Lecciones Interactivas de Matemáticas y Ciencias (ﾉ◕ヮ◕)ﾉ*:･ﾟ✧

Matemáticas

Fija unas pocas reglas y las consecuencias dejan de depender de ti. Lo que se deduce rara vez es lo que habrías supuesto, y las herramientas de aquí existen para mostrarte con qué consecuencia te has quedado.

Newest in this category

Capítulos

Secuencias breves en lugar de herramientas sueltas. Cada paso entrega al siguiente algo concreto, así que conviene seguir el orden.

L1: fundamentos

Las reglas del triángulo y de dónde salen

MATHSeis herramientas que construyen los resultados fundamentales del triángulo y el círculo en el orden en que realmente dependen unos de otros. Aquí no se da nada por sentado: cada regla surge como consecuencia de la anterior, y el recorrido termina al ubicar la primera de vuelta sobre una cuadrícula, donde se convierte en la fórmula de la distancia.

  1. 01Área y perímetro
  2. 02Triángulos semejantes
  3. 03Pitágoras
  4. 04Resolver cualquier triángulo
  5. 05Ángulos en la circunferencia
  6. 06La circunferencia unidad
  7. 07Geometría analítica

L1: fundamentos

Despejar la x, partiendo del signo menos

MATHSeis herramientas que estructuran la resolución de ecuaciones en el orden en que las ideas realmente dependen unas de otras. Empiezas por lo que hace un signo menos. Terminas con un método mecánico para tres incógnitas a la vez. Cada paso entrega al siguiente algo concreto: un movimiento, una restricción a un movimiento o una prueba para saber si tu movimiento fue válido.

  1. 01Números negativos
  2. 02Ecuaciones lineales
  3. 03Desigualdades
  4. 04Despeje de fórmulas
  5. 05Dos ecuaciones a la vez
  6. 06Tres o más a la vez

L2: escuela

Identidades y ecuaciones trigonométricas

MATHUna identidad se cumple para todo ángulo en el que ambos miembros estén definidos: justo eso te permite cambiar la función que te da el problema por la que te pide calcular. El capítulo arranca con las funciones recíprocas y las tres identidades pitagóricas. Pasa después a las funciones inversas que devuelve la calculadora, las ecuaciones a las que dan pie y las fórmulas del ángulo compuesto, para culminar en el ángulo doble, las formas armónicas y la demostración de identidades.

  1. 01Identidades pitagóricas
  2. 02Funciones trigonométricas inversas
  3. 03Ecuaciones trigonométricas
  4. 04Ángulos compuestos

L2: escuela

Por qué todo se ve recto de cerca

MATHCinco herramientas para una sola idea: una curva suave, si la amplías lo suficiente, es indistinguible de una línea recta. Ese único hecho es lo que mide una derivada. Es lo que extiende una serie de Taylor, y lo que hace un gradiente en más de una dirección. El camino empieza con la medida angular que logra que la aritmética resulte limpia. Termina en una ladera donde la pendiente más pronunciada supera cualquier dirección que realmente mediste.

  1. 01Radianes
  2. 02Límites
  3. 03La derivada
  4. 04Explorador de sumas de Riemann
  5. 05Series de Taylor
  6. 06Más de una dirección

L2: escuela

Geometría en una superficie curva

GEOEn una superficie curva las reglas demostradas en papel dejan de cumplirse, y la medida en que cada una falla mide la curvatura desde el interior. Una ruta recta cambia su rumbo en la brújula, una flecha que transportas sin girar regresa rotada, un anillo resulta tener la longitud equivocada, y en el plano hiperbólico ningún triángulo puede contener más de π.

  1. 01Rutas de círculo máximo
  2. 02Transporte paralelo
  3. 03Theorema egregium
  4. 04El plano hiperbólico

L2: escuela

Métodos de demostración

MATHUna demostración es un razonamiento que abarca todos los casos, incluidos aquellos que nadie comprobará jamás. Estas páginas construyen ese razonamiento de cuatro maneras: por inducción, repartiendo cosas en cajas, mediante una cantidad que ningún movimiento logra alterar y formando parejas. La primera empieza con una fórmula que da un número primo cuarenta veces seguidas y luego da 41 × 41.

  1. 01Demostración por inducción
  2. 02El principio del palomar
  3. 03Invariantes
  4. 04El teorema de los números pentagonales

L2: escuela

Derivación: cómo se combinan las razones de cambio

MATHUna derivada es una razón de cambio. Cada regla de derivación explica cómo se combinan esas razones: en un producto, al anidar una función dentro de otra o en una ecuación donde nadie ha despejado la y. En las dos últimas páginas pondrás estas reglas en práctica con las preguntas que de verdad plantea cualquier curso: a qué velocidad cambia algo en un instante preciso y cuál es la mejor opción.

  1. 01Regla del producto
  2. 02Regla de la cadena
  3. 03Derivación implícita
  4. 04Razones relacionadas
  5. 05Optimización

L3: universidad

Ajuste de una recta a los datos

MATHSiete herramientas que transforman una nube de puntos dispersos en un número que puedes defender, para luego plantear cómo se halla ese número, cuánto debes confiar en él, qué ocurre cuando nadie te da la respuesta, y finalmente cómo evaluar una predicción que siempre fue solo una probabilidad. El recorrido atraviesa la geometría más que la estadística, porque es la geometría lo que hace honesta a la estadística.

  1. 01Vectores
  2. 02Geometría de mínimos cuadrados
  3. 03Regresión lineal
  4. 04Descenso de gradiente
  5. 05Sobreajuste
  6. 06k-medias
  7. 07Calibración

L3: universidad

La mejor respuesta y lo que pasa cuando nadie la calcula

MATHCuatro juegos y una operación: hallar el movimiento que responda a lo que haga el otro jugador. Por sí sola resuelve el primer juego. En el segundo exige repasar toda una matriz para encontrarla, y en el tercero acarrea un precio. En el cuarto, nadie la calcula en absoluto. Y, sin embargo, la población llega a la respuesta de todos modos.

  1. 01El dilema del prisionero
  2. 02El equilibrio de Nash
  3. 03La tragedia de los comunes
  4. 04La evolución de la cooperación

L3: universidad

Tres métodos numéricos y dónde falla cada uno

MATHEl método de Newton, la regla de Simpson y el método de Euler funcionan con el mismo motor: en un intervalo lo bastante pequeño, tratar la curva como una recta. Por tanto, cada uno presenta un fallo que no es un defecto. Lo verdaderamente útil es que sepas qué fallo corresponde a cada método. Aquí, cada paso entrega al siguiente un error con nombre propio y la tasa a la que se reduce.

  1. 01Método de Newton
  2. 02Integración numérica
  3. 03Método de Euler

L3: universidad

Técnicas de integración

MATHDerivar es un procedimiento e integrar es una búsqueda. Por esto mismo, los ejercicios de este capítulo evalúan tu respuesta de una sola manera: derívala y compárala con el integrando. La sustitución y la integración por partes no son más que las reglas de la cadena y del producto aplicadas a la inversa. El método de fracciones parciales cubre esa gran familia donde siempre existe una respuesta elemental. La última página demuestra que, para e⁻ˣ², dicha respuesta simplemente no existe.

  1. 01Primitivas
  2. 02Sustitución
  3. 03Integración por partes
  4. 04Fracciones parciales
  5. 05Integrales trigonométricas
  6. 06Elección de una técnica
  7. 07Sin fórmula alguna

L3: universidad

Aplicaciones de la integral

MATHUna integral es una cantidad acumulada: un área, una distancia, un volumen. Este capítulo arranca con el teorema que conecta esa acumulación con el ritmo de cambio, y avanza desde ahí hacia el cálculo de áreas entre curvas, problemas de movimiento y volúmenes obtenidos por secciones.

  1. 01El teorema fundamental
  2. 02Área entre curvas
  3. 03Acumulación y movimiento
  4. 04Volumen por secciones
  5. 05El método de los casquillos
  6. 06Combinar dos sólidos
  7. 07Integrales dobles
  8. 08Integrales dobles en polares

L3: universidad

Las ecuaciones del calor, de onda y de Laplace

PHYTres ecuaciones construidas sobre un mismo operador, el laplaciano, que difieren únicamente en el papel del tiempo. El calor olvida, empezando por el detalle más fino. Una onda aleja una perturbación y, sobre una superficie, nunca termina de llegar del todo. La ecuación de Laplace carece de tiempo por completo, y es el estado al que llega el calor a base de olvidar: cada punto es el promedio de sus vecinos.

  1. 01La ecuación del calor
  2. 02Estaciones bajo tierra
  3. 03La ecuación de onda
  4. 04La ecuación de Laplace

Problemas resueltos al detalle

Lo que descubrirás aquí

Artículos escritos a partir de estas herramientas

Todas las herramientas de esta sección

Calculus & Analysis

Acumulación y movimiento
Con una velocidad t² − 4t + 3 durante 4 segundos, un objeto termina a 4/3 de donde partió habiendo recorrido 4: el triple de distancia. Elige una velocidad, compara desplazamiento, distancia y promedio, y observa dónde se alcanza exactamente ese valor medio.
Área entre curvas
x³ y x encierran un área de ½ en [−1, 1], pero la integral de su diferencia es 0: donde las curvas se cruzan, hay que dividir la integral. Elige dos curvas y comprueba cómo se separan el área y la integral con signo.
Campo de pendientes y solucionador de EDO
Visualiza campos de pendientes dy/dx = f(x,y) y haz clic para añadir curvas solución con RK4.
Combinar dos sólidos
Dos cilindros de radio r cuyos ejes se cruzan en ángulo recto comparten un sólido de volumen 16r³/3, sin rastro de π; y una esfera perforada para dejar un anillo de altura h conserva un volumen de πh³/6, por grande que fuera la esfera. Combina dos sólidos mediante intersección, unión o diferencia y halla el volumen sección a sección.
Constructor de series de Fourier
Cinco armónicos sobrestiman una onda cuadrada hasta 1,182, y añadir más nunca lo arregla: el pico converge a 1,17898. Un salto hace que los armónicos decaigan como 1/k y una esquina como 1/k², por lo que solo el salto resuena.
Curvas paramétricas
(cos t, sen t) y (cos 2t, sen 2t) dibujan la misma circunferencia y ningún dibujo las distingue. En la curva de Lissajous en t = π la velocidad es 2 y el radio de curvatura 0,444.
Curvas polares
Una rosa r = cos(kθ) tiene k pétalos cuando k es impar y 2k cuando es par, así que cos 3θ dibuja 3 pétalos y cos 4θ dibuja 8. El cardioide encierra 4,7124, exactamente un círculo unitario y medio.
Derivación implícita
El folium x³ + y³ = 6xy tiene tres puntos sobre x = 1, con pendientes 1,0409, 0,3373 y −1,3782: es imposible calcular esa pendiente sin conocer y. Deriva ambos miembros tú mismo, comprueba cómo falla la fórmula donde ∂F/∂y = 0 y acércate al origen, donde aparece 0/0 porque la curva se corta a sí misma.
Derivadas parciales y el gradiente
Camina hacia el este y el suelo sube a 3, hacia el norte a 4, y el rumbo más empinado sube a 5. Una carretera contenida a la mitad de esa pendiente debe desviarse 60° en lugar de 45°, y recorrer el doble de distancia.
Ecuación de Laplace: una placa en estado estacionario
Mantén un borde de una placa cuadrada a 100 °C y tres a 0, y averigua la temperatura a tres cuartos de altura: la serie da 54,05, y 20 000 caminantes aleatorios, al contar a qué borde llegan primero, dan 54,13 ± 0,35.
El método de las capas cilíndricas
Haz girar el arco de sen x alrededor del eje y: las capas dan 2π² ≈ 19,7392 en una sola línea, mientras que las arandelas exigen el arcoseno para llegar a lo mismo. Compara ambos cortes en cuatro sólidos y descubre por qué uno suele ser mucho más fácil.
El teorema fundamental del cálculo
El área bajo e^(−t²) entre 0 y 1 vale 0,7468. Allí la función área crece a un ritmo de 0,3679 por unidad, que es justo la altura de la curva en 1, aunque e^(−t²) carezca de fórmula. Arrastra x y observa cómo la pendiente del área coincide con la curva en cada punto.
Elegir una técnica
En un examen, la integral no viene con el título del capítulo. Elige cómo empezarías: tabla, sustitución, integración por partes, fracciones simples o transformación trigonométrica. La página explora las posibilidades de esa integral y te dice si tu elección permite llegar a la tabla y en cuántos pasos. Los problemas mezclan todo lo aprendido en el capítulo; algunos requieren encadenar dos técnicas.
Explorador de Derivadas y Tangentes
Arrastra un punto a lo largo de una función y observa la recta tangente y la pendiente actualizarse en tiempo real — el corazón geométrico del cálculo.
Explorador de límites
Aproxímate a un límite desde ambos lados y clasifica las discontinuidades
Explorador de Series de Taylor
El grado 3 da sen 1 = 0,83333 frente a un verdadero 0,84147. El número que importa es 1/120 = 0,0083333, una cota de error disponible antes que la respuesta, y sobreestima el error real en un 2,4%.
Explorador de sumas de Riemann
Aproxima integrales mediante sumas izquierda, derecha, del punto medio y trapezoidal.
Fracciones parciales
Integra funciones racionales mediante fracciones parciales y comprueba las respuestas que escribas: el método de Heaviside, factores repetidos y cuadráticos, una constante por cada intervalo entre polos, y x⁵ − x − 1, cuya integral es elemental aunque sus raíces no tienen fórmula.
Integración por partes
La integración por partes cambia una integral por otra, y la elección de u decide el camino. En x²eˣ, hacer u = x² llega a la tabla en dos rondas, mientras que u = eˣ sube hasta x⁵eˣ/60. Observa ambas escaleras lado a lado, resuelve ∫eˣ sin x como una ecuación y practica con problemas que se corrigen solos.
Integración por sustitución
La sustitución convierte 2x cos(x²) en cos u, y en 0 ≤ x ≤ 2 ambas dan −0,7568. Si conservas los límites de x tras la sustitución, obtienes 0,9093, con el signo incorrecto. Observa cómo las franjas del área pasan del eje x al eje u, y luego practica con problemas generados que se comprueban por derivación.
Integrales dobles
e^(y²) no tiene una primitiva construida con funciones elementales, así que ∫₀¹∫ₓ¹ e^(y²) dy dx no tiene fórmula en ese orden; corta en el otro sentido y da (e − 1)/2 ≈ 0,8591. Halla volúmenes bajo z = f(x, y) cortando dos veces, describe la región de las dos maneras y conoce la única función de esta página cuyos dos órdenes no coinciden.
Integrales dobles en coordenadas polares
En coordenadas polares, el elemento de área es r dr dθ. Si olvidas la r, el área del disco unidad sale 2π, que es su perímetro. Si la conservas, e^(−x²), que no tiene primitiva elemental, da ∫e^(−x²) dx = √π sobre toda la recta. Integra sobre sectores, una cardioide, un disco desplazado y un cuadrado, celda polar a celda polar.
Integrales no elementales
Por qué ∫e^(−x²) dx no tiene fórmula, demostrado en lugar de asumido: ejecuta el test de Liouville con cualquier polinomio por e^(−x²), cuenta qué pocos de estos integrandos tienen fórmula y practica con integrales donde la respuesta correcta puede ser que ninguna exista.
Integrales trigonométricas
Las potencias impares del seno se compensan a lo largo de una vuelta; las pares acumulan área. Por eso ∫sen³x se resuelve con una sustitución y ∫sen²x necesita la identidad del ángulo mitad. Observa cómo ∫√(1 − x²) se descompone en un triángulo y un sector en la circunferencia que describe x = sen θ. Después, practica con ejercicios generados cuyas respuestas se comprueban por derivación.
La regla de la cadena
La regla de la cadena dice que las tasas de las funciones encadenadas se multiplican. Haz pasar un pequeño intervalo por cada eslabón para ver cómo se dilata, escribe tu propia dy/dx para localizar cualquier despiste y descubre por qué olvidar el factor interior puede superar la comprobación en un punto.
Laboratorio de integración numérica
Duplica las franjas en eˣ sobre [0, 1] y el error de la suma izquierda se divide por 2, el del trapecio por 4 y el de Simpson por 16. Seis decimales cuestan 462 trapecios o seis paneles de Simpson.
Laboratorio de transformada de Laplace
Estudia las transformadas de Laplace directa e inversa para funciones comunes usadas en EDO y sistemas.
Longitud de arco y sólido de revolución
Misma curva, mismos 800 cortes: la longitud de arco sale un 0,9% errónea y el área de superficie un 0,08%. El integrando del arco se dispara a unos 71 en los extremos, donde el de la superficie lo multiplica por cero.
Optimización: la caja y la lata
Recorta las cuatro esquinas de una lámina de 30 cm y la caja óptima alcanzará 2.000 cm³ con un corte de 5 cm; con 4 cm obtendrás un 3,2% menos. Resuelve paso a paso la caja abierta y la lata de superficie mínima, observa cómo se horizontaliza la tangente y comprende por qué una cota de profundidad lleva la mejor caja justo al extremo.
Primitivas
Se dice que la regla de la potencia para integrales falla en n = −1. En n = −0,99 la primitiva de xⁿ de los libros de texto vale 101,40 en x = 4, y 100,00 de ese valor corresponden a la constante 1/(n + 1); lo que queda es 1,3959, acercándose a ln 4 = 1,3863. Después, escribe tus propias primitivas y la página comprobará cada una derivándola.
Radio de convergencia
1/(1 + x²) es suave para todo número real, pero su serie de Taylor en torno a 0 diverge pasado el 1: el grado 80 da 1.121,975 en x = 1,1, donde la curva vale 0,4524887. Arrastra el centro por el plano complejo y observa cómo los polos en ±i determinan el radio.
Razones relacionadas
Razones relacionadas resueltas paso a paso: una escalera que resbala por la pared, un cono que se llena o una sombra que se alarga al andar. Deriva la relación geométrica, sustituye los datos del instante y contrasta tu resultado con la velocidad real del movimiento. Descubrirás además a qué altura una escalera uniforme, arrastrada a velocidad constante y sin rozamiento, se despega de la pared.
Regla del producto y regla del cociente
Por qué la derivada de uv es u′v + uv′ y no u′v′. Al crecer los lados de un rectángulo, aparecen dos franjas y una esquina; la esquina es justo la pieza que desaparece en el límite. Reduce el paso para ver cómo esas franjas convergen en la regla, deduce de la misma figura la regla del cociente y comprueba tus propias derivadas.
Reordenación de Riemann
Si reordenas 1 − ½ + ⅓ − ¼ + … sumará π: después de 100 000 términos, 99 259 positivos frente a 741 negativos dan 3,1415535. Observa cómo los mismos términos se acercan a cualquier objetivo, y descubre por qué la serie de los cuadrados no se puede mover.
Visualizador del método de Euler
Reducir el paso a la mitad debería reducir a la mitad el error de Euler. En x = 8 con h = 0,2 la razón sale 1,731285, y arrastrarla hasta 1,9933 exige h = 0,005, que son 1600 pasos a través de las mismas ocho unidades.
Volumen por secciones
Gira la región entre y = x e y = x² alrededor del eje x y el volumen será 2π/15 = 0,4189; si restas los radios en vez de las áreas obtendrás 0,1047, exactamente una cuarta parte. Desplaza una sección a lo largo de seis sólidos y observa cómo el volumen se acumula igual que el área bajo A(x).

Linear Algebra & Geometry

Área y perímetro
Un parterre trapezoidal abarca 32,00 m² tras 24,94 m de borde; el mismo borde circular abarca 49,51 m². Constrúyelo una vez y media más grande y la compacidad se mantiene en 0,646, porque el escalado se anula en ella.
Bloqueo del cardán y cuaterniones
Gira un cardán de tres anillos con guiñada, cabeceo y alabeo, observa cómo dos anillos se pliegan juntos y lee el cuaternión al que esto no le afecta. Descubre por qué 90° de cabeceo cuestan un grado de libertad y por qué un giro de 360° deja al cuaternión en −1.
Calculadora de Vectores
Calcula el producto escalar, el producto vectorial y el ángulo entre vectores 2D/3D
Caza de ángulos
Sigue la pista de un ángulo a través de triángulos superpuestos. Luego observa cómo se resuelve el mismo rompecabezas por eliminación. Cada regla es una ecuación lineal y la herramienta muestra ambas rutas.
Centros del triángulo y la recta de Euler
Arrastra un triángulo y observa cómo tres de sus cuatro centros se mantienen sobre una línea recta, donde el baricentro siempre la divide en razón 2 : 1. El incentro solo se les une cuando hay dos lados iguales.
Construcciones con regla y compás
Con un compás y una regla no graduada puedes construir un polígono regular de 17 lados, como demostró Gauss a los 18 años, pero nunca uno regular de 7 lados, y nadie logrará jamás trisecar un ángulo de 60°. Observa las construcciones paso a paso y examina el álgebra que prohíbe el resto.
El plano hiperbólico
Arrastra los vértices de un triángulo en el disco de Poincaré y observa cómo la suma de sus ángulos se reduce al crecer: ningún triángulo en el plano hiperbólico supera π. Por un punto exterior a una recta, pasa todo un abanico de rectas que nunca la cortan.
Explorador de curvas de Bézier
Arrastra los puntos de control para explorar las curvas de Bézier y el algoritmo de De Casteljau
Explorador de geometría analítica
Arrastra dos puntos por una cuadrícula y lee la distancia, el punto medio, la pendiente y la ecuación de la recta — con el triángulo rectángulo que hay detrás de la fórmula de la distancia.
Explorador de Geometría de Mínimos Cuadrados
Arrastra puntos, compara ajustes lineales y cuadráticos, y examina las barras de residuos y su impacto en la SCE.
Explorador de Parámetros de Cónicas
Solo la parábola tiene una fila para la directriz, porque solo ella se define mediante una, con su vértice a exactamente 3 de ambos. Una elipse con a = 4 y b = 3 sitúa sus focos en c = 2,645751.
Explorador de Secciones Cónicas
B² − 4AC sobrevive a cualquier rotación de los ejes, porque es −4 veces el determinante de la parte cuadrática. En 4x² + xy + 2y² = 16 da −31, una elipse inclinada 13,3° con excentricidad 0,737.
Explorador de vectores propios 2D
Visualiza las direcciones propias y el escalado bajo una transformación lineal 2×2.
Geometría de la Pirámide
Las coincidencias de π y φ en la Gran Pirámide son la misma coincidencia, un seked de construcción de 11/14. Ocho veces esto da 6,28571 frente a 2π = 6,28319, y la razón de la apotema 1,6186 frente a φ = 1,618034.
Laboratorio de Pitágoras
a² + b² = c², demostrado con triángulos semejantes y luego roto a propósito. Un control de curvatura dobla el plano hasta convertirlo en una esfera o en una superficie hiperbólica y la hipotenusa se mueve: el teorema no habla de triángulos, habla de planitud.
Laboratorio de sólidos: esfera, cono y cilindro
Una esfera ocupa dos tercios de su cilindro circunscrito en volumen y de nuevo en superficie, porque solo la pared curva equivale a la esfera entera. A igual volumen, un cilindro cuesta un 14,5% más de superficie y un cono un 26,0%.
Laboratorio de teselados regulares
Polígonos regulares de p lados, q de ellos en cada esquina. Una sola desigualdad lo decide todo: (p−2)(q−2) frente a 4 da una esfera, un plano llano o un disco hiperbólico — cinco teselados, tres teselados o infinitos.
Laboratorio de triángulos semejantes
Escala un triángulo y observa qué cambia. Las longitudes siguen al factor de escala, el área sigue a su cuadrado y los ángulos no se mueven en absoluto — con el triángulo grande dibujado y dividido en las copias que realmente contiene.
Ortogonalización de Gram-Schmidt
Construye una base ortonormal restando proyecciones. Intercambia dos líneas del algoritmo y, con columnas separadas por 10⁻⁸, la respuesta pasa de un ángulo recto a 60°.
Reflexiones y los movimientos rígidos del plano
Refleja una figura en un espejo y luego en un segundo que lo cruza a 45°, y el resultado es una rotación de 90°. Dos espejos paralelos separados por 2 generan una traslación de 4. Todo movimiento rígido del plano se compone de un máximo de tres reflexiones. Esta página construye rotaciones, traslaciones y deslizamientos a partir de espejos.
Secretos del círculo y π
Descubre en siete experimentos interactivos por qué π aparece en la circunferencia, el área, las colisiones, la probabilidad y las series infinitas.
Teorema de Pick: Cálculo del área contando puntos
Dibuja un polígono con sus vértices en los puntos de una cuadrícula, cuenta los que están dentro y en el borde, y tendrás su área exacta. Si hay 53 dentro y 8 en el borde, el resultado es 56, sin medir absolutamente nada. En tres dimensiones, estos dos recuentos no bastan para obtener el volumen.
Teoremas de ángulos en la circunferencia
Arrastra cuatro puntos por un círculo para conectar el ángulo central, los ángulos del mismo segmento, el teorema de Tales y los cuadriláteros cíclicos.
Theorema egregium de Gauss
Camina la misma distancia desde un punto en todas las direcciones y mide el anillo que trazas. En un cilindro es exactamente 2πr, en una esfera se queda corto, en una silla de montar resulta más largo: la curvatura de Gauss, medida sin abandonar la superficie.
Transporte paralelo en una esfera
Lleva una flecha por un triángulo de tres ángulos rectos, sin girarla en ningún momento, y volverá desviada 90°. Arrastra los vértices sobre una esfera y observa cómo el giro coincide con el área interior, el exceso angular y el péndulo de Foucault.
Visualizador de PCA 2D/3D
Proyecta datos 2D en el espacio de componentes principales y examina la varianza explicada y las puntuaciones.
Visualizador de transformaciones matriciales
Observa cómo las matrices 2×2 transforman el plano: vectores propios, determinante y escalado de área

Algebra & Precalculus

Calculadora de composición de funciones
Calculadora paso a paso de la composición de funciones f(g(x)) y g(f(x)) con funciones personalizadas, ecuaciones, avisos de dominio y gráficas.
Comprobador de Ecuaciones Radicales
√(x − 1) = x − 2 da 3,618, y el 1,382 rechazado es una solución exacta de su gemela con el signo cambiado. La prueba del radicando que te enseñan no rechaza a ninguno de los candidatos; solo lo hace el signo del lado derecho.
Desarrollo y factorización
El desarrollo de paréntesis visto como el área de un rectángulo, y la factorización como esa misma imagen leída al revés. Una sola prueba permite saber de antemano si un trinomio se puede factorizar sobre los enteros.
Despeje de fórmulas
Despeja cualquier letra de una fórmula, revirtiendo una operación a la vez. El procedimiento es idéntico al de resolver una ecuación. Funciona hasta que la letra que buscas aparece dos veces y resulta del todo imposible continuar.
Ecuaciones lineales
Cuatro botones, dos movimientos debajo. Sumar siempre es seguro; multiplicar es seguro para cualquier número menos el cero. Multiplica x = 3 por 0 y obtienes 0 = 0, una verdad para cualquier x, y de pronto la x ha dejado de mencionarse.
Eliminación gaussiana
Tres ecuaciones con tres incógnitas, resueltas mediante la misma eliminación que dos ecuaciones con dos, más un intercambio de filas. El orden es lo que convierte un rompecabezas en un procedimiento. Una única elección interna decide si la computadora llega a la respuesta correcta.
Entrenador de división de polinomios
Practica la división larga de polinomios con cociente, resto y traza de pasos explícitos.
Explorador de crecimiento y decaimiento exponencial
Establece una tasa y lee el tiempo de duplicación, la semivida y la cantidad en cualquier instante, a partir de la única ecuación que rige por igual el crecimiento y el decrecimiento.
Explorador de funciones inversas
Observa f(x) y f⁻¹(x) reflejadas respecto a y=x, y comprueba cuándo hace falta restringir el dominio.
Explorador de funciones racionales
Iguala (x − 1)/(x + 2) a su asíntota horizontal y = 1 y obtienes −1 = 2, por lo que la curva nunca la alcanza. Otras curvas cruzan las suyas libremente; una asíntota vertical es la estricta.
Explorador de Logaritmos
Explora y = log_b(x) con un control deslizante de base en vivo y compáralo con ln(x) y log10(x).
Explorador de ondas seno/coseno
La onda se desplaza en −C/B, no −C, así que en B = 2 se mueve la mitad de lo que sugiere el paréntesis. Cualquier a cos x + b sen x colapsa en una sola onda de amplitud √(a² + b²), con fase y todo.
Explorador del Círculo Unitario
La tangente se llama así por una recta: prolonga el radio a 60° hasta x = 1 y aterriza a una altura de 1,7321, por lo que 90° marca +∞. Solo a partir del sen 45°, un octógono acota π por debajo en 2,8284 y un polígono de 16 lados en 3,0615.
Fórmulas del ángulo compuesto
sin 45° + sin 30° = 1,2071, más de lo que puede valer cualquier seno, mientras que sin 75° = (√6 + √2)/4 ≈ 0,9659. Al girar los ejes un ángulo A, los cuatro productos de sin(A ± B) y cos(A ± B) surgen como los catetos de dos triángulos rectángulos, con su signo, en cualquier cuadrante.
Funciones recíprocas e identidades pitagóricas
sin θ = 3/5 en el cuadrante II da cos θ = −4/5, cuando la raíz cuadrada por sí sola dice +4/5. Dibuja tan, cot, sec y csc como segmentos que llegan hasta las dos rectas tangentes de la circunferencia unitaria y las tres identidades pitagóricas resultan ser un mismo triángulo rectángulo a tres tamaños.
Funciones trigonométricas inversas
sin⁻¹(sin 150°) da 30°, no 150°. Descubre por qué arcsin, arccos y arctan devuelven siempre valores en un rango fijo, qué ocurre cuando reciben una entrada negativa y cómo deducir cos(sin⁻¹ x) a partir de un triángulo rectángulo con el signo ya fijado.
Hasta dónde puede acercarse una fracción
Las fracciones continuas y las fracciones que nos devuelven: por qué 355/113 aproxima π con siete cifras decimales usando un denominador de tres cifras, y por qué φ es el número que más se resiste.
Inecuaciones
−4x ≥ 12 te da x ≤ −3, y en x = −3 ambos lados equivalen a 12, por lo que el extremo está incluido. Multiplicar por x se rechaza de plano, porque aún nadie conoce su signo.
Laboratorio de contradicciones lógicas
Tres hablantes proponen 8 mundos posibles, y una frase sobre otras personas reduce el campo a la mitad. Una que cuenta a su propio hablante deja 6 de 8, despejando un cuarto del tablero donde las demás despejan la mitad.
Laboratorio de Modelado por Tramos
Carga el descuento por volumen y diez unidades cuestan 9,5 mientras que ocho cuestan 9,6. Entre 7,916667 unidades y el punto de corte pagas más por menos, que es lo que compras con cada salto hacia abajo en una lista de precios.
Problemas de planteo: del enunciado a las ecuaciones
Hugo tiene 18 años más que Kai, y dentro de 9 años sus edades sumarán 54. Escribe las ecuaciones tú mismo y la página las comprobará frente al enunciado, nombrará cualquier parte que te hayas dejado y las resolverá paso a paso, abarcando catorce tipos de problemas con números nuevos cada vez.
Resolución de ecuaciones trigonométricas
sin(2x − 30°) = √3/2 tiene cuatro soluciones entre 0° y 360°, no dos, porque el argumento da dos vueltas a la circunferencia. Todas las soluciones en un intervalo, en grados o radianes, en la gráfica y en la circunferencia goniométrica, con la solución general y ecuaciones de segundo grado en sin o cos.
Sistemas de ecuaciones
Dos ecuaciones con dos incógnitas, dibujadas como dos rectas. Un único número decide si se cruzan exactamente una vez. Ese mismo número te indica cuánto debes confiar en la respuesta cuando lo hacen.
Solucionador de Ecuaciones Cuadráticas
Encuentra las raíces de ax² + bx + c = 0 con el discriminante paso a paso y soporte para raíces complejas.
Solucionador de Triángulos
Tres medidas no siempre son tres datos: a = 7, b = 9 y A = 40° describen dos triángulos, de áreas 31,3423 y 8,5424, y nada en la aritmética prefiere a uno u otro.
Transformación de gráficas: traslaciones, dilataciones y reflexiones
(x − 3)² traslada la parábola hacia la derecha, √(2x − 6) empieza en x = 3 en lugar de 6, y (2x)² es la misma curva que 4x². Siete gráficas base movidas por y = a·f(bx + c) + d, con los cálculos de cada punto marcado.

Discrete Math & Sequences

Demostración por inducción
n² + n + 41 es primo para cuarenta valores consecutivos de n y luego es igual a 41 × 41. Visualiza la demostración por inducción como una fila de dominós y encuentra el único paso roto en el argumento de que todos los caballos son del mismo color.
El dilema del prisionero y el torneo de Axelrod
Una ronda de este juego tiene una respuesta obvia que deja a ambos jugadores en peor situación. Repítelo contra ocho oponentes y la respuesta cambia en la cuarta ronda.
El principio del palomar
Escoge nueve números del 1 al 16 y uno siempre dividirá a otro; entre seis personas cualesquiera siempre hay tres amigos o tres desconocidos. Elige las cajas y observa cómo el principio del palomar provoca la colisión.
El teorema de los números pentagonales
Multiplica (1 − x)(1 − x²)(1 − x³)… y casi todo se cancela: tras 200 paréntesis, solo quedan 23 coeficientes hasta x²⁰⁰. Todos valen ±1 y se sitúan en los números pentagonales. Observa cómo el emparejamiento de Franklin lo demuestra y úsalo para calcular p(n).
Equilibrio de Nash en un juego de dos por dos
Recompensa la osadía del jugador de la fila, subiendo el 5 a 12, y su estrategia mixta se queda en el 33,3% mientras su ganancia cae de 1,67 a 1,20. Quien se movió fue el otro conductor, que ahora se desvía el 10,0% de las veces en vez del 33,3%.
Explorador de cadenas de Markov estacionarias
Ocho pasos aún dejan a la cadena a 0,08893 de su distribución estacionaria, que es exactamente 8/13, 3/13 y 2/13 y la misma desde cualquier inicio. PageRank es este cálculo ejecutado en toda la web.
Explorador de convergencia de series
Tras 50 términos la serie armónica marca 4,499205 y sigue divergiendo. Alcanzar una suma de 10 cuesta unos 12.000 términos y alcanzar 100 cuesta 1,5 × 10⁴³, porque el crecimiento es solo logarítmico.
Explorador de la Escala del Universo
Haz zoom desde escalas subatómicas hasta cósmicas y compara tamaños usando potencias de diez.
Fundamentos de Sucesiones y Series
Duplicar la longitud de una lista aritmética no duplica su suma: 8 términos dan 80 y 16 dan 288, un factor de 3,6. En una serie geométrica, la fracción que aún falta tras n términos es exactamente rⁿ.
Herramienta de sumatoria sigma
Evalúa sumas finitas en notación sigma y examina la trayectoria de la suma parcial.
Invariantes
La mitad de las posiciones de un rompecabezas deslizante de 3 × 3 son inalcanzables. Un tablero de ajedrez al que le faltan dos esquinas opuestas no puede cubrirse con fichas, y es imposible recorrer los puentes de Königsberg. Juega con todos ellos y descubre ese valor que ningún movimiento consigue alterar.
La evolución de la cooperación
Un uno por ciento de desertores en un mundo de cooperadores incondicionales domina el 99,2% en la generación 21 y se extingue en la 155. La cooperación vuelve; los cooperadores no.
La tragedia de los comunes
Un pastor en un pasto compartido hace exactamente lo correcto. Si añades un segundo, comienza la sobreexplotación. El esfuerzo nunca supera el doble del óptimo por muchos que añadas, mientras que la parte del valor que sobrevive cae sin límite alguno.
Matemáticas de la lotería
La Lotería Alemana y Euromillones tienen exactamente 139.838.160 boletos posibles cada uno, por rutas completamente distintas. El número que decide un boleto es la tasa de retorno del 28,6%, y no está impreso en ningún boleto de ninguna parte.
Razón Áurea y Espiral de Fibonacci
144/89 difiere de φ en 5,6461 × 10⁻⁵ y el límite inferior de Hurwitz para ese denominador es 5,6459 × 10⁻⁵. Todo convergente de Fibonacci aterriza en la cota, que es lo que el número más irracional significa realmente.

Otras herramientas

Calculadora de números complejos
Multiplicar por i es un cuarto de vuelta y nada más: 3 + 2i se convierte en −2 + 3i, el argumento pasa de 33,7° a 123,7° mientras el módulo se mantiene en 3,606. Girado, no estirado.
Calculadora del Punto de Equilibrio
1800 de costes fijos a un precio de 6 y un coste variable de 2,4 alcanzan el punto de equilibrio en 500 unidades. Baja el precio un 10% y necesitas 600; baja el coste unitario en ese mismo 10% y el punto de equilibrio solo mejora un 6,25%.
Cuadro de multiplicación cruzada
Cuatro números, una cruz, una regla. Resuelve porcentajes, subidas, descuentos y proporciones cotidianas mirando un dibujo en vez de recordar una fórmula — incluido el caso inverso que casi todo el mundo falla.
Decimales periódicos
Escribe cualquier fracción y cualquier base para ver dónde se detienen las cifras o por qué no lo hacen nunca. Que un decimal sea exacto depende tanto de la base como de la fracción, y la regla matemática que lo determina es infalible.
El orden de las operaciones y dónde no hay consenso
Escribe una expresión y observa cómo se reduce operación a operación. Cuatro convenciones leen la misma línea y no todas devuelven el mismo número.
El redondeo: sus reglas y su coste
Seis reglas de redondeo cara a cara, la respuesta que cambia al redondear dos veces y cuánto se desvía una columna de cifras redondeadas de su propio total.
Estimación de Fermi
Seis cifras deducidas, multiplicadas entre sí, y un resultado que acierta con un factor de dos. No es suerte. Los errores que se multiplican suman sus logaritmos. Los errores independientes que se suman tienden a anularse.
Explorador de Funciones Hiperbólicas
cosh 1 = 1,543081 es el factor de Lorentz a 0,7616 c. Haz β = tanh φ y la relatividad se convierte en trigonometría hiperbólica: las rapideces se suman, por lo que dos incrementos de 1 dan tanh 2 = 0,9640 c.
Laboratorio de Media Ponderada
Comprende por qué el promedio de promedios da un resultado incorrecto cuando los grupos difieren en tamaño y cómo calcular la media ponderada real.
Leyes de los exponentes y por qué a⁰ es 1
Las leyes de los exponentes en una sola pantalla, con los cálculos a la vista. Pon las potencias de una base en una columna y el valor de a⁰ dejará de ser una regla que memorizas.
Números negativos
Una recta numérica por la que puedes desplazarte. Aquí las tres reglas de los negativos se observan directamente, sin necesidad de memorizarlas. Restar un negativo equivale a sumar, porque la resta siempre fue la suma del opuesto.
Por qué los ángulos se miden en radianes
El radián se define de modo que la longitud del arco sea igual al radio multiplicado por el ángulo. Gracias a esa elección, la derivada del seno es el coseno. Cambia de unidad y observa cómo tres fórmulas distintas incorporan el mismo factor de 0,017453.
Retrato de Fase del Péndulo
Un péndulo de 1 m soltado a 30° oscila en 2,0410 s donde la fórmula de ángulos pequeños promete 2,0061. Un periodo de 10 s necesita soltarse a menos de 0,182° de la vertical; 20 s necesita 7,2 × 10⁻⁵ grados.
Sumar fracciones, y el error
Suma dos fracciones bien, luego suma los numeradores y los denominadores por separado y mira dónde cae eso. La segunda respuesta es falsa como suma y exacta para otra cosa.
Ventana de reacción del portero
Una reacción de 0,20 s es el 28% del vuelo y cuesta el 48% del terreno que el portero podría cubrir. Desde 16 m a 80 km/h se queda corto por 0,99 m, y la parada solo llega una vez que el tiro cae a 59,1 km/h.
Visualizador del Método de Newton
Itera tangentes para encontrar raíces e inspecciona el comportamiento de convergencia.
Related categories: Estadística y Finanzas, Informática, Física