Explorador de Derivadas y Tangentes

La derivada es la piedra angular para analizar sistemas dinámicos. Al evaluar el límite del cociente de diferencias hacia cero, calculamos la tasa de cambio instantánea exacta. Esta aproximación lineal es fundamental.

Toma cualquier curva suave, acércate lo suficiente y la curvatura desaparece: localmente parece una línea recta. La derivada es simplemente la pendiente de esa recta, y al arrastrar el punto aquí la lees directamente. El velocímetro de un coche funciona igual: muestra a qué velocidad cambia tu posición ahora mismo, no la velocidad media de todo el viaje. Arrastra el punto hasta la cima de la parábola y la pendiente llega a 0: ese punto plano marca un máximo o un mínimo.

Cada función de aquí tiene una tangente limpia, pero no todas la tienen. En 1872 Karl Weierstrass construyó una función continua en todas partes pero sin pendiente definida en ningún punto: infinitamente dentada a cualquier escala, de modo que ninguna recta tangente llega a estabilizarse. Aquello dejó atónitos a los matemáticos, que suponían que una curva continua de aspecto suave debía tener tangentes en casi todos sus puntos. Esa misma rugosidad no derivable reapareció en la naturaleza: las trayectorias del movimiento browniano y el contorno de las costas se comportan exactamente así.