Laboratorio de movimiento circular

Explora el movimiento circular uniforme y las trayectorias circulares verticales con simulación de tensión nula y caída libre.

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Lección

La teoría — Laboratorio de movimiento circular

Algo que se mueve en círculo a rapidez constante sigue acelerando, porque la aceleración es un cambio en la velocidad y la velocidad incluye la dirección. Esa aceleración siempre apunta hacia el centro —que es lo que significa la palabra centrípeta—, y por eso una trayectoria circular requiere una fuerza para mantenerse.

Qué significa cada símbolo

r: el radio del círculo, 1.50 m aquí. Aparece tanto en v = ωr como en a_c = ω²r, por lo que ampliar el círculo a una ω fija hace que el objeto viaje más rápido y acelere más — los dos no son independientes.
ω: la velocidad angular en radianes por segundo —qué tan rápido barre el ángulo—, 2.0 rad/s. Por sí sola no dice nada sobre el tamaño.
v: la rapidez tangencial, a lo largo del círculo: v = ωr = 3.00 m/s.
a_c: la aceleración centrípeta, ω²r = 6.00 m/s². Observa lo que no aparece en ella.
T: el período, una vuelta completa: 2π/ω = 3.14 s, o 0.32 vueltas por segundo.

De dónde viene la fórmula

En un intervalo de tiempo pequeño, el vector velocidad no cambia de longitud, solo de dirección —gira el mismo ángulo Δθ = ω·Δt que el propio objeto.
Rotar un vector de longitud v un ángulo pequeño lo modifica en v·Δθ, apuntando de forma perpendicular a la velocidad, es decir, hacia el centro. Por tanto, la aceleración tiene una magnitud de v·Δθ/Δt = v·ω.
Al sustituir v = ωr se obtienen las dos formas que utiliza la página: a_c = ω²r y, de forma equivalente, a_c = v²/r. Con los valores por defecto, 2.00² × 1.50 = 6.00 m/s².

Supone: Movimiento circular uniforme: rapidez constante, radio constante y una ligadura rígida que mantiene al objeto en su trayectoria. Si aumentas la rapidez o dejas que el radio varíe, aparecerá una segunda aceleración, tangencial, que ninguna de estas fórmulas describe.
Falla cuando: Dos detalles que vale la pena notar, y el segundo es un error conceptual muy común. En primer lugar, a_c = ω²r no contiene la masa en absoluto —cambias la casilla de masa y la aceleración no varía; la masa solo interviene cuando pides la fuerza, F = m·a_c. En segundo lugar, no existe ninguna fuerza hacia afuera. El empuje hacia afuera que sientes en un carrusel es tu propia inercia llevándote en línea recta mientras el asiento gira; la única fuerza real es hacia adentro, y si esta desaparece, continúas a lo largo de la tangente —no hacia afuera.

Velocidad constante y aun así acelerando todo el rato 🖖

En el primer preajuste de esta herramienta la rapidez de la bola no cambia en nada —se mantiene en 3,00 m/s de principio a fin— y sin embargo la lectura muestra también una aceleración de 6,00 m/s² que no se apaga nunca. Ambas cosas son ciertas, porque la aceleración es el cambio de la velocidad como vector, y un vector lleva dirección. El módulo está fijo; la dirección gira en cada instante, así que algo tiene que estar tirando. Por eso el movimiento circular «uniforme» no es movimiento sin aceleración, y es lo que el estudiantado confunde más a menudo aquí. Además el tirón crece de forma feroz: a_c = ω²r, así que subir el giro de 2,0 a 4,5 rad/s —solo 2,25 veces— multiplica la aceleración por 5,06, hasta 30,38 m/s². Eso son unos 3,1g en el cable de un lanzador de martillo.

La fuerza centrípeta es un papel, no una fuerza 🖖

Nada llamado centrípeto empuja al objeto; la palabra solo nombra a la fuerza real que en cada caso apunta hacia el centro — la tensión de la cuerda, la gravedad de un satélite, el rozamiento de un coche al girar. Siempre apunta hacia dentro, a lo largo del radio. La idea concreta: corta la cuerda y la bola no sale disparada hacia fuera — se marcha en línea recta a lo largo de la tangente, porque ya no queda fuerza que curve su trayectoria.

Los loopings son lágrimas, no círculos 🖖

Un looping perfectamente circular exigiría una gran velocidad de entrada, y atravesar la parte baja a esa velocidad aplastaría a los pasajeros con brutales fuerzas g. Como la velocidad mínima justo arriba es solo √(gr) — independiente de la masa — los ingenieros estrechan el radio arriba y lo ensanchan abajo, dando la forma de lágrima llamada clotoide (espiral de Euler), introducida por Werner Stengel en 1976. Menos velocidad arriba, fuerzas g más suaves abajo.

Práctica

Compruébalo tú mismo

Predice la respuesta primero y luego usa los controles de arriba para comprobarlo. Revela la solución solo cuando te hayas comprometido con una hipótesis: eso es lo que lo convierte en práctica.

El preajuste bucle vertical hace girar una cuerda de 1.00 m a v₀ = 7.3 m/s e informa de éxito. El preajuste cuerda floja usa 1.50 m a 6.0 m/s y falla. Escribe 7.3 como velocidad inferior del preajuste flojo: ¿la velocidad que bastó con la cuerda corta salva a la larga?

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No — se afloja igualmente, tensión arriba 0.0 N. La condición es v₀ ≥ √(5gr), que crece con la raíz del radio: 7.00 m/s a r = 1.00 m, pero 8.57 m/s a r = 1.50 m. Sube la velocidad poco a poco en el bucle de 1.5 m y el veredicto cambia entre 8.5 m/s (tensión arriba −0.8 N, floja) y 8.6 m/s (0.3 N, tensa), justo donde la fórmula lo predice. El 5 no es un apaño: la conservación de la energía da v_top² = v₀² − 4gr, y mantenerse tensa hasta el final exige que allí arriba solo la gravedad aporte la fuerza centrípeta, v_top² = gr. Suma ambas y aparece el 5.
El preajuste fuerza centrípeta gira 2.0 kg en un brazo de 1.80 m a ω = 2.2 rad/s e informa de a꜀ = 8.7 m/s² — justo por debajo de un g. ¿Qué ω hace que la aceleración centrípeta valga exactamente g, y qué fuerza muestra entonces el panel?

Mostrar la respuesta

ω = √(g/r) = √(9.8/1.8) = 2.33 rad/s. Introdúcelo y el panel marca a꜀ = 9.8 m/s² y F = 19.5 N, que es justo lo que pesan los 2.0 kg. Es el cruce en el que un péndulo cónico cuelga a 45°: el tirón lateral que necesita ha alcanzado al tirón hacia abajo que ya tenía. Fíjate en que g lo tienes que poner tú — el panel muestra la aceleración y la fuerza, nunca el peso, así que la comparación es cosa tuya.

Problema resuelto al detalle

Bola de 1 kg en una cuerda de 1 m girando en un círculo vertical 5 pasos
Una bola de 1 kg en una cuerda de 1 m, girando en un círculo vertical y pasando por el punto más bajo a 7,3 m/s. Averigua si la cuerda se mantiene tensa al pasar por la parte superior y qué debe soportar en el punto más bajo. Esto es Bucle vertical con r = 1,0 m, m = 1,0 kg, g = 9,8 m/s² y v₀ = 7,3 m/s.
1. En la parte superior del círculo, el centro se encuentra directamente abajo, por lo que la gravedad y la cuerda tiran en el mismo sentido. Una cuerda puede tirar pero nunca empujar, de modo que el caso límite es aquel en el que no aporta nada y la gravedad por sí sola debe satisfacer todo el requisito centrípeto.
  
  $T_{top} + m g = \frac{m v _{top}^{2}}{r}, T_{top} \geq 0 ⟹ v_{top, min} = g r = 9.8 \times 1.0 = 3.13 m/s$
2. La velocidad en la parte superior proviene de la energía, no de las fuerzas. Ascender 2r se paga a expensas de la energía cinética, y combinar esto con la condición del paso 1 da una velocidad mínima en el punto inferior de √5 veces la velocidad mínima en el punto superior.
  
  $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v_{top}^{2} + m g (2 r) ⟹ v_{0}^{2} = v_{top}^{2} + 4 g r, v_{0, m i n} = 5 g r = 49.0 = 7.00 m/s$
3. Así, 7,3 m/s supera el mínimo de 7,00 m/s en un 4,3 %. En v², ese superávit es de 4,29, y el ascenso resta un valor fijo de 4gr en lugar de una fracción, por lo que la totalidad de los 4,29 se conserva hasta la parte superior, donde se contrapone a un requisito de tan solo 9,8, lo que representa allí un 44 %.
  
  $v_{0}^{2} - v_{0, m i n}^{2} = 53.29 - 49.00 = 4.29; v_{top}^{2} = 53.29 - 39.20 = 14.09 ⟹ v_{top} = 3.75 m/s$
4. Veamos ahora las dos tensiones. En la parte superior, la gravedad apunta hacia dentro y paga parte de la factura, de modo que la cuerda cubre la diferencia; esa diferencia es el 4,29 del paso 3, ya que m/r vale 1 aquí. En el punto más bajo, la gravedad apunta hacia fuera, por lo que la cuerda soporta el requisito centrípeto más todo el peso.
  
  $T_{top} = \frac{m v _{top}^{2}}{r} - m g = 14.09 - 9.80 = 4.29 N, T_{bot} = \frac{m v _{0}^{2}}{r} + m g = 53.29 + 9.80 = 63.09 N$
5. Réstalas. Los dos términos v² difieren exactamente en 4gr, los dos términos de peso se suman en lugar de cancelarse y todo rastro de la velocidad desaparece.
  
  $T_{bot} - T_{top} = \frac{m ( v _{0}^{2} - v _{top}^{2} )}{r} + 2 m g = 4 m g + 2 m g = 6 m g = 58.8 N$
Respuesta

La herramienta muestra 63,1 N en el punto más bajo, 4,3 N en el punto más alto y una velocidad mínima en la cumbre del bucle de 3,13 m/s. El paso 5 es el que conviene recordar: la diferencia entre ambas tensiones es 6mg —58,8 N aquí— y no depende en absoluto de la velocidad, de modo que girar más rápido aumenta ambas por igual y nunca estrecha ese margen. Si se realiza al mínimo estricto, la tensión superior es cero y la tensión inferior es, por tanto, exactamente 6mg, lo que para un pasajero en el bucle circular de una montaña rusa representa 6 g de peso aparente. Eso supera lo que una persona puede soportar sentada erguida, y es la razón por la cual ningún bucle moderno es circular: una clotoide reduce el radio en la parte superior, donde un radio pequeño implica una velocidad requerida pequeña, y lo amplía en la parte inferior, donde v²/r es lo que presiona al pasajero.

$T_{bot} - T_{top} = 6 m g \forall v_{0}$