Dies ist eine maschinelle Übersetzung; die englische Fassung ist das Original. Original lesen
Eine Stammfunktion ohne Formel und eine Fläche von exakt ln 2
Man integriere (x − 1)/ln x von 0 bis 1. Substitution, partielle Integration und Partialbruchzerlegung kommen hier nicht weiter, und seine Stammfunktion lässt sich nicht ohne eine spezielle Funktion angeben. Das Ergebnis ist genau ln 2.
Hier ist ein Integral, bei dem die Methoden eines ersten Analysiskurses nicht weiterkommen:
∫₀¹ (x − 1) / ln x dx
Der Integrand ist vollkommen zahm. Bei x = 0,5 beträgt er 0,72135, nahe x = 1 steigt er gegen 1 an, und am anderen Ende sinkt er gegen 0. Er ist das logarithmische Mittel von x und 1, liegt also zwischen √x und (1 + x)/2, und die Fläche ist zwischen 2/3 und 3/4 eingeschlossen. Die Schwierigkeit liegt in der Stammfunktion. Ausgeschrieben erfordert sie eine spezielle Funktion: li(x²) − li(x), wobei li, der Integrallogarithmus, die Stammfunktion von 1/ln x ist – eine jener Funktionen, von denen Liouvilles Theorie beweist, dass sie sich nicht aus Potenzen, Exponentialfunktionen, Logarithmen und trigonometrischen Funktionen aufbauen lassen.
Die Fläche beträgt genau ln 2 = 0,693147, und der Weg dorthin erfordert drei Zeilen, vorausgesetzt, man schaut nicht mehr auf das vorgegebene Integral.
Dem Integral einen Regler geben
Man ersetze das x im Zähler durch xᵃ und fass das Ergebnis als Funktion von a auf:
I(a) = ∫₀¹ (xᵃ − 1) / ln x dx
Das gesuchte Integral ist I(1). Dasjenige, das sich sofort berechnen lässt, ist I(0), denn x⁰ − 1 = 0 und somit I(0) = 0. Nun leitet man unter dem Integralzeichen nach a ab und behandelt x dabei als Konstante. Die Ableitung von xᵃ nach a ist xᵃ ln x, und das ln x, das die Aufgabe aussichtslos machte, kürzt sich weg:
I′(a) = ∫₀¹ xᵃ dx = 1 / (a + 1)
Aus einem Integral ohne brauchbare Stammfunktion ist das allererste geworden, das jeder lernt. Man integriert wieder nach a und nutzt I(0) = 0, um die Konstante zu bestimmen:
I(a) = ln(a + 1), also I(1) = ln 2
Man prüfe es per Brute-Force durch numerische Integration bei mehreren Einstellungen des Reglers:
- a = 0,5: 0,405465, und ln 1,5 = 0,405465
- a = 1: 0,693147, und ln 2 = 0,693147
- a = 3: 1,386294, und ln 4 = 1,386294
- a = 9: 2,302585, und ln 10 = 2,302585
Der Logarithmus entsteht durch das Integrieren von 1/(a + 1) nach dem Regler.
Es ist derselbe Logarithmus, der die einzige Lücke der Potenzregel bei n = −1 schließt – und hier durch eine Seitentür hereinkommt.
Ein anderer Werkzeugkasten
Richard Feynman machte diese Methode berühmt, indem er sie auf die Integrale aller anderen anwandte. Er lernte sie als Schüler aus Advanced Calculus von Frederick Woods, einem Buch, das ihm sein Physiklehrer an der Highschool, Mr. Bader, gegeben hatte, und er beschreibt das Ergebnis in Surely You're Joking, Mr. Feynman!: Leute am MIT oder in Princeton brachten ihm Integrale, an denen sie gescheitert waren, er versuchte es mit der Differenziation unter dem Integralzeichen, „und oft funktionierte es“. Als Grund nannte er den Werkzeugkasten, der „anders war als der aller anderen, und sie hatten bereits all ihre Werkzeuge daran ausprobiert, bevor sie die Aufgabe an mich übergaben“.
Das Beispiel, das Woods selbst auf Seite 154 durchrechnet, ist der Klassiker. Man setze einen abklingenden Faktor vor sin x / x:
J(b) = ∫₀^∞ e−bx sin x / x dx
Das Ableiten nach b beseitigt das störende 1/x und hinterlässt ein Integral über e−bx sin x, das sich durch zwei Runden partielle Integration lösen lässt; das Ergebnis lautet J(b) = π/2 − arctan b. Bei b = 1 ist das π/4 = 0,785398, und eine numerische Integration stimmt auf allen sechs Stellen überein. Lässt man b gegen null gehen, deutet die Formel auf eines der meistzitierten Resultate der Analysis: ∫₀^∞ sin x / x dx = π/2. Dieses Ergebnis ist richtig, doch der Grenzübergang verlangt ein eigenes Argument, da dieses Integral nur bedingt konvergiert; Conrad widmet ihm einen ganzen Anhang.
Diesem letzten Integral ist auf direktem Weg kaum beizukommen. Seine Stammfunktion ist eine weitere spezielle Funktion, und summiert man die Fläche direkt auf, konvergiert das Verfahren im Schneckentempo: Bis x = 100 liefert es 1,56223, bis x = 1.000 sind es 1,57023 – immer noch 0,0006 unter π/2 = 1,570796.
Die Bedingung und ein Beispiel, bei dem sie versagt
Unter dem Integralzeichen abzuleiten, ist nicht immer zulässig, und die sauberste Demonstration nutzt genau das Integral, das wir eben abgeschlossen haben. Man strecke es: Für jedes b größer als 0 zeigt die Substitution x = bt,
∫₀^∞ sin(bx) / x dx = π/2
ganz gleich, was b ist. Eine Konstante hat die Ableitung null. Leitet man stattdessen im Inneren ab, kürzt sich das 1/x gegen den Faktor x weg, den die Kettenregel herunterbringt, und es bleibt ∫₀^∞ cos(bx) dx. Dieses Integral besitzt überhaupt keinen Wert: Sein laufender Wert ist sin(bX)/b, der für immer zwischen −1/b und +1/b hin- und herpendelt. Bis X = 1.000 mit b = 1 integriert steht es bei 0,8269; eine halbe Einheit weiter bei 0,9953. Es kommt nie zur Ruhe, sodass die beiden Seiten der „Regel“ null und nichts sind.
Was schiefging, ist die Reihenfolge zweier Grenzwerte. Die Regel vertauscht Ableitung und Integration, und diese Vertauschung kann selbst auf einem endlichen Intervall scheitern; hier ist es der unendliche Integrationsbereich, der sie scheitern lässt. Die Vertauschung ist garantiert zulässig, wenn der abgeleitete Integrand überall und für jeden benachbarten Parameterwert durch eine feste Funktion beschränkt wird, deren Integral endlich ist. Conrads Notizen nennen die Bedingungen und sammeln Fälle, in denen sie versagen. In Woods’ Fassung sorgt der Faktor e−bx, solange b über einer fest gewählten positiven Zahl bleibt, für genau diese Beschränkung – weshalb die Methode dort legitim ist und in der gestreckten Version nicht. Auch das erste Beispiel besteht diese Prüfung: Leitet man (xᵃ − 1)/ln x nach a ab, erhält man xᵃ, was auf [0, 1] für a ≥ 0 niemals 1 übersteigt.