Teoremas de ángulos en la circunferencia

A y B están situados en 330° y 110° sobre la circunferencia, y P, en 220°. El panel indica que el ángulo en P mide 70° y el ángulo central, 140°. Demuestra que el segundo es el doble del primero, en vez de limitarte a leer los valores; después, averigua qué presupone esa demostración sobre la posición de P.

1. Mida primero el arco. Al ir en sentido antihorario desde A en 330° hasta B en 110° se recorren 140°, y ese es el arco en el que no se encuentra P. El ángulo en el centro que abarca dicho arco es de 140° por definición, porque un ángulo central es sencillamente su arco.

   $$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}=110^{\circ }-330^{\circ }(\text{mod }360)=140^{\circ }$$

2. Ahora la construcción, que constituye toda la demostración: trace la recta que parte de P, pasa por el centro O y sale de la circunferencia por D. No se añade nada más.

3. Tanto OA como OP son radios, de modo que el triángulo OAP es isósceles y los ángulos en A y en P son iguales. Denotemos ese ángulo por α, de manera que ∠OPA = ∠OAP = α.

   $$OA=OP=r\Rightarrow \angle OPA=\angle OAP=\alpha$$

4. El ángulo ∠AOD es exterior al triángulo OAP en O, y un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes: ∠AOD = α + α = 2α.

   $$\angle AOD=\alpha +\alpha =2\alpha$$

5. El mismo razonamiento al otro lado da ∠DOB = 2β, donde β = ∠OPB. Suma ambos resultados, lo cual es válido mientras la prolongación de OP corte la circunferencia en el arco AB: ∠AOB = 2α + 2β = 2(α + β), y α + β es precisamente ∠APB.

   $$\angle AOB=2\alpha +2\beta =2(\alpha +\beta )=2\angle APB$$

6. Por tanto, el ángulo central mide el doble que el inscrito; aquí, 2 × 70° = 140°. Fíjate en qué se ha apoyado la demostración: dos radios, un triángulo isósceles a cada lado y un ángulo exterior. No intervienen longitudes, coordenadas ni medidas de arcos.

   $$2\times 70^{\circ }=140^{\circ }$$

Ambos puntos marcados ven la cuerda AB bajo un ángulo de 60°. Calcula qué ángulo tendría un punto fuera de la circunferencia; luego decide dónde debe colocarse un pateador para obtener la visión más amplia de los postes.

1. A y B se sitúan a 320° y 80°, por lo que el arco comprendido entre ellos, sobre el que no se encuentra P, mide 120°. Su mitad es 60°. Q marca lo mismo porque se apoya en el mismo arco que P.

   $$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}=80^{\circ }-320^{\circ }(\mathrm{mod}360)=120^{\circ }⟹\angle APB=\angle AQB=60^{\circ }$$

2. Fíjate ahora en la cuerda. El ángulo central correspondiente a ese arco es el doble del inscrito. Toda cuerda mide 2R sen de la mitad del ángulo central; por tanto, AB = 2 sen 60° = √3 en esta circunferencia de radio 1.

   $$AB=2R\sin (\angle APB)=2\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}=1.7321(R=1)$$

3. Lee esa expresión al revés. Mantén fija la cuerda y deja que la circunferencia varíe. El seno del ángulo inscrito es AB ÷ 2R, de modo que una circunferencia menor que pase por A y B generará un ángulo mayor. La más pequeña de todas tiene a AB por diámetro y alcanza los 90°. La circunferencia que elijas para situarte lo determinará todo.

   $$\sin (\angle APB)=\frac{AB}{2R}⟹R\text{smaller}\Rightarrow \angle APB\text{larger},R=\frac{AB}{2}\Rightarrow \angle APB=90^{\circ }$$

4. Fuera de la circunferencia, el ángulo ya no mide 60°. Desde el interior, las dos rectas cortan también un segundo arco. Allí el ángulo será la semisuma de ambos: si avanzas un poco hacia adentro, el valor será de unos 71,6°. Desde el exterior será la semidiferencia, cerca de 51,4°. La circunferencia marca la frontera entre ver más y ver menos.

   $$\text{inside: }\frac{1}{2}\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}+\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}\right)=71.6^{\circ }>60^{\circ }>51.4^{\circ }=\frac{1}{2}\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}-\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}\right)\text{: outside}$$

5. Con esto resolvemos el tiro. Los postes de rugby guardan una separación de 5,6 m. Un ensayo se anota a 10 m del poste más cercano, por lo que desde el pie de la línea de retroceso los postes quedan a 10 m y 15,6 m de distancia. Todos los puntos que los vean bajo el mismo ángulo estarán situados sobre una misma circunferencia trazada a través de ambos.

   $$a=10\mathrm{m},b=15.6\mathrm{m},\tan \angle =\frac{(b-a)x}{x^2+ab}$$

6. Cada punto de la línea de retroceso se ubica en exactamente una circunferencia de este tipo. El ángulo será máximo en la circunferencia más pequeña que logre tocar la línea: aquella que le sea tangente. El segmento hasta el punto de contacto es una tangente trazada desde el pie, y la longitud de una tangente equivale a la media geométrica de sus dos segmentos secantes. Así, x² = 10 × 15,6 = 156.

   $$x^2=FA\cdot FB=ab=156⟹x^{\ast }=\sqrt{156}=12.49\mathrm{m}$$

7. Por tanto, x = √156 = 12,49 m, donde el ángulo mide 12,64°. En la marca de los 10 m es de 12,34°; a los 20 m ha caído hasta 11,39°, y a los 30 m baja a 9,04°.

   $$\tan {\angle }_{\max }=\frac{b-a}{2\sqrt{ab}}=\frac{5.6}{24.98}=0.2242\Rightarrow 12.64^{\circ };\angle (10)=12.34^{\circ },\angle (20)=11.39^{\circ },\angle (30)=9.04^{\circ }$$