Laboratorio de triángulos semejantes

Fija los tres lados y luego arrastra el factor de escala. Los ángulos se quedan quietos, los lados siguen a k y el área sigue a k × k.

Ejemplo resuelto — Laboratorio de triángulos semejantes

Lados	3, 4, 5 → 6, 8, 10
Perímetro	12 → 24 (×2)
Área	6 → 24 (×4)
Ángulos	36,87°, 53,13°, 90,00° — sin cambios
Copias del triángulo pequeño que caben	4

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

El doble de alto es cuatro veces la pintura 🖖

Este es el error de cálculo más caro que suele cometerse, aunque el fallo no está en la aritmética. Duplicar las dimensiones de una figura no equivale a tener dos figuras: equivale a tener cuatro. Una pizza con el doble de diámetro contiene tanta masa como cuatro pizzas. Una fotografía con el doble de anchura necesita cuatro veces más píxeles. Una maqueta a escala 1:2 requiere una cuarta parte del material, no la mitad. Elige un valor entero para k y la herramienta te lo muestra: el triángulo grande aparece dividido en todas las copias que contiene, para que puedas contarlas.

Por qué son exactamente k² 🖖

Divide cada lado del triángulo escalado en k partes iguales y une las marcas con paralelas a los tres lados. El resultado tesela sin huecos, y todas las piezas son congruentes con el original: k² de ellas, k en la fila de abajo. En ese argumento no aparece por ninguna parte qué forma tenía el triángulo, y por eso la astilla fina da 16 igual que el 3-4-5. Euclides enuncia el resultado general en los Elementos VI.19: «los triángulos semejantes están entre sí en razón duplicada de sus lados correspondientes», y «razón duplicada» es su manera de decir el cuadrado de la razón.

Es la medición que se atribuye a Tales 🖖

Un palo y su sombra forman un triángulo; un árbol y su sombra forman otro. El sol está lo bastante lejos como para que sus rayos lleguen paralelos, así que los dos triángulos tienen ángulos iguales y por tanto lados proporcionales — y una altura a la que nadie llega se convierte en tres longitudes que cualquiera puede medir a pasos. Ese es todo el método para medir una pirámide por su sombra, y es el mismo cuadro que se rellena en la cuadrícula de multiplicación cruzada: 3 es a 4 como el árbol es a 20. Los triángulos semejantes son lo que hace que esa cuadrícula sea legítima y no un truco.

Problema resuelto al detalle

Cuántas copias del triángulo 3-4-5 original caben en la ampliación 5 pasos
Si se duplica cada lado de un triángulo de 3-4-5, el área no se duplica. Calcule cómo varía cada magnitud y cuántas copias del original caben en la ampliación.
1. Escalar los tres lados por el mismo factor mantiene el triángulo semejante, y 6-8-10 sigue cumpliendo el teorema de Pitágoras, como debe ser, ya que la relación es homogénea respecto de los lados.
  
  $(3, 4, 5) \times 2 (6, 8, 10), 6^{2} + 8^{2} = 100 = 1 0^{2}$
2. El perímetro es una suma de longitudes, por lo que se escala por el mismo factor. Doce se convierte en veinticuatro.
  
  $P : 12 \to 24 = k P, A : 6 \to 24 = k^{2} A$
3. El área es el producto de dos longitudes, de modo que se escala por el factor al cuadrado. Seis se convierte en veinticuatro, el mismo número que el perímetro en este caso, lo cual es una coincidencia de estos lados en concreto y un buen motivo para no extraer conclusiones a partir de un solo ejemplo.
4. Los ángulos no cambian en absoluto. Dependen únicamente de las proporciones entre los lados, y el escalado no altera ninguna de esas proporciones, que es precisamente lo que significa que sean semejantes.
  
  $tan^{- 1} \frac{3}{4} = 36.8 7^{\circ}, tan^{- 1} \frac{4}{3} = 53.1 3^{\circ}, 9 0^{\circ} — unchanged$
5. Por lo tanto, en la ampliación caben cuatro copias del original, y se puede comprobar a simple vista: el triángulo duplicado se divide en cuatro triángulos congruentes con el original.
  
  $\frac{A ^{'}}{A} = k^{2} = 4 ⟹ 4 copies tile the enlargement$
Respuesta

La herramienta muestra lados de 6, 8 y 10, un perímetro de 12 → 24, un área de 6 → 24, los mismos ángulos y 4 copias que encajan. La regla cabe en una línea: la longitud varía según k; el área, según k²; el volumen, según k³; y los ángulos, según k⁰. El exponente coincide con la dimensión de la magnitud medida. Por eso, si duplicas el tamaño del molde de una receta, la superficie de la base se cuadruplica y el bizcocho sale mal. También explica por qué un animal el doble de alto soportaría ocho veces el peso sobre una sección transversal de hueso solo cuatro veces mayor: la tensión mecánica de sus patas se duplicaría, de modo que no puede ser una simple copia ampliada de sí mismo. Ajusta el factor a 3 y el área se multiplicará por nueve.

$P \propto k, A \propto k^{2}, V \propto k^{3}, angles \propto k^{0}$

Ruta de aprendizaje

Las reglas del triángulo y de dónde salen

Lleva a Pitágoras el factor de escala: ampliar una figura multiplica cada longitud por k y no mueve ningún ángulo.

Referencias (3)

Equal angles give proportional sides: Euclid, Elements, Book VI, Proposition 4 — "In equiangular triangles the sides about the equal angles are proportional." David E. Joyce's edition, Clark University.
The area result, and the phrase "duplicate ratio": Euclid, Elements, Book VI, Proposition 19 — "Similar triangles are to one another in the duplicate ratio of the corresponding sides." David E. Joyce's edition, Clark University.
Thales and the shadow measurement: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, "Thales of Miletus", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews — which sets out the ancient reports of the pyramid measurement and their disagreements.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-11

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Duplicarlo - Los lados 3, 4, 5 pasan a 6, 8, 10. El perímetro se duplica, de 12 a 24, pero el área pasa de 6 a 24, cuatro veces más, y el triángulo grande aparece dibujado con exactamente 4 copias del pequeño.
Palo y árbol - Un palo de 3 m con una sombra de 4 m, y un árbol cuya sombra mide 20 m. El mismo sol, el mismo triángulo, así que el árbol mide 15 m. Su área, en cambio, es 25 veces mayor, no 5.
Equilátero - Los tres ángulos se quedan en 60° haga lo que haga k. Los lados 6 pasan a 9, el perímetro 18 pasa a 27, y el área queda multiplicada por 2,25.
Reducir a la mitad - Reducir es la misma regla al revés. Al partir por la mitad cada lado, el perímetro se reduce de 48 a 24 y el área queda en una cuarta parte, de 96 a 24.
Una astilla fina - La forma son los ángulos, no el aspecto. Esta astilla escala igual que un triángulo cómodo: ×4 en los lados, ×16 en el área, y caben 16 copias dentro.