist, ning tulemuseks on J(b) = π/2 − arctan b. Väärtusel b = 1 on see π/4 = 0,785398 ning numbriline integreerimine klapib kõigil kuuel kohal. Kui lasta b väärtusel kahaneda nullini, viitab valem matemaatilise analüüsi ühele enim tsiteeritud tulemusele: ∫₀^∞ sin x / x dx = π/2. See tulemus on tõene, kuid piirväärtuse võtmine vajab eraldi põhjendust, sest see integraal koondub vaid tingimisi; Conrad pühendab sellele terve lisa.
Sellele viimasele integraalile on vaevaline otse läheneda. Selle algfunktsioon on veel üks erifunktsioon ja pindala vahetu summeerimine koondub teosammul: väärtuseni x = 100 annab see 1,56223, väärtuseni x = 1 000 annab see 1,57023, olles ikka veel 0,0006 võrra maas väärtusest π/2 = 1,570796.
Tingimus ja näide, kus see ei kehti
Diferentseerimine integraalimärgi all ei ole alati lubatud ning kõige selgem näide kasutab sedasama integraali, mille äsja lõpetasime. Venita seda: iga b > 0 korral näitab asendus x = bt, et
∫₀^∞ sin(bx) / x dx = π/2
ükskõik mis b ka poleks. Konstandi tuletis on null. Kuid diferentseeri selle asemel integraali sees ja 1/x taandub teguriga x, mille toob ette liitfunktsiooni tuletise reegel, jättes järele ∫₀^∞ cos(bx) dx. Sellel integraalil puudub väärtus täielikult: selle jooksev summa on sin(bX)/b, mis võngub igavesti väärtuste −1/b ja +1/b vahel. Integreerituna väärtuseni X = 1 000 parameetriga b = 1 seisab see väärtusel 0,8269; pool ühikut edasi väärtusel 0,9953. See ei stabiliseeru kunagi, seega on „reegli“ kaheks pooleks null ja mitte midagi.
Valesti läks kahe piirväärtuse järjekord. Reegel vahetab diferentseerimise integreerimisega ning see vahetus võib luhtuda isegi lõplikul vahemikul; siin teeb selle katki lõpmatu piirkond. Vahetus on tagatult ohutu, kui diferentseeritud integraalialune funktsioon on igal pool ja parameetri kõigi lähedaste väärtuste korral tõkestatud ühe fikseeritud funktsiooniga, mille integraal on lõplik. Conradi märkmetes on esitatud need tingimused ja kogutud juhud, kus need ei kehti. Woodsi versioonis, kui b hoitakse mistahes fikseeritud positiivsest arvust suuremana, teeb tegur e−bx täpselt seda tõkestamistööd, mistõttu on meetod seal õiguspärane, kuid venitatud variandis mitte. Esimene näide läbib kontrolli samuti: avaldise (xᵃ − 1)/ln x diferentseerimine a järgi annab xᵃ, mis lõigul [0, 1] ei ületa parameetri a ≥ 0 korral kunagi väärtust 1.