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Una primitiva sin fórmula y un área exactamente igual a ln 2
Integre (x − 1)/ln x de 0 a 1. Ni la sustitución, ni la integración por partes ni las fracciones simples sirven de nada, y su primitiva no puede escribirse sin recurrir a una función especial. La respuesta exacta es ln 2.
He aquí una integral con la que las técnicas habituales de un primer curso de cálculo no logran nada:
∫₀¹ (x − 1) / ln x dx
El integrando se comporta de manera impecable. En x = 0,5 vale 0,72135, cerca de x = 1 se aproxima a 1 y en el otro extremo desciende hacia 0. Es la media logarítmica de x y 1, por lo que queda comprendido entre √x y (1 + x)/2, y el área queda acotada entre 2/3 y 3/4. La dificultad reside en la primitiva. Para escribirla hace falta una función especial: li(x²) − li(x), donde li, la integral logarítmica, es la primitiva de 1/ln x y una de las funciones que la teoría de Liouville demuestra que no pueden construirse a partir de potencias, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas.
El área es exactamente ln 2 = 0,693147, y obtenerla requiere tres líneas, siempre que se deje de mirar la integral que nos dieron.
Añadir un dial a la integral
Sustituya la x del numerador por xᵃ y considere el resultado como una función de a:
I(a) = ∫₀¹ (xᵃ − 1) / ln x dx
La integral que buscamos es I(1). La que podemos resolver al instante es I(0), porque x⁰ − 1 = 0 y, por tanto, I(0) = 0. Ahora derive con respecto a a bajo el signo de la integral, tratando x como una constante. La derivada de xᵃ respecto a a es xᵃ ln x, y el factor ln x que hacía imposible el problema se cancela:
I′(a) = ∫₀¹ xᵃ dx = 1 / (a + 1)
Una integral sin una primitiva utilizable se ha convertido en la primera que cualquiera aprende a resolver. Se vuelve a integrar respecto a a y se utiliza I(0) = 0 para determinar la constante:
I(a) = ln(a + 1), de modo que I(1) = ln 2
Compruébelo por fuerza bruta, integrando numéricamente para varias posiciones del dial:
- a = 0,5: 0,405465, y ln 1,5 = 0,405465
- a = 1: 0,693147, y ln 2 = 0,693147
- a = 3: 1,386294, y ln 4 = 1,386294
- a = 9: 2,302585, y ln 10 = 2,302585
El logaritmo surge de integrar 1/(a + 1) con respecto al dial.
Es el mismo logaritmo que llena la única laguna de la regla de la potencia, en n = −1, entrando por una puerta lateral.
Una caja de herramientas distinta
Richard Feynman hizo famoso este método al aplicarlo a las integrales de los demás. Lo aprendió en su época escolar en Advanced Calculus, de Frederick Woods, un libro que le había regalado su profesor de física del instituto, el señor Bader, y describe el resultado en ¿Está usted de broma, Sr. Feynman?: en el MIT o en Princeton la gente le traía integrales que no conseguía resolver, él probaba a derivar bajo el signo integral «y a menudo funcionaba». La razón que daba era su caja de herramientas, que era «distinta a la de los demás, y ellos ya habían probado todas sus herramientas antes de traerme el problema a mí».
El ejemplo que el propio Woods desarrolla en la página 154 es el clásico. Se coloca un factor de amortiguamiento delante de sin x / x:
J(b) = ∫₀^∞ e−bx sin x / x dx
Derivar respecto a b elimina el incómodo 1/x, dejando una integral de e−bx sin x que dos pasos de integración por partes resuelven, y el resultado es J(b) = π/2 − arctan b. En b = 1 eso es π/4 = 0,785398, y la integración numérica coincide hasta la sexta cifra decimal. Si se hace tender b a cero, la fórmula apunta a uno de los resultados más citados del análisis matemático: ∫₀^∞ sin x / x dx = π/2. Ese resultado es cierto, pero tomar el límite requiere una demostración propia, ya que esta integral solo converge condicionalmente; Conrad le dedica un apéndice entero.
Esta última integral resulta ingrata si se aborda de frente. Su primitiva es otra función especial, y sumar el área directamente converge con extrema lentitud: hasta x = 100 da 1,56223; hasta x = 1.000 da 1,57023, todavía a 0,0006 de π/2 = 1,570796.
La condición y un ejemplo en el que falla
Derivar bajo el signo integral no siempre es válido, y la demostración más clara utiliza la misma integral que acabamos de terminar. Si se dilata: para cualquier b mayor que 0, sustituyendo x = bt se comprueba que
∫₀^∞ sin(bx) / x dx = π/2
sea cual sea el valor de b. La derivada de una constante es cero. Pero si en su lugar se deriva dentro, el 1/x se cancela con el factor x que hace bajar la regla de la cadena, lo que deja ∫₀^∞ cos(bx) dx. Esa integral no tiene valor alguno: su suma acumulada es sin(bX)/b, que oscila eternamente entre −1/b y +1/b. Integrada hasta X = 1.000 con b = 1, se sitúa en 0,8269; media unidad más adelante, en 0,9953. Nunca se estabiliza, de modo que los dos lados de la «regla» son cero y nada.
Lo que falló fue el orden de dos límites. La regla intercambia derivación con integración, y ese intercambio puede fallar incluso en un intervalo finito; en este caso, lo que lo invalida es el dominio infinito. El intercambio está garantizado y es seguro cuando el integrando derivado queda acotado superiormente en módulo, en todo punto y para cualquier valor cercano del parámetro, por una función fija cuya integral sea finita. Los apuntes de Conrad enuncian las condiciones y recopilan casos donde no se cumplen. En la versión de Woods, siempre que b se mantenga por encima de un número positivo fijo, el factor e−bx proporciona precisamente esa acotación, razón por la cual el método es legítimo allí y no en la versión dilatada. El primer ejemplo también pasa la prueba: derivar (xᵃ − 1)/ln x respecto a a da xᵃ, que nunca supera 1 en [0, 1] para a ≥ 0.