Péndulo Simple / MAS

Calcula el período de un péndulo de 1 m soltado a 20° y descubre lo equivocada que está la fórmula del libro de texto — porque la fórmula del libro de texto no es la respuesta. Considera g = 9.81 m/s².

1. El torque restaurador varía como sin θ, lo cual no produce un movimiento armónico simple. La famosa fórmula solo aparece tras reemplazar sin θ por θ — una aproximación, no una deducción, y todo lo que sigue la hereda.

   $$m\ell \ddot{\theta }=-mg\sin \theta \stackrel{\sin \theta \approx \theta }{\to }\ddot{\theta }=-\frac{g}{\ell }\theta$$

2. Con ese cambio la ecuación es la del oscilador armónico y el período aparece directamente. Observa lo que no contiene: la masa y la amplitud. Ambas ausencias son consecuencias de la aproximación, no del péndulo.

   $$T_0=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}=2\pi \sqrt{\frac{1}{9.81}}=2.006\mathrm{s}$$

3. El período exacto es una integral elíptica, pero su desarrollo en serie muestra qué tan rápido se degrada la aproximación. La corrección es cuadrática respecto al ángulo de liberación, en radianes.

   $$T=T_0\left(1+\frac{{\theta }_0^2}{16}+\cdots \right),{\theta }_0=20^{\circ }=0.349\mathrm{rad}$$

4. Evalúalo. Este es el valor que imprime el simulador de arriba, porque utiliza el período corregido en lugar del del libro de texto.

   $$T=2.006\left(1+\frac{0.349^2}{16}\right)=2.006\times 1.00762=2.021\mathrm{s}$$

5. La velocidad máxima proviene únicamente de la energía — la altura de caída ℓ(1−cos θ₀) convertida en energía cinética — y no requiere aproximación alguna.

   $$v_{\max }=\sqrt{2g\ell (1-\cos {\theta }_0)}=\sqrt{2(9.81)(1)(1-\cos 20^{\circ })}=1.088m/s$$