Explorador de Derivadas y Tangentes

arrastra un punto a lo largo de la curva para ver la pendiente

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Un punto plano no siempre es un máximo ni un mínimo 🖖

Una derivada nula significa que la tangente es horizontal: no promete un máximo ni un mínimo. Cambia esta herramienta a x³ y arrastra el punto a x = 0: la pendiente marca 0, y sin embargo la curva sube por ambos lados y solo hace una pausa. Eso es un punto de inflexión, y por eso encontrar dónde se anula la derivada es solo la primera mitad de un problema de optimización. La segunda mitad es comprobar qué hace la pendiente a cada lado, porque la derivada por sí sola no distingue una cumbre de un descansillo de escalera.

De cerca, toda curva parece recta 🖖

Toma cualquier curva suave, acércate lo suficiente y la curvatura desaparece: localmente parece una línea recta. La derivada es simplemente la pendiente de esa recta, y al arrastrar el punto aquí la lees directamente. El velocímetro de un coche funciona igual: muestra a qué velocidad cambia tu posición ahora mismo, no la velocidad media de todo el viaje. Arrastra el punto hasta la cima de la parábola y la pendiente llega a 0: ese punto plano marca un máximo o un mínimo.

La curva sin tangente en ningún punto 🖖

Cada función de aquí tiene una tangente limpia, pero no todas la tienen. En 1872 Karl Weierstrass construyó una función continua en todas partes pero sin pendiente definida en ningún punto: infinitamente dentada a cualquier escala, de modo que ninguna recta tangente llega a estabilizarse. Aquello dejó atónitos a los matemáticos, que suponían que una curva continua de aspecto suave debía tener tangentes en casi todos sus puntos. Esa misma rugosidad no derivable reapareció en la naturaleza: las trayectorias del movimiento browniano y el contorno de las costas se comportan exactamente así.

DERIVADAS — QUÉ REGLA SE APLICA Y QUÉ TE DICE REALMENTE LA PENDIENTE

¿Qué caso de derivada tienes delante?

La derivada es una sola idea —la pendiente de la tangente, el límite de (f(x+h) − f(x))/h—, pero cómo se calcula depende del tipo de función que te den, y cómo se lee depende de si sale positiva, negativa o cero. Tres reglas estándar cubren casi todas las funciones que verás; el cuarto caso es aquel en que una pendiente nula no significa lo que todo el mundo supone.

Regla de la potencia — un término polinómico d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Trigonométrica — seno y coseno se intercambian d/dx sin x = cos x

Exponencial — la función es su propia derivada d/dx e^x = e^x

Pendiente cero que no es máximo ni mínimo f′ = 0, f″ = 0

Regla de la potencia — un término polinómico

Qué sabes: La función es xⁿ, o una suma de términos así. Baja el exponente delante y réstale uno.

Regla: d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Ejemplo resuelto: f(x) = x² en x = 1 → f′(x) = 2x → f′(1) = 2, así que la tangente es y = 2x − 1

Abrir este caso: x² en x=1

Regla de la potencia — un término polinómico. La tangente en x = 1 tiene pendiente 2 y toca la parábola en un solo punto. La función es xⁿ, o una suma de términos así. Baja el exponente delante y réstale uno. — La tangente en x = 1 tiene pendiente 2 y toca la parábola en un solo punto.

Trigonométrica — seno y coseno se intercambian

Qué sabes: La función es sin x o cos x. Derivar te hace girar por el ciclo: sin → cos → −sin → −cos → sin.

Regla: d/dx sin x = cos x

Ejemplo resuelto: f(x) = sin x en x = 0 → f′(x) = cos x → f′(0) = 1, así que la tangente es y = x

Abrir este caso: sin en x=0

Trigonométrica — seno y coseno se intercambian. En el origen sin x tiene pendiente 1, así que la tangente es la recta y = x. La función es sin x o cos x. Derivar te hace girar por el ciclo: sin → cos → −sin → −cos → sin. — En el origen sin x tiene pendiente 1, así que la tangente es la recta y = x.

Exponencial — la función es su propia derivada

Qué sabes: La función es eˣ. Derivar no cambia absolutamente nada: f′(x) = f(x) en todo punto.

Regla: d/dx e^x = e^x

Ejemplo resuelto: f(x) = eˣ en x = 0 → f′(x) = eˣ → f′(0) = 1, así que la tangente es y = x + 1

Abrir este caso: eˣ en x=0

Exponencial — la función es su propia derivada. Altura y pendiente son el mismo número en cada punto de la curva. La función es eˣ. Derivar no cambia absolutamente nada: f′(x) = f(x) en todo punto. — Altura y pendiente son el mismo número en cada punto de la curva.

Pendiente cero que no es máximo ni mínimo

Qué sabes: f′ = 0 en el punto, así que es estacionario, pero el signo de f′ es el mismo a ambos lados, de modo que no es un punto de giro.

Regla: f′ = 0, f″ = 0

Ejemplo resuelto: f(x) = x³ en x = 0 → f′(x) = 3x² → f′(0) = 0, y sin embargo f′ > 0 a ambos lados: la curva se aplana y sigue subiendo

Abrir este caso: inflexión x³

Pendiente cero que no es máximo ni mínimo. La tangente es horizontal en el origen, pero la curva sigue subiendo a ambos lados. f′ = 0 en el punto, así que es estacionario, pero el signo de f′ es el mismo a ambos lados, de modo que no es un punto de giro. — La tangente es horizontal en el origen, pero la curva sigue subiendo a ambos lados.

Referencias (1)

Insight block 3 — continuous everywhere, differentiable nowhere: K. Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen." Read to the Berlin Academy, 18 July 1872; printed in Mathematische Werke, vol. 2, 71–74.

Problema resuelto al detalle

La pendiente y la tangente de f(x) = x² en x = 1 5 pasos
f(x) = x², en x = 1. Obtén la pendiente en ese punto a partir de la definición en lugar de una regla, escribe la tangente y, a continuación, indica exactamente cuánto se ha desviado esa tangente de la curva una décima de unidad más adelante.
1. Un solo punto no tiene pendiente; la pendiente es una comparación, por lo que requiere dos puntos. Toma el segundo a una distancia h y mide el incremento medio sobre ese avance. Todo el cálculo diferencial es este cociente más un límite.
  
  $\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = \frac{( 1 + h ) ^{2} - 1 ^{2}}{h}$
2. Desarrolla el cuadrado. Los términos constantes se cancelan, lo que deja una h en cada término restante, de modo que la h del denominador se simplifica limpiamente. Observa lo que te cuesta esa cancelación: es válida para cualquier h excepto 0, y 0 es precisamente el valor al que te diriges.
  
  $= \frac{1 + 2 h + h ^{2} - 1}{h} = \frac{h ( 2 + h )}{h} = 2 + h (h \neq = 0)$
3. Por eso se calcula el límite en lugar de sustituir directamente. 2 + h es una recta en h, de modo que el valor al que se aproxima se lee sin aproximación alguna, y la pendiente en x = 1 resulta ser 2 sin necesidad de haber escrito la regla 2x.
  
  $h \to 0 lim (2 + h) = 2 ⟹ f^{'} (1) = 2$
4. Una tangente necesita un punto y una pendiente, y ahora tienes ambos: la curva pasa por (1, 1) con pendiente 2.
  
  $y - 1 = 2 (x - 1) ⟹ y = 2 x - 1$
5. Resta la recta a la curva. La diferencia no es pequeña ni aproximadamente nada: se factoriza exactamente, de modo que la parábola se sitúa (x − 1)² por encima de su tangente en todo x, y a una distancia h la separación es h².
  
  $x^{2} - (2 x - 1) = (x - 1)^{2} ⟹ h = 0.1 : 0.01, h = 0.01 : 0.0001$
Respuesta

f′(1) = 2, tangente y = 2x − 1, y la separación entre ellas es exactamente h²: reduce el paso en un factor de 10 y el error de la tangente disminuye en un factor de 100, de 0,01 a 0,0001. Ese elevado al cuadrado es toda la justificación para sustituir una curva por una recta cerca de un punto. Sin embargo, el signo de la separación vale más que su tamaño. (x − 1)² nunca es negativo, por lo que esta parábola toca a sus tangentes y nunca cruza ninguna. Coloca a su lado f(x) = x³ en x = 0: la tangente es el eje x, la separación es la propia x³, y x³ es negativa a la izquierda y positiva a la derecha, por lo que la recta atraviesa limpiamente la curva. Ambas funciones tienen una tangente horizontal en algún punto y solo una de ellas tiene un extremo relativo allí —que la derivada se anule no es lo que crea un mínimo, lo es el signo de la separación.

$f (1 + h) - [2 (1 + h) - 1] = h^{2} \forall h$

Ruta de aprendizaje

Por qué todo se ve recto de cerca

Lleva a riemann-sum la rectitud local expresada en un número: la pendiente de la única recta que se ajusta a la curva en un punto.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-27

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

x² en x=1 - f(x)=x² en x=1 → pendiente f'(1)=2, tangente y=2x-1
sin en x=0 - f(x)=sin x en x=0 → pendiente f'(0)=1, tangente y=x
eˣ en x=0 - f(x)=eˣ en x=0 → pendiente f'(0)=1; eˣ es su propia derivada
inflexión x³ - f(x)=x³ en x=0 → pendiente f'(0)=0, punto de inflexión (no es un mínimo ni un máximo)