Explorador de Derivadas y Tangentes

Elige una curva y un punto. La cuerda naranja une este punto con otro situado a una distancia h; al reducir h, la pendiente de la cuerda se va aproximando a la pendiente de la tangente, que es la derivada.

La derivada	$f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$
La tangente en a	$y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$
Derivadas en esta página	$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1} (e^{x})^{'} = e^{x}, (ln x)^{'} = \frac{1}{x} (sin x)^{'} = cos x, (cos x)^{'} = - sin x$

Ejemplo resuelto — Explorador de Derivadas y Tangentes

La curva en x	1
La curva en x + h	1,21
Pendiente de la cuerda	2,1
La derivada, pendiente tangente	2
Pendiente cuerda menos derivada	0,1
La tangente	2x − 1
La normal	−0,5x + 1,5

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Explorador de Derivadas y Tangentes

La derivada de f en x es la pendiente de la curva en ese punto, definida como el límite de la pendiente de una cuerda: f′(x) = lim (f(x + h) − f(x))/h cuando h → 0, siempre que dicho límite exista.

Qué significa cada símbolo

h: el paso desde x hasta el segundo punto de la cuerda
f′(x): la derivada: la pendiente de la tangente en x

De dónde viene la fórmula

Una cuerda. Dos puntos de la curva, en x y en x + h, fijan una recta: la cuerda dibujada en naranja. Su pendiente es el avance vertical dividido entre el horizontal.
$m_{chord} = \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$
Haz disminuir h. Para f(x) = x², la pendiente de la cuerda es exactamente 2x + h, así que al tender h a 0 se aproxima a 2x. No se puede fijar h en 0, donde el cociente daría 0/0; el límite es justamente lo que queda cuando h se desvanece.
$\frac{( x + h ) ^{2} - x ^{2}}{h} = \frac{2 x h + h ^{2}}{h} = 2 x + h h \to 0 2 x$
La tangente y la normal. La tangente en a pasa por (a, f(a)) con pendiente f′(a). La normal es perpendicular a ella en ese punto, luego su pendiente es el opuesto de su inverso, −1/f′(a); donde f′(a) = 0, la normal es la recta vertical x = a.
$y = f^{'} (a) (x - a) + f (a) y = - \frac{1}{f ^{'} ( a )} (x - a) + f (a)$
Cuándo falla. Si las cuerdas por la izquierda y por la derecha tienden a pendientes distintas, no existe la derivada. En el punto anguloso de |x| en 0, se aproximan a −1 y a 1.
$h \to 0^{-} lim \frac{∣ h ∣}{h} = - 1 \neq = 1 = h \to 0^{+} lim \frac{∣ h ∣}{h}$

Un punto plano no siempre es un máximo ni un mínimo 🖖

Que la derivada valga cero significa que la tangente es horizontal, pero no garantiza un máximo ni un mínimo. Pulsa inflexión de x³: la pendiente marca 0 y, sin embargo, la curva sigue subiendo a ambos lados tras una simple pausa. Es un punto de inflexión. Por eso encontrar dónde se anula la derivada es solo la primera mitad de cualquier problema de optimización; la segunda consiste en comprobar qué hace la pendiente a cada lado, pues la derivada en un único punto no distingue una cumbre del descansillo de una escalera.

La curva sin tangente en ningún punto 🖖

Las seis curvas integradas tienen tangente en todos sus puntos, pero una función continua no tiene por qué tenerla en ninguno. En 1872, Karl Weierstrass ideó una función continua en toda la recta que no posee pendiente en ningún sitio: está erizada a cualquier escala, de modo que ninguna cuerda llega a asentarse. Aquello sorprendió a la comunidad matemática, que daba por hecho —como Ampère intentó demostrar en 1806— que una curva continua admite tangente salvo en puntos aislados. Más tarde, esa aspereza apareció en la propia naturaleza: la trayectoria de una partícula en movimiento browniano carece de tangente en todo instante, y el perfil de una costa se comporta de modo muy similar a lo largo de escalas muy diversas.

DERIVADAS — QUÉ REGLA SE APLICA Y QUÉ TE DICE REALMENTE LA PENDIENTE

¿Qué caso de derivada tienes delante?

La derivada es una sola idea —la pendiente de la tangente, el límite de (f(x+h) − f(x))/h—, pero cómo se calcula depende del tipo de función que te den, y cómo se lee depende de si sale positiva, negativa o cero. Tres reglas estándar cubren casi todas las funciones que verás; el cuarto caso es aquel en que una pendiente nula no significa lo que todo el mundo supone.

Regla de la potencia — un término polinómico d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Trigonométrica — seno y coseno se intercambian d/dx sin x = cos x

Exponencial — la función es su propia derivada d/dx e^x = e^x

Pendiente cero que no es máximo ni mínimo f′ = 0, f″ = 0

Regla de la potencia — un término polinómico

Qué sabes: La función es xⁿ, o una suma de términos así. Baja el exponente delante y réstale uno.

Regla: d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Ejemplo resuelto: f(x) = x² en x = 1 → f′(x) = 2x → f′(1) = 2, así que la tangente es y = 2x − 1

Abrir este caso: x² en x=1

Regla de la potencia — un término polinómico. La tangente en x = 1 tiene pendiente 2 y toca la parábola en un solo punto. La función es xⁿ, o una suma de términos así. Baja el exponente delante y réstale uno. — La tangente en x = 1 tiene pendiente 2 y toca la parábola en un solo punto.

Trigonométrica — seno y coseno se intercambian

Qué sabes: La función es sin x o cos x. Derivar te hace girar por el ciclo: sin → cos → −sin → −cos → sin.

Regla: d/dx sin x = cos x

Ejemplo resuelto: f(x) = sin x en x = 0 → f′(x) = cos x → f′(0) = 1, así que la tangente es y = x

Abrir este caso: sin en x=0

Trigonométrica — seno y coseno se intercambian. En el origen sin x tiene pendiente 1, así que la tangente es la recta y = x. La función es sin x o cos x. Derivar te hace girar por el ciclo: sin → cos → −sin → −cos → sin. — En el origen sin x tiene pendiente 1, así que la tangente es la recta y = x.

Exponencial — la función es su propia derivada

Qué sabes: La función es eˣ. Derivar no cambia absolutamente nada: f′(x) = f(x) en todo punto.

Regla: d/dx e^x = e^x

Ejemplo resuelto: f(x) = eˣ en x = 0 → f′(x) = eˣ → f′(0) = 1, así que la tangente es y = x + 1

Abrir este caso: eˣ en x=0

Exponencial — la función es su propia derivada. Altura y pendiente son el mismo número en cada punto de la curva. La función es eˣ. Derivar no cambia absolutamente nada: f′(x) = f(x) en todo punto. — Altura y pendiente son el mismo número en cada punto de la curva.

Pendiente cero que no es máximo ni mínimo

Qué sabes: f′ = 0 en el punto, así que es estacionario, pero el signo de f′ es el mismo a ambos lados, de modo que no es un punto de giro.

Regla: f′ = 0, f″ = 0

Ejemplo resuelto: f(x) = x³ en x = 0 → f′(x) = 3x² → f′(0) = 0, y sin embargo f′ > 0 a ambos lados: la curva se aplana y sigue subiendo

Abrir este caso: inflexión x³

Pendiente cero que no es máximo ni mínimo. La tangente es horizontal en el origen, pero la curva sigue subiendo a ambos lados. f′ = 0 en el punto, así que es estacionario, pero el signo de f′ es el mismo a ambos lados, de modo que no es un punto de giro. — La tangente es horizontal en el origen, pero la curva sigue subiendo a ambos lados.

Referencias (1)

Insight block 3 — continuous everywhere, differentiable nowhere: K. Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen." Read to the Berlin Academy, 18 July 1872; printed in Mathematische Werke, vol. 2, 71–74.

Problemas resueltos al detalle

Pendiente y recta tangente de f(x) = x² en x = 1 5 pasos
f(x) = x², en x = 1. Obtén la pendiente en ese punto a partir de la definición en vez de aplicar una regla, escribe la recta tangente y calcula con exactitud cuánto se ha apartado esa tangente de la curva una décima de unidad más adelante.
1. Un único punto no tiene pendiente: la pendiente es una comparación y exige dos. Toma el segundo a una distancia h y calcula la variación media en ese tramo. Todo el cálculo diferencial cabe en este cociente más un límite.
  
  $\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = \frac{( 1 + h ) ^{2} - 1 ^{2}}{h}$
2. Desarrolla el cuadrado. Los términos constantes se cancelan, con lo que sobrevive una h en cada término restante y la del denominador se simplifica limpiamente. Fíjate en lo que cuesta esa cancelación: es legítima para cualquier h salvo 0, y 0 es precisamente el valor hacia el que te diriges.
  
  $= \frac{1 + 2 h + h ^{2} - 1}{h} = \frac{h ( 2 + h )}{h} = 2 + h (h \neq = 0)$
3. Por eso tomamos el límite en lugar de limitarnos a sustituir. Como 2 + h es una recta en h, el valor al que se aproxima se lee de inmediato, sin aproximación alguna, y la pendiente en x = 1 resulta ser 2 sin necesidad de formular la regla 2x.
  
  $h \to 0 lim (2 + h) = 2 ⟹ f^{'} (1) = 2$
4. Una tangente requiere un punto y una pendiente, y ya tienes ambos: la curva pasa por (1, 1) con pendiente 2.
  
  $y - 1 = 2 (x - 1) ⟹ y = 2 x - 1$
5. Resta la recta a la curva. La diferencia no es pequeña ni aproximada: se factoriza con total exactitud, de modo que la parábola se sitúa a una altura (x − 1)² sobre su tangente para cualquier x, y a una distancia h la separación es h².
  
  $x^{2} - (2 x - 1) = (x - 1)^{2} ⟹ h = 0.1 : 0.01, h = 0.01 : 0.0001$
Respuesta

f′(1) = 2, recta tangente y = 2x − 1, y la separación entre ambas es exactamente h²: reduce el paso en un factor de 10 y el error de la tangente caerá en un factor de 100, pasando de 0,01 a 0,0001. Ese término cuadrático es toda la justificación para sustituir una curva por una recta en las proximidades de un punto. Ahora bien, el signo de esa distancia vale más que su tamaño: como (x − 1)² nunca es negativo, la parábola toca sus tangentes sin atravesar jamás ninguna. Pon al lado f(x) = x³ en x = 0: su tangente es el eje x, la separación es la propia x³ y, al ser x³ negativa a la izquierda y positiva a la derecha, la recta cruza la curva limpiamente. Ambas funciones tienen tangente horizontal en algún punto y solo una de ellas presenta allí un extremo: anular la derivada no engendra un mínimo por sí solo, lo decide el signo de esa diferencia.

$f (1 + h) - [2 (1 + h) - 1] = h^{2} \forall h$
1/x a partir de la definición 3 pasos
Halla la derivada de f(x) = 1/x a partir de la definición y la recta tangente en x = 2.

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1. Escribe la pendiente de la cuerda y reduce las dos fracciones del numerador a un denominador común:
  
  $\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = \frac{1}{h} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}) = \frac{1}{h} \cdot \frac{x - ( x + h )}{x ( x + h )}$
2. La h se simplifica y lo que queda puede evaluarse en h = 0:
  
  $= \frac{- 1}{x ( x + h )} h \to 0 - \frac{1}{x ^{2}}$
3. En x = 2 la curva vale ½ y cae a razón de ¼ por unidad:
  
  $f (2) = \frac{1}{2}, f^{'} (2) = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4} (x - 2) + \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} x + 1$
Respuesta

f′(x) = −1/x² para x ≠ 0, y la recta tangente en x = 2 es y = −x/4 + 1.
√x a partir de la definición, con la tangente y la normal 3 pasos
Halla la derivada de f(x) = √x a partir de la definición, y luego la recta tangente y la normal en x = 4.

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1. La pendiente de la cuerda tiene una resta de raíces cuadradas en el numerador. Multiplica numerador y denominador por su suma para eliminar las raíces de arriba:
  
  $\frac{x + h - x}{h} \cdot \frac{x + h + x}{x + h + x} = \frac{( x + h ) - x}{h ( x + h + x )} = \frac{1}{x + h + x}$
2. Ahora haz tender h a 0:
  
  $f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{1}{x + h + x} = \frac{1}{2 x}, f^{'} (4) = \frac{1}{4}$
3. La tangente pasa por (4, 2) con pendiente ¼; la normal pasa por el mismo punto con pendiente −4, el opuesto de su inverso:
  
  $y = \frac{1}{4} (x - 4) + 2 = \frac{1}{4} x + 1, y = - 4 (x - 4) + 2 = - 4 x + 18$
Respuesta

f′(x) = 1/(2√x) para x > 0. En x = 4 la tangente es y = x/4 + 1 y la normal es y = −4x + 18. En x = 0 las cuerdas se empinan sin cota y no existe derivada; puedes comprobarlo en la página si sitúas x allí.
Por qué la derivada de sin x es cos x 3 pasos
Demuestra a partir de la definición que la derivada de sin x es cos x mediante los límites de la página anterior, y da la pendiente en x = π/3.

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1. Desarrolla sin(x + h) con la fórmula de la suma y agrupa los términos según sin x y cos x:
  
  $\frac{sin ( x + h ) - sin x}{h} = \frac{sin x cos h + cos x sin h - sin x}{h} = sin x \cdot \frac{cos h - 1}{h} + cos x \cdot \frac{sin h}{h}$
2. Cuando h → 0, sin h / h → 1 y (cos h − 1)/h → 0, pues equivale a h multiplicado por (cos h − 1)/h², que tiende a −½:
  
  $\frac{cos h - 1}{h} = h \cdot \frac{cos h - 1}{h ^{2}} \to 0 \cdot (- \frac{1}{2}) = 0, \frac{sin h}{h} \to 1$
3. Así pues, la derivada es cos x, y en π/3 vale ½:
  
  $(sin x)^{'} = sin x \cdot 0 + cos x \cdot 1 = cos x, cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$
Respuesta

(sin x)′ = cos x, y la pendiente en π/3 es ½. El límite sin h / h → 1 exige que h esté en radianes. En grados tiende a π/180, factor que se trasladaría a la derivada.
Dónde la tangente es horizontal 3 pasos
Encuentra los puntos donde f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2 tiene tangente horizontal.

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1. Deriva término a término con la regla de la potencia y factoriza:
  
  $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x^{2} - 2 x - 3) = 3 (x - 3) (x + 1)$
2. Una tangente horizontal tiene pendiente 0:
  
  $f^{'} (x) = 0 ⟺ x \in {- 1, 3}$
3. Calcula la ordenada en esos puntos:
  
  $f (- 1) = - 1 - 3 + 9 + 2 = 7, f (3) = 27 - 27 - 27 + 2 = - 25$
Respuesta

Tangentes horizontales en (−1, 7) y (3, −25).
Una tangente paralela a una recta dada 2 pasos
Halla el punto de y = x² + 3x donde la tangente es paralela a y = 7x − 2, y la recta tangente en dicho punto.

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1. Las rectas paralelas tienen pendientes iguales, así que haz f′(x) = 7:
  
  $f^{'} (x) = 2 x + 3 = 7 \Rightarrow x = 2$
2. Determina el punto y escribe la recta:
  
  $f (2) = 4 + 6 = 10, y = 7 (x - 2) + 10 = 7 x - 4$
Respuesta

En (2, 10), donde la tangente es y = 7x − 4.
Un punto anguloso: continua y sin derivada 3 pasos
Demuestra que f(x) = |x| no tiene derivada en 0, aunque es continua en ese punto.

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1. Desde 0, una cuerda hacia la derecha tiene pendiente h/h y hacia la izquierda, −h/h:
  
  $\frac{∣0 + h ∣ - ∣0∣}{h} = \frac{∣ h ∣}{h} = {1, - 1, h > 0 h < 0$
2. Los límites laterales son 1 y −1. No coinciden, luego el límite que definiría f′(0) no existe:
  
  $h \to 0^{+} lim \frac{∣ h ∣}{h} = 1 \neq = - 1 = h \to 0^{-} lim \frac{∣ h ∣}{h}$
3. La continuidad exige menos: |x| tiende a 0 = f(0) por ambos lados:
  
  $x \to 0 lim ∣ x ∣ = 0 = f (0)$
Respuesta

|x| es continua en 0 y no tiene derivada allí: la curva presenta un punto anguloso y ninguna recta única puede ser su tangente. Toda función derivable es continua; este es el contraejemplo clásico de que el recíproco no es cierto.
Velocidad media y velocidad instantánea 3 pasos
Una piedra cae s(t) = 4,9t² metros en t segundos. Halla su velocidad media entre t = 2 y t = 2,1, así como su velocidad en t = 2.

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1. La velocidad media en un intervalo es la pendiente de la cuerda:
  
  $\frac{s ( 2.1 ) - s ( 2 )}{0.1} = \frac{21.609 - 19.6}{0.1} = 20.09 m/s$
2. La velocidad instantánea es el límite de esa pendiente: la derivada:
  
  $s^{'} (t) = 9.8 t, s^{'} (2) = 19.6 m/s$
3. La diferencia entre ambas es 4,9h, de modo que decrece en proporción a la duración del intervalo:
  
  $\frac{s ( 2 + h ) - s ( 2 )}{h} = \frac{4.9 ( 4 h + h ^{2} )}{h} = 19.6 + 4.9 h$
Respuesta

20,09 m/s de media en esa décima de segundo, y 19,6 m/s en t = 2. En la página, la variable t se escribe x.

Ruta de aprendizaje

Por qué todo se ve recto de cerca

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.