Por qué los ángulos se miden en radianes

Fija un radio y un ángulo, y cambia después la unidad angular. El arco, el sector, la pendiente del seno y la aproximación para ángulos pequeños se transforman a la vez, porque todos parten de una misma definición.

Grados y radianes	$π rad = 18 0^{\circ}$
Longitud de arco	$s = r θ$
Área del sector	$A = \frac{1}{2} r^{2} θ$
Pendiente del seno, con θ en radianes	$\frac{d}{d θ} sin θ = cos θ$

Ejemplo resuelto — Por qué los ángulos se miden en radianes

θ en grados	57,2958°
Longitud de arco s	1
Área del sector A	0,5
sen θ	0,841471
Segmento entre arco y cuerda	0,079265
Pendiente de sen en θ	0,540302
Error en sen θ ≈ θ	18,84 %

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Por qué los ángulos se miden en radianes

Un ángulo de un radián abarca un arco con la misma longitud que el radio. Por tanto, un ángulo medido en radianes es el cociente de dos longitudes, arco entre radio, y una vuelta completa equivale a 2π.

Qué significa cada símbolo

r: el radio
θ: el ángulo central, en radianes salvo que lleve el signo de grados
s: el arco abarcado por el ángulo
A: el área del sector, la porción comprendida entre los dos radios y el arco

De dónde viene la fórmula

El arco. Por definición, θ = s/r, de modo que s = rθ. En un giro completo, el arco coincide con toda la circunferencia, 2πr; una vuelta entera equivale entonces a 2π radianes, y media vuelta, 180°, a π.
$θ = \frac{s}{r} \Rightarrow s = r θ s = 2 π r \Rightarrow θ = 2 π, π rad = 18 0^{\circ}$
El sector. Un sector ocupa la misma proporción del disco que su arco respecto a la circunferencia completa: una fracción de θ sobre 2π. Esa fracción de πr² da ½r²θ. Si le restas el triángulo delimitado por los dos radios, ½r² sin θ, queda el segmento circular entre el arco y la cuerda, señalada con la línea punteada del gráfico.
$A = \frac{θ}{2 π} \cdot π r^{2} = \frac{1}{2} r^{2} θ \frac{1}{2} r^{2} θ - \frac{1}{2} r^{2} sin θ = \frac{1}{2} r^{2} (θ - sin θ)$
Por qué la pendiente del seno empieza en 1. En una circunferencia de radio 1, para cualquier ángulo entre 0 y π/2, hay tres áreas encajadas: el triángulo interior al sector, el propio sector y el triángulo que llega hasta la tangente. Si divides las tres entre ½ sin θ, la expresión θ/sin θ queda atrapada entre 1 y 1/cos θ. Como 1/cos θ tiende a 1, el cociente sin θ/θ tiende a 1 por la derecha. Al ser una función par, por la izquierda ocurre lo mismo: en 0, la pendiente del seno vale exactamente 1.
$\frac{1}{2} sin θ < \frac{1}{2} θ < \frac{1}{2} tan θ \Rightarrow 1 < \frac{θ}{sin θ} < \frac{1}{cos θ} \Rightarrow θ \to 0^{+} lim \frac{sin θ}{θ} = 1 \frac{sin ( - θ )}{- θ} = \frac{sin θ}{θ} \Rightarrow θ \to 0 lim \frac{sin θ}{θ} = 1$
El precio de medir en grados. Un ángulo de x grados equivale a πx/180 radianes. Medir en grados estira el eje horizontal en un factor de 180/π, de modo que cada pendiente queda multiplicada por π/180: ese factor acompaña a toda derivada de una función trigonométrica expresada en grados.
$\frac{d}{d x} sin x^{\circ} = \frac{d}{d x} sin \frac{π x}{180} = \frac{π}{180} cos x^{\circ}$

Problemas resueltos al detalle

De grados a radianes y a la inversa 2 pasos
Expresa 150° en radianes como múltiplo de π y convierte 2,5 radianes a grados.

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1. Como 180° equivalen a π radianes, un grado es π/180 de radián. Multiplica y simplifica la fracción antes de recurrir a la calculadora:
  
  $15 0^{\circ} = 150 \times \frac{π}{180} = \frac{5 π}{6} \approx 2.61799$
2. En sentido inverso, multiplica por 180/π:
  
  $2.5 \times \frac{180}{π} = \frac{450}{π} \approx 143.2 4^{\circ}$
Respuesta

150° = 5π/6 ≈ 2,61799 rad y 2,5 rad ≈ 143,24°. En un examen te pedirán 5π/6; la cifra decimal es el mismo ángulo, solo que redondeado.
Arco, área y perímetro de un sector 3 pasos
Un sector circular de 8 cm de radio tiene un ángulo central de 1,2 radianes. Halla la longitud de su arco, su área y su perímetro.

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1. Con θ en radianes, la longitud del arco es el radio por el ángulo:
  
  $s = r θ = 8 \times 1.2 = 9.6 cm$
2. El área toma esa misma proporción del círculo:
  
  $A = \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 64 \times 1.2 = 38.4 c m^{2}$
3. El perímetro suma el arco y los dos radios. Olvidarse de los radios es el descuido habitual:
  
  $P = 2 r + s = 16 + 9.6 = 25.6 cm$
Respuesta

s = 9,6 cm, A = 38,4 cm² y el perímetro mide 25,6 cm.
Radio y ángulo a partir del arco y del área 3 pasos
Un sector circular tiene un arco de 12 cm y un área de 48 cm². Halla el radio y el ángulo.

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1. Plantea ambos datos en función de r y θ:
  
  $r θ = 12, \frac{1}{2} r^{2} θ = 48$
2. El área es la mitad del radio multiplicada por el arco, ½r·(rθ) = ½rs, de donde obtienes el radio sin que intervenga θ:
  
  $\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r \cdot r θ : 48 = \frac{1}{2} \times r \times 12 \Rightarrow r = 8 cm$
3. Despeja después el ángulo a partir del arco:
  
  $θ = \frac{s}{r} = \frac{12}{8} = 1.5 rad \approx 85.9 4^{\circ}$
Respuesta

r = 8 cm y θ = 1,5 rad, unos 85,94°. Si introduces un radio de 8 y un ángulo de 1,5 en la herramienta, recuperas el arco de 12 y el área de 48.
El segmento circular que corta una cuerda 3 pasos
Una cuerda en una circunferencia de 6 cm de radio subtiende un ángulo central de 120°. Halla el área del segmento circular menor, de forma exacta y con tres cifras significativas.

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1. Convierte primero el ángulo. Ambas fórmulas de área exigen que esté en radianes:
  
  $12 0^{\circ} = 120 \times \frac{π}{180} = \frac{2 π}{3}$
2. El segmento resulta de restar al sector el triángulo que apoyan los dos radios, de área ½r² sin θ:
  
  $A = \frac{1}{2} r^{2} θ - \frac{1}{2} r^{2} sin θ = \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{3}{2}$
3. Simplifica cada término antes de calcular el valor numérico:
  
  $A = 12 π - 93 \approx 37.6991 - 15.5885 = 22.1107$
Respuesta

12π − 9√3 cm², unos 22,1 cm². La aplicación lo resuelve como ½r²(θ − sin θ), que es la misma resta sacando factor común ½r².

$A = 12 π - 93 \approx 22.1 c m^{2}$
sin 3° sin calculadora 3 pasos
Estima sin 3° sin calculadora e indica el error de la aproximación.

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1. Pásalo a radianes. La aproximación sin θ ≈ θ solo es válida en esa unidad:
  
  $3^{\circ} = 3 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{60} \approx 0.0523599$
2. Con ángulos pequeños, el seno equivale al propio ángulo:
  
  $sin 3^{\circ} \approx \frac{π}{60} \approx 0.05236$
3. El primer término descartado es −θ³/6, así que la estimación queda por encima en unos θ³/6, lo que representa una fracción θ²/6 del resultado:
  
  $\frac{θ ^{3}}{6} \approx 2.39 \times 1 0^{- 5}, \frac{θ ^{2}}{6} \approx 0.000457 \approx 0.046%$
Respuesta

sin 3° ≈ 0,05236, un 0,046% por encima. La página muestra el seno real, 0,052336, y ese mismo 0,046%.
Diámetro de la Luna si abarca 0,5181° en el cielo a 384.400 km de distancia 6 pasos
La Luna abarca 0,5181° en el cielo y se encuentra a 384.400 km de distancia. Calcula su diámetro y averigua qué costaría olvidar el cambio de unidad.

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1. Para un objeto lejano y pequeño, la relación es tamaño = distancia × ángulo, que equivale a s = rθ tomando la distancia a la Luna como radio. Exige θ en radianes.
  
  $s = r θ (θ in radians)$
2. Convierte: 0,5181 × π/180 = 0,0090426 radianes.
  
  $0.518 1^{\circ} \times \frac{π}{180} = 0.0090426$
3. Multiplica: 384.400 × 0,0090426 = 3.476 km, frente a un diámetro medio medido de 3.474,8 km.
  
  $384, 400 \times 0.0090426 = 3, 476 km$
4. Olvida por un momento el cambio de unidad y multiplica directamente por 0,5181. Obtendrás 199.158 km: una Luna cuyo ancho casi cubre una segunda distancia Tierra-Luna.
  
  $384, 400 \times 0.5181 = 199, 158 km$
5. El cociente entre ambos resultados es 57,30, que es 180/π. Todo descuido de este tipo se desvía exactamente en ese factor, fuesen cuales fuesen las cifras.
  
  $\frac{199 , 158}{3 , 476} = 57.30 = \frac{180}{π}$
6. Una comprobación antes de dar por buena la respuesta. La fórmula toma el diámetro lunar como un arco en lugar de como una cuerda recta, pero con este ángulo apenas difieren en 12 metros sobre 3.476 km: 3 partes por millón. La aproximación geométrica no es lo que limita la precisión.
  
  $arc - chord = 12 m in 3, 476 km$
Respuesta

3.476 km, y olvidar los radianes cuesta un factor de 57,3. Lo que empaña la cuarta cifra no es la geometría, sino la combinación de datos. A lo largo de un mes, la distancia a la Luna oscila entre unos 363.300 km y 405.500 km, una variación del 11% que arrastra consigo al tamaño angular. Incluso al cruzar el ángulo medio con la distancia media te desvías 1,2 km (la brecha entre los 3.476 de arriba y los 3.474,8 medidos), porque el tamaño angular depende de 1/d y la media de un recíproco no es el recíproco de la media. Cruza ese ángulo medio con la distancia de esta misma noche y te desviarás 190 km en el perigeo, con una aritmética impecable de principio a fin. La ecuación no puede adivinar que los dos números que introdujiste corresponden a momentos distintos.
La pendiente del seno en grados 4 pasos
Una calculadora en modo de grados calcula f(x) = sin x con x en grados. Halla f′(60) y compárala con la pendiente del seno en π/3 radianes.

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1. Una medida de x grados equivale a πx/180 radianes, por lo que f es el seno de una variable reescalada:
  
  $f (x) = sin x^{\circ} = sin \frac{π x}{180}$
2. Reescalar el eje multiplica cualquier pendiente por ese mismo factor, π/180:
  
  $f^{'} (x) = \frac{π}{180} cos \frac{π x}{180} = \frac{π}{180} cos x^{\circ}$
3. En x = 60, cos 60° = ½:
  
  $f^{'} (60) = \frac{π}{180} \times \frac{1}{2} = \frac{π}{360} \approx 0.008727$
4. Ese mismo punto en radianes es π/3, donde la pendiente vale cos(π/3) = ½. Ambos resultados difieren en el factor π/180 y en nada más:
  
  $\frac{d}{d θ} sin θ_{θ = π /3} = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$
Respuesta

f′(60) = π/360 ≈ 0,008727 por grado, frente a ½ por radián.

$f^{'} (60) = \frac{π}{360} \approx 0.008727$
θ queda acotado entre el seno y la tangente, pero no por la mitad 6 pasos
A 10°, el panel muestra un arco de 0,174533, un seno de 0,173648 y un error del 0,51%. Calcula dónde cae la tangente de ese mismo ángulo y juzga si ese 0,51% es lo mejor que se puede lograr con esos dos números.

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1. Diez grados equivalen a 10 × π/180 = 0,174533 radianes. En una circunferencia de radio 1 el arco coincide con el ángulo: ese es todo el contenido de s = rθ.
  
  $θ = 1 0^{\circ} \times \frac{π}{180} = 0.174533 rad, s = r θ = θ (r = 1)$
2. El seno se queda algo corto, en 0,173648. El panel divide esa diferencia entre el seno y obtiene el 0,51%.
  
  $sin θ = 0.173648, \frac{θ - sin θ}{sin θ} = \frac{0.000885}{0.173648} = 0.51%$
3. Ese desfase tiene una magnitud que puedes predecir. Como sin θ = θ − θ³/6 + …, la resta θ − sin θ debería rondar θ³/6 = 0,000886, frente a los 0,000885 reales.
  
  $sin θ = θ - \frac{θ ^{3}}{6} + \dots ⟹ θ - sin θ \approx \frac{θ ^{3}}{6} = 0.000886$
4. La tangente se pasa de largo con un término similar pero con el doble de coeficiente: tan θ = θ + θ³/3 + …, lo que da tan θ − θ = 0,001794. En conjunto, sin θ < θ < tan θ. Ese encaje es la acotación que demuestra que la pendiente del seno en cero vale exactamente 1 en radianes; la página solo muestra su mitad inferior.
  
  $tan θ = θ + \frac{θ ^{3}}{3} + \dots = 0.176327 ⟹ tan θ - θ = 0.001794 \approx \frac{θ ^{3}}{3}$
5. La acotación no es simétrica: la tangente se pasa 2,03 veces más de lo que el seno se queda corto. Por eso θ se sitúa a un tercio del camino entre el seno y la tangente, no en el punto medio.
  
  $sin θ < θ < tan θ, \frac{tan θ - θ}{θ - sin θ} = 2.03 ⟹ θ lies one third of the way up$
6. Pondera ambos valores en esa proporción y los términos cúbicos se anulan por completo, ya que 2(−⅙) + ⅓ = 0. Así, (2 sin θ + tan θ)/3 = 0,1745411, con un desvío de apenas 8,2 × 10⁻⁶, es decir, un 0,0047%: una precisión más de cien veces mayor que la del seno aislado, obtenida a partir de los dos mismos datos.
  
  $2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3} = 0 : \frac{2 sin θ + tan θ}{3} = 0.1745411, out by 8.2 \times 1 0^{- 6} = 0.0047%$
Respuesta

La tangente va a parar a 0,176327, al otro lado del arco, y ese 0,51% dista mucho de ser la mejor aproximación posible. Esta ponderación tiene una larga historia bajo otro nombre: el polígono regular inscrito en una circunferencia tiene un perímetro de 2n sin(π/n), y el circunscrito, de 2n tan(π/n), exactamente el seno y la tangente evaluados en θ = π/n. Al dividir entre el diámetro se obtienen las cotas clásicas de π. Con 96 lados, los perímetros dan 3,14103195 y 3,14271460, cotas que por sí solas fijan π en 3,14; combinadas como (2 × 3,14103195 + 3,14271460)/3 producen 3,14159283 frente al valor auténtico de 3,14159265. La tangente siempre ha estado en el modelo de la herramienta; solo el seno se lleva una tarjeta porque la regla para ángulos pequeños es lo que te piden en clase de física.

$n = 96 : \frac{2 ( 3.14103195 ) + 3.14271460}{3} = 3.14159283 (π = 3.14159265)$

La derivada del seno es el coseno solo en radianes 🖖

Pulsa El cálculo de pendientes se basa en. Cuando θ = 0, la pendiente del seno es exactamente 1. Cambia ahora de unidad: el mismo punto de la misma curva da 0,017453, porque un grado es un incremento menor que un radián y el seno aumenta proporcionalmente menos en cada grado. Por tanto, la sencilla regla d/dx sen x = cos x solo es válida cuando los ángulos se miden en radianes. Lo mismo ocurre con la serie del seno, con todos los términos de Fourier y con la aproximación para ángulos pequeños que aparece más abajo. Es perfectamente posible desarrollar un cálculo basado en grados, pero el factor nunca desaparece: una primera derivada lleva π/180; una segunda, su cuadrado; una integral, su inverso. Por eso nadie trabaja así.

La aproximación resiste mucho más de lo esperado 🖖

Cuando el ángulo es pequeño, sin θ ≈ θ. Como el siguiente término de la serie es −θ³/6, el error relativo crece como θ²/6, con el cuadrado del ángulo, lo que mantiene la aproximación muy ceñida durante un buen tramo. A 1° la desviación es de apenas el 0,005%; a 5°, del 0,127%, e incluso a 10° se queda en un modesto 0,51%. Si avanzas hasta los 30°, la concordancia se rompe al fin con un 4,72%. Un péndulo se rige exactamente por esta concesión: su ecuación solo describe un movimiento armónico simple si sustituyes sin θ por θ. Por eso los relojes de péndulo reales se atrasan cuanto mayor es la amplitud del balanceo, en una fracción que aumenta también con el cuadrado del ángulo.

Ruta de aprendizaje

Por qué todo se ve recto de cerca

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.