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Uma primitiva sem fórmula e uma área de exatamente ln 2
Integre-se (x − 1)/ln x de 0 a 1. A substituição, a integração por partes e as frações simples não levam a lado nenhum, e a sua primitiva não pode ser escrita sem recorrer a uma função especial. O resultado é ln 2, exatamente.
Eis um integral com o qual as técnicas de um primeiro curso de cálculo não levam a lado nenhum:
∫₀¹ (x − 1) / ln x dx
O integrando é perfeitamente dócil. Em x = 0,5 vale 0,72135, perto de x = 1 sobe gradualmente em direção a 1, e no outro extremo desce em direção a 0. É a média logarítmica de x e 1, pelo que se situa entre √x e (1 + x)/2, e a área fica confinada entre 2/3 e 3/4. A dificuldade é a primitiva. Por escrito, requer uma função especial: li(x²) − li(x), em que li, o integral logarítmico, é a primitiva de 1/ln x e uma das funções que a teoria de Liouville demonstra não poderem ser construídas a partir de potências, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas.
A área é exatamente ln 2 = 0,693147, e obtê-la demora três linhas, desde que se deixe de olhar para o integral inicialmente dado.
Dar um manípulo ao integral
Substitua-se o x no numerador por xᵃ e designe-se o resultado como uma função de a:
I(a) = ∫₀¹ (xᵃ − 1) / ln x dx
O integral que pretendemos é I(1). Aquele que conseguimos calcular instantaneamente é I(0), porque x⁰ − 1 = 0 e portanto I(0) = 0. Derive-se agora em ordem a a, sob o sinal de integração, tratando x como uma constante. A derivada de xᵃ em ordem a a é xᵃ ln x, e o ln x que tornava o problema impossível cancela-se:
I′(a) = ∫₀¹ xᵃ dx = 1 / (a + 1)
Um integral sem qualquer primitiva utilizável transformou-se no primeiro que qualquer pessoa aprende. Integre-se de novo em ordem a a e use-se I(0) = 0 para determinar a constante:
I(a) = ln(a + 1), logo I(1) = ln 2
Verifique-se por força bruta, integrando numericamente em várias posições do manípulo:
- a = 0,5: 0,405465, e ln 1,5 = 0,405465
- a = 1: 0,693147, e ln 2 = 0,693147
- a = 3: 1,386294, e ln 4 = 1,386294
- a = 9: 2,302585, e ln 10 = 2,302585
O logaritmo resulta da integração de 1/(a + 1) em ordem ao manípulo.
É o mesmo logaritmo que preenche a única lacuna da regra da potência, em n = −1, chegando por uma porta lateral.
Uma caixa de ferramentas diferente
Richard Feynman celebrizou este método ao utilizá-lo nos integrais de toda a gente. Aprendeu-o quando ainda andava na escola através de Advanced Calculus, de Frederick Woods, um livro que o seu professor de física do ensino secundário, o Sr. Bader, lhe tinha oferecido, e descreve o resultado em Está a Brincar, Sr. Feynman!: as pessoas no MIT ou em Princeton traziam-lhe um integral que não tinham conseguido resolver, ele tentava a derivação sob o sinal de integração, "e muitas vezes funcionava". A razão que apontava era a sua caixa de ferramentas, que era "diferente da de toda a gente, e eles já tinham experimentado todas as suas ferramentas no problema antes de mo entregarem".
O exemplo que o próprio Woods resolve na página 154 é o clássico. Coloque-se um fator de decaimento à frente de sin x / x:
J(b) = ∫₀^∞ e−bx sin x / x dx
A derivação em ordem a b elimina o inconveniente 1/x, deixando um integral de e−bx sin x que duas passagens de integração por partes resolvem, e o resultado é J(b) = π/2 − arctan b. Em b = 1 isso dá π/4 = 0,785398, e uma integração numérica coincide até às seis casas decimais. Deixe-se b tender para zero e a fórmula aponta para um dos resultados mais citados na análise matemática, ∫₀^∞ sin x / x dx = π/2. Esse resultado é verdadeiro, mas a passagem ao limite exige uma demonstração própria, porque este integral converge apenas condicionalmente; Conrad dedica-lhe um apêndice inteiro.
Esse último integral é ingrato de abordar diretamente. A sua primitiva é outra função especial, e somar a área diretamente converge a passo de caracol: até x = 100 resulta em 1,56223, até x = 1 000 resulta em 1,57023, ainda a 0,0006 de π/2 = 1,570796.
A condição, e um exemplo em que falha
A derivação sob o sinal de integração nem sempre é permitida, e a demonstração mais clara utiliza precisamente o integral que acabámos de ver. Dilate-se o integral: para qualquer b superior a 0, a substituição x = bt mostra que
∫₀^∞ sin(bx) / x dx = π/2
seja qual for o valor de b. Uma constante tem derivada nula. Mas se derivarmos no interior do integral, o 1/x cancela-se com o fator x introduzido pela regra da cadeia, restando ∫₀^∞ cos(bx) dx. Esse integral não tem qualquer valor: o seu valor acumulado é sin(bX)/b, que oscila eternamente entre −1/b e +1/b. Integrado até X = 1 000 com b = 1, vale 0,8269; meia unidade mais à frente, 0,9953. Nunca estabiliza, pelo que os dois lados da "regra" são zero e nada.
O que correu mal foi a ordem de dois limites. A regra troca a derivação com a integração, e essa troca pode falhar mesmo num intervalo finito; aqui, o domínio infinito é o que a faz falhar. A troca é garantidamente válida quando o integrando derivado é majorado, em todos os pontos e para todos os valores vizinhos do parâmetro, por uma função fixa cujo integral é finito. As notas de Conrad enunciam as condições e reúnem casos em que elas falham. Na versão de Woods, mantendo b acima de qualquer número positivo fixo, o fator e−bx faz exatamente essa majoração, razão pela qual o método é legítimo nesse caso e não na versão dilatada. O primeiro exemplo também passa: derivar (xᵃ − 1)/ln x em ordem a a dá xᵃ, que nunca excede 1 em [0, 1] para a ≥ 0.