Explorador de ondas seno/coseno

ondas trigonométricas parametrizadas, visualizadas en vivo

Ejemplo resuelto — Explorador de ondas seno/coseno

Amplitud \|A\|	1
Desplazamiento vertical D	0

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Explorador de ondas seno/coseno

Todas las ondas senoidales que te encuentres son la misma curva con cuatro números aplicados: y = A·sin(Bx + C) + D. A la estira verticalmente, B la comprime horizontalmente, C la desplaza lateralmente y D la eleva. Nada más de su forma puede cambiar.

Qué significa cada símbolo

A: la amplitud — la mitad de la distancia desde el valle hasta la cresta. El indicador muestra |A| porque un valor negativo de A invierte la onda sin cambiar su altura.
B: el factor de frecuencia, y fíjate en la redacción: no es la frecuencia. Cuenta cuántos radianes avanza el argumento por unidad de x.
C: el término de fase, en radianes. Está dentro del paréntesis, razón por la cual no es el desplazamiento en sí.
D: el desplazamiento vertical — la línea media alrededor de la cual oscila la onda.

De dónde viene la fórmula

El seno se repite cuando su argumento avanza 2π. Por tanto, la onda se repite cuando Bx + C aumenta en 2π.
C es constante, de modo que todo ese aumento debe proceder de Bx: necesitas B·Δx = 2π.
Por lo tanto, el período es T = 2π/|B| — 6.2832 cuando B = 1, y se reduce a la mitad cuando B = 2. El valor absoluto está ahí porque un valor negativo de B invierte la onda, pero no puede darle una longitud negativa.

Cómo leer lo que ves

Arrastra B y observa la línea del desplazamiento de fase: es la forma más rápida de comprobar que el desplazamiento depende de ambos números. La ecuación se muestra de nuevo incorporando tus cuatro números, y luego cada propiedad se deduce en lugar de simplemente enunciarse: |A|, el período como 2π/|B|, el desplazamiento de fase como −C/B, y D.

Supone: El ángulo está en radianes, razón por la cual aparece 2π en lugar de 360. Los cuatro parámetros son además independientes — esta forma no puede producir una onda cuya amplitud se amortigüe, independientemente de cómo los ajustes.
Falla cuando: La trampa está en el desplazamiento de fase, y el indicador es explícito a propósito al respecto: la onda se desplaza −C/B, no −C. Con B = 2 y C = π, el desplazamiento es −π/2, la mitad de lo que el paréntesis parece prometer, porque C se mide en la coordenada comprimida en lugar de en x. Lee sin(Bx + C) como sin(B(x + C/B)) y el factor B dejará de ser una sorpresa.

cómo una rueda giratoria crea el seno y el coseno 🖖

El seno y el coseno en realidad no tratan de triángulos — son la sombra horizontal y vertical de un punto que se mueve a velocidad constante alrededor de un círculo. A medida que el punto recorre el ángulo θ = Bx + C, su posición vertical traza sin(θ) mientras que su posición horizontal traza cos(θ), y por eso las dos curvas son idénticas salvo por un desfase de un cuarto de vuelta (π/2). Esto también explica por qué B controla la frecuencia pero nunca la amplitud: B solo cambia la velocidad con la que el punto recorre la rueda, no cuánto oscila su sombra. La misma idea del vector giratorio — una rueda giratoria disfrazada — es cómo los ingenieros describen la corriente alterna, el sonido y las señales de radio como fasores.

«seno» viene de una mala traducción 🖖

La palabra seno es un accidente histórico. Los matemáticos indios lo llamaban jyā (cuerda de arco); los sabios árabes lo tomaron como jayb, que además significaba «bahía» o «pliegue». Cuando los traductores latinos leyeron la palabra, tradujeron ese significado ajeno de forma literal como sinus — latín para una bahía o el pliegue de una túnica. Así que cada vez que escribes sin usas una mala traducción de «cuerda de arco» del siglo XII.

Práctica

Compruébalo tú mismo

Predice la respuesta primero y luego usa los controles de arriba para comprobarlo. Revela la solución solo cuando te hayas comprometido con una hipótesis: eso es lo que lo convierte en práctica.

El preajuste fase π/2 fija C = 1.5708 y la fila del desfase marca −1.5708 — la onda se desliza a la izquierda aunque C sea positivo. Cambia ahora B a 2 y deja C como está. Predice el desfase antes de mirar.

Mostrar la respuesta

−0.7854, exactamente la mitad; con B = 4 son −0.3927. La fila calcula −C/B, no −C, así que subir la frecuencia encoge el desplazamiento en la misma proporción. C se mide en radianes del argumento mientras que el desplazamiento se mide a lo largo de x, y B es el tipo de cambio entre ambos. El signo menos es la otra mitad de la sorpresa: sin(x + C) hace en x = −C lo que el seno simple hace en 0, así que sumar al argumento mueve la imagen hacia atrás. Este caso concreto tiene además un nombre — con B = 1 y C = π/2, sin(x + π/2) es cos x. Cambia la función a cos y devuelve C a 0 para ver llegar la misma curva por el otro camino.
El preajuste desplazamiento combinado dibuja 1.5·cos(x − 0.7854) + 1, y la fila de amplitud marca 1.5. ¿Qué valores máximo y mínimo alcanza realmente esta onda, y por qué ninguna fila los imprime?

Mostrar la respuesta

2.5 y −0.5. La amplitud es una media altura medida desde la línea central de la onda, y aquí esa línea central no es y = 0: la fila del desplazamiento vertical dice D = 1. Los extremos son por tanto D + |A| y D − |A|. Ninguna fila los imprime porque estas cuatro filas son los cuatro *parámetros* de la forma estándar A·sin(Bx + C) + D, no sus salidas. Leer |A| como el máximo es el desliz habitual, y la fila del desplazamiento vertical, justo debajo, es precisamente lo que te impide cometerlo.

Problema resuelto al detalle

Un coseno desplazado mostrado como un seno simple más un coseno simple 6 pasos
y = 1,5 cos(x − 0,7854) + 1. Determine la amplitud, el período y los desplazamientos; a continuación, demuestre que el coseno desplazado es un seno simple más un coseno simple. Este es el estado de desplazamiento combinado.
1. Cuatro parámetros, y cada uno desplaza la curva de una manera diferente. Solo dos de ellos interactúan.
  
  $y = A cos (B x + C) + D = 1.5 cos (x - 0.7854) + 1$
2. La amplitud es la semialtura, por lo que la curva se sitúa en una franja de anchura 2|A| centrada en D. Nada más afecta al recorrido.
  
  $∣ A ∣ = 1.5 ⟹ y \in [D - ∣ A ∣, D + ∣ A ∣] = [- 0.5, 2.5]$
3. El período depende únicamente de B. Un valor de B más grande significa que el argumento avanza más rápido, por lo que el período se acorta.
  
  $T = \frac{2 π}{∣ B ∣} = \frac{2 π}{1} = 6.2832$
4. El desplazamiento horizontal se da donde el argumento es cero, es decir, −C/B. Dividir por B es el paso que se suele omitir, y es el paso fundamental en cuanto B no es 1.
  
  $B x + C = 0 ⟹ x = - \frac{C}{B} = + 0.7854 — the shift is - C / B, not C$
5. Ahora se efectúa el desarrollo. El coseno de una diferencia se descompone en dos términos, y cos(π/4) y sin(π/4) son ambos iguales a 1/√2.
  
  $1.5 cos (x - \frac{π}{4}) = 1.5 (cos x cos \frac{π}{4} + sin x sin \frac{π}{4}) = 1.0607 cos x + 1.0607 sin x$
6. Invierta el proceso para comprobarlo. Los dos coeficientes se recombinan para dar la amplitud original, y su cociente permite recuperar la fase.
  
  $1.060 7^{2} + 1.060 7^{2} = 1.5, arctan \frac{1.0607}{1.0607} = \frac{π}{4}$
Respuesta

1,0607 cos x + 1,0607 sin x + 1, y los dos coeficientes son 1,5/√2. Al desarrollar el desfase con la fórmula de adición, una onda desplazada en fase se convierte en una suma ponderada de un seno y un coseno sin desfase a la misma frecuencia; el proceso se invierte de modo que cualquier a cos x + b sin x se reduce a una única onda de amplitud √(a² + b²) y fase arctan(b/a). Esa equivalencia es la razón por la que las series de Fourier solo necesitan senos y cosenos y nunca un tercer parámetro por término: la fase ya está incluida, oculta en el cociente de los dos coeficientes. El otro detalle que conviene observar en este panel es el signo menos: el desplazamiento horizontal es −C/B, no C, y cuando B ≠ 1 ambos ni siquiera coinciden en magnitud.

$Δ x = - \frac{C}{B} = 0.7854; a cos x + b sin x = a^{2} + b^{2} cos (x - arctan \frac{b}{a})$

Ruta de aprendizaje

Círculos y ondas son el mismo movimiento

Lleva a Movimiento circular los cuatro números que describen cualquier sinusoide, y el período como T = 2π/|B|.

Referencias (2)

The phase shift is −C/B and not −C, which is the trap the readout is explicit about: D. G. Fraser, "A Method for Finding the Period and Phase Shift of Trigonometric Functions." The Mathematics Teacher 61(8), 762–763, 1968.
On what students actually take away from amplitude, period and phase: K. Weber, "Students' understanding of trigonometric functions." Mathematics Education Research Journal 17(3), 91–112, 2005.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-05-11

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

seno básico - y=sin(x) — amplitud 1, período 2p≈6.28
frecuencia doble - y=sin(2x) — frecuencia doble, período reducido a la mitad, p≈3.14
desfase de π/2 - y=sin(x+p/2) — desfase a la izquierda de p/2, equivale a cos(x)
desplazamiento combinado - y=1.5·cos(x-p/4)+1 — combinación de amplitud, desfase y desplazamiento vertical