Primitivas

La integración tiene una regla de la potencia, al igual que la derivación, y en todas las tablas figura con una excepción: n = −1. Desliza n por esa excepción y observa adónde va. Luego, sigue una integral regla por regla y prueba por tu cuenta: escribe una primitiva, y la página la derivará para compararla con el integrando.

Regla de la potencia	$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C, n \neq = - 1$
La excepción, n = −1	$\int \frac{d x}{x} = ln ∣ x ∣ + C$

Ejemplo resuelto — Primitivas

Constante entre ambas fórmulas	100,00
Diferencia con ln x, entre n + 1	0,9654

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Primitivas

Una primitiva de f en un intervalo es una función F con F′(x) = f(x) en cada x del intervalo. Si F es una de ellas, también lo es F + C para cualquier constante C, y en un intervalo esas son todas; en un dominio partido en dos, como x ≠ 0 para 1/x, cada parte lleva su propia constante. La integral indefinida ∫f(x) dx da nombre a toda la familia.

Qué significa cada símbolo

F_n: la primitiva de xⁿ que pasa por (1, 0): (xⁿ⁺¹ − 1)/(n + 1), que es ∫₁^x tⁿ dt, y ln x en n = −1
C: la constante de integración. Su derivada es 0, así que cualquier valor sirve como primitiva

De dónde viene la fórmula

Por qué 1/(n + 1) es la constante que hay que quitar. F_n(x) = ∫₁^x tⁿ dt es el área bajo tⁿ desde 1 hasta x. Un pequeño cambio en n modifica un poco cada altura tⁿ, así que el área cambia solo un poco: F_n no puede dar saltos cuando n pasa por −1, y en n = −1 tiene que ser el área bajo 1/t desde 1 hasta x, que es ln x. La fórmula de los libros es F_n + 1/(n + 1), y esa constante es la que se dispara.
$F_{n} (x) = \int_{1}^{x} t^{n} d t = \frac{x ^{n + 1} - 1}{n + 1} = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} - \to \pm \infty \frac{1}{n + 1}$
El límite, calculado. Haz h = n + 1 y desarrolla xʰ en serie de h. La diferencia con ln x es aproximadamente h(ln x)²/2, que para x = 4 vale 0,9609h: el valor al que se aproxima la última columna de la tabla.
$x^{h} = e^{h l n x} = 1 + h ln x + \frac{h ^{2} ( ln x ) ^{2}}{2} + \dots \Rightarrow F_{n} (x) = \frac{x ^{h} - 1}{h} = ln x + \frac{h ( ln x ) ^{2}}{2} + \dots$

Supone: La comprobación es numérica. La página deriva tu F de forma exacta, con las mismas reglas que usarías tú, y luego compara F′ con f en 120 puntos repartidos por el intervalo, ninguno de ellos entero. Acepta una diferencia relativa de hasta 10⁻⁶; perder un factor o equivocarse de signo supone una diferencia de orden 1. Si f está definida y tu F no, la respuesta es incorrecta. Si f es continua en todo el intervalo, la página también integra f numéricamente entre puntos vecinos y lo compara con el cambio de tu F. Así atrapa respuestas que son correctas a trozos pero que pegan saltos.

Problemas resueltos al detalle

Desarrolla antes de integrar 3 pasos
Calcula ∫(x² + 1)² dx.

Abre este problema en la herramienta
1. No existe una regla de la potencia para un paréntesis. Desarrolla el producto para que cada término quede como una potencia de x:
  
  $(x^{2} + 1)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} + 1$
2. Integra término a término: suma uno al exponente y divide entre ese nuevo exponente:
  
  $\int (x^{4} + 2 x^{2} + 1) d x = \frac{x ^{5}}{5} + 2 \cdot \frac{x ^{3}}{3} + x + C$
3. Comprueba derivando:
  
  $\frac{d}{d x} (\frac{x ^{5}}{5} + \frac{2 x ^{3}}{3} + x) = x^{4} + 2 x^{2} + 1$
Respuesta

x⁵/5 + 2x³/3 + x + C. Elevar directamente el paréntesis a (x² + 1)³/3 es el despiste clásico. Su derivada es 2x(x² + 1)², y ese 2x procede de dentro del paréntesis, algo que la regla de la potencia no contempla. Abre el problema en la herramienta e introduce esa respuesta para ver cómo se separan las dos curvas.

$\int (x^{2} + 1)^{2} d x = \frac{x ^{5}}{5} + \frac{2 x ^{3}}{3} + x + C$
Divide antes de integrar 3 pasos
Calcula ∫(x³ − 2√x + 5)/x dx para x > 0.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Divide cada término entre x y escríbelo en forma de potencia:
  
  $\frac{x ^{3} - 2 x + 5}{x} = x^{2} - 2 x^{- 1/2} + 5 x^{- 1}$
2. En los dos primeros aplicas la regla de la potencia:
  
  $\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}, - 2 \int x^{- 1/2} d x = - 2 \cdot \frac{x ^{1/2}}{1/2} = - 4 x$
3. El tercero es x⁻¹, la única potencia donde la regla no puede dividir:
  
  $5 \int x^{- 1} d x = 5 ln ∣ x ∣ = 5 ln x (x > 0)$
Respuesta

x³/3 − 4√x + 5 ln x + C. Puedes prescindir de las barras en ln|x|: el problema está planteado para x > 0, algo que √x ya exige de todos modos.

$\int \frac{x ^{3} - 2 x + 5}{x} d x = \frac{x ^{3}}{3} - 4 x + 5 ln x + C$
Tres filas de la tabla 2 pasos
Calcula ∫(2 cos x − 3 sin x + 4/(1 + x²)) dx.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Cada término figura en la tabla:
  
  $\int cos x d x = sin x, \int sin x d x = - cos x, \int \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctan x$
2. Mantén cada constante y sustituye cada función por su primitiva:
  
  $2 sin x - 3 (- cos x) + 4 arctan x$
Respuesta

2 sin x + 3 cos x + 4 arctan x + C. El término intermedio es el que suele fallar. La primitiva de sin x es −cos x, así que −3 sin x se integra como +3 cos x; ese signo menos surge al derivar cos x, que da −sin x.

$\int (2 cos x - 3 sin x + \frac{4}{1 + x ^{2}}) d x = 2 sin x + 3 cos x + 4 arctan x + C$
Una condición fija la constante 2 pasos
Halla f si f′(x) = 6x² − 4x + 1 y f(1) = 5.

Abre este problema en la herramienta
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1. Integra primero, manteniendo C:
  
  $f (x) = \int (6 x^{2} - 4 x + 1) d x = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + C$
2. Sustituye luego x = 1 y despeja C:
  
  $f (1) = 2 - 2 + 1 + C = 1 + C = 5 \Rightarrow C = 4$
Respuesta

f(x) = 2x³ − 2x² + x + 4. La herramienta comprueba la condición además de la derivada. Si dejas C en 0, acepta F′ = f; después indica que F(1) = 1, no 5, y te pide modificar la constante en 4.

$f (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 4$
Dos integraciones, dos constantes 2 pasos
Halla f si f″(x) = 12x − 6, f′(0) = 2 y f(0) = −1.

Abre este problema en la herramienta
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1. Integra una vez para obtener f′ y usa la condición sobre f′ para fijar su constante:
  
  $f^{'} (x) = \int (12 x - 6) d x = 6 x^{2} - 6 x + C_{1}, f^{'} (0) = C_{1} = 2$
2. Integra de nuevo y usa la condición sobre f:
  
  $f (x) = \int (6 x^{2} - 6 x + 2) d x = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + C_{2}, f (0) = C_{2} = - 1$
Respuesta

f(x) = 2x³ − 3x² + 2x − 1. Cada integración introduce su propia constante y cada condición fija una de ellas. La herramienta se abre en la segunda integración, con f′ como integrando y f(0) = −1 como condición.

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1$
ln|x| en el lado negativo 2 pasos
Halla f si f′(x) = 2/x para x < 0 y f(−1) = 3.

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1. Para x negativo, ln x no está definido, pero ln(−x) sí lo está y su derivada es 1/x:
  
  $x < 0 : \frac{d}{d x} ln (- x) = \frac{- 1}{- x} = \frac{1}{x}$
2. De modo que f(x) = 2 ln|x| + C, y la condición fija C:
  
  $f (x) = 2 ln ∣ x ∣ + C, f (- 1) = 2 ln 1 + C = C = 3$
Respuesta

f(x) = 2 ln|x| + 3 para x < 0. La condición no dice nada sobre las x positivas. Como 1/x no está definida en 0, una función que valga 2 ln x + 7 para x > 0 respondería igual de bien al problema.

$f (x) = 2 ln ∣ x ∣ + 3 (x < 0)$
Calcula ln 4 con una tecla de raíz cuadrada 4 pasos
Una calculadora tiene tecla de raíz cuadrada pero no tiene tecla ln. Usa el límite de esta página para hallar ln 4 con cuatro decimales. Pulsa primero n = −0,99: la curva que pasa por (1, 0) marca 1,3959 en x = 4, todavía muy por encima de ln 4 = 1,3863.

Abre este problema en la herramienta
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1. Diez pulsaciones en la tecla de raíz cuadrada convierten el 4 en 4 elevado a 1/1024, así que h = n + 1 = 1/1024:
  
  $4^{1/1024} = 1.001354720, h = n + 1 = \frac{1}{1024}$
2. La curva por (1, 0) para esa h, la fórmula de la página con una resta y una multiplicación:
  
  $F (h) = \frac{4 ^{h} - 1}{h} = 1.3872332$
3. Su distancia a ln 4 es de aproximadamente h(ln 4)²/2, la última columna de la tabla multiplicada por h. Es demasiado grande para sacar cuatro decimales:
  
  $\frac{h ( ln 4 ) ^{2}}{2} = \frac{0 . 9609}{1024} = 0.000938$
4. Una raíz cuadrada más reduce h a la mitad, y con ella la distancia. El doble del nuevo valor menos el antiguo cancela el término principal de esa diferencia:
  
  $2 F (\frac{h}{2}) - F (h) = 2 \times 1.3867637 - 1.3872332 = 1.386294$
Respuesta

ln 4 ≈ 1,3863. La combinación 2F(h/2) − F(h) elimina el error proporcional a h y deja uno proporcional a h², que aquí ronda los 2×10⁻⁷. La página mueve n en pasos de 0,01, por lo que h = 1/2048 va mucho más allá de lo que permite su deslizador.

$ln 4 \approx 1.3863$

ln x es el propio límite de la regla de la potencia 🖖

Pulsa n = −0,99. La primitiva de xⁿ de los libros de texto es xⁿ⁺¹/(n + 1), que divide por cero en n = −1, y por eso las tablas incluyen ∫x⁻¹ dx = ln|x| como regla propia e independiente. El fantasma a trazos muestra lo que hace la fórmula por el camino: en x = 4 marca 101,40, y crece sin límite a medida que n se acerca. Todo ese crecimiento recae en la constante. Réstale 1/(n + 1), que aquí es 100,00, y obtendrás la primitiva que pasa por (1, 0), la curva continua, en 1,3959 frente a ln 4 = 1,3863. Pulsa Barre n de −2 a 0 y observa cómo n pasa por −1: el fantasma sale del gráfico, la curva continua nunca da saltos, y en n = −1 es ln x. No puede saltar, porque es el área bajo tⁿ de 1 a x, y un pequeño cambio en n apenas modifica la altura de cada tⁿ. Grégoire de Saint-Vincent llegó al mismo hecho desde el otro lado en su Opus geometricum de 1647: el área bajo la hipérbola de a a b depende solo de b/a. Su alumno Alphonse Antonio de Sarasa vio que esto convierte el área en un logaritmo.

ln x responde a 1/x solo en la mitad de la recta 🖖

Pulsa ln x para 1/x. El entrenador busca una primitiva de 1/x en −4 ≤ x ≤ 4, y se ha escrito ln x. Allí donde ln x existe, su derivada es 1/x, así que parece correcta, y aun así la comprobación la rechaza: en x = −2,75, donde 1/x es −0,364, ln x no tiene ningún valor. Lo que funciona en ambos lados es ln|x|, porque ln(−x) se deriva como −1/(−x) = 1/x. Escríbelo, y el panel superior dibujará dos ramas con copias grises que desplazan cada rama una cantidad distinta. Esas también pasarían. Escribe ln|x| + 3sgn(x), que es ln|x| + 3 a la derecha del 0 y ln|x| − 3 a la izquierda, y pasará; el panel dibuja su diferencia respecto a ln|x| como dos tramos planos, en 3 y −3. 1/x no está definida en 0, así que no hay nada que una la constante de la izquierda con la de la derecha. Las tablas escriben ln|x| + C con una sola C, pero en todo el dominio la primitiva general lleva una constante para cada lado. Cuando el integrando es continuo en todo el intervalo, como ocurre con x³, la comprobación rechaza las respuestas con saltos, incluso si su derivada coincide allí donde existe.

Dos respuestas que no se parecen en nada pueden ser ambas correctas 🖖

Pulsa Dos formas equivalentes. El integrando es (x + 1)². Suma uno al exponente y divide, y obtendrás (x + 1)³/3; desarrolla primero, y te quedará x³/3 + x² + x. Puestas una junto a la otra parecen una respuesta correcta y otra equivocada, y el entrenador acepta ambas. La fila Tu F menos la nuestra explica por qué: −1/3 en cada punto, porque (x + 1)³/3 se desarrolla como x³/3 + x² + x + 1/3. Pulsa 2 sin x cos x para ver un caso aún más claro. sin²x, −cos²x y −cos(2x)/2 no comparten ningún término visible, y las tres son correctas, a una distancia de 1 y de ½ entre sí. Así que la comprobación nunca juzga comparando tu respuesta con la de la página. Deriva la tuya, porque la derivación es un procedimiento de resultado único, y la compara con el integrando. Encontrar una primitiva es una búsqueda, y dos buenas búsquedas pueden detenerse en constantes distintas.

Ruta de aprendizaje

Técnicas de integración

Referencias (2)

The definition the page checks against (“F is an antiderivative of f if F′(x) = f(x) for all x in the domain of f”), the power rule with its exception (Theorem 4.15: for n ≠ −1, ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C), and the derivation of d/dx ln|x| = 1/x from ln(−x) on x < 0: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.10, “Antiderivatives”.
Grégoire de Saint-Vincent's Opus geometricum (Antwerp, 1647) showed that the area under a rectangular hyperbola over [a, b] equals the area over [c, d] when a/b = c/d, and his pupil Alphonse Antonio de Sarasa made the connection with logarithms: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Grégoire de Saint-Vincent”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated November 2010).

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.