Explorador de geometría analítica

Dos puntos determinan un segmento y una recta entera. Arrastra uno para conectar el triángulo rectángulo, la distancia exacta, el punto medio, el vector director, la inclinación, las ecuaciones y la mediatriz.

Ejemplo resuelto — Explorador de geometría analítica

Cateto horizontal Δx	3,0
Cateto vertical Δy	4,0
Distancia AB	5,00
Distancia exacta	5
Punto medio	(2,5; 3)
Vector director	(3; 4)
Pendiente	4/3
Inclinación θ	53,1°

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

La fórmula de la distancia es Pitágoras con el triángulo borrado 🖖

Suele enseñarse como algo que memorizar, y no lo es: baja una horizontal desde un punto y una vertical desde el otro, y se cortan en ángulo recto. Los catetos son Δx y Δy, el segmento es la hipotenusa, y d² = Δx² + Δy² es a² + b² = c² con el triángulo sin dibujar. Esta herramienta lo dibuja. Prueba el ajuste 3-4-5 — catetos de 3 y 4, distancia exactamente 5 — es el mismo triángulo que aparece en todas las hojas de ejercicios desde Euclides.

Un segmento vertical tiene longitud y no tiene pendiente 🖖

Pon los dos puntos en x = 3 y la herramienta indica una distancia de 10 y una pendiente indefinida. Las dos cosas son correctas, y que aparezcan juntas es lo importante. El segmento está claramente ahí y mide claramente 10 unidades, así que «indefinida» no puede significar que la recta falte o sea rara: significa que Δy ÷ Δx divide por cero, y el fallo es de la fórmula, no de la recta. Una recta vertical sigue teniendo ecuación, x = 3; simplemente no es de la forma y = mx + c, porque esa forma supone que a cada x le corresponde exactamente una y.

El punto medio es exacto donde la distancia no lo es 🖖

El punto medio es un promedio: suma las dos x, divide entre dos, y lo mismo con las y. Es aritmética, y cae sobre un número que puedes escribir exactamente. La distancia necesita una raíz cuadrada, y las raíces de sumas de cuadrados casi nunca son racionales. La diagonal unidad muestra las dos cosas a la vez — el punto medio es exactamente (0,5; 0,5) mientras que la distancia es 1,41 y continúa para siempre. Los mismos dos puntos, una respuesta exacta y otra aproximada, y la diferencia está por completo en qué operación hubo que usar.

La mediatriz es una ecuación de equidad 🖖

Activa la mediatriz. Cada punto P de la recta verde cumple PA = PB. Al elevar ambas distancias al cuadrado, x² e y² se cancelan: una condición que parecía cuadrática se convierte en una recta. En el ejemplo 3-4-5 es 6x + 8y = 39.

Problemas resueltos al detalle

La distancia desde el origen a la recta 4x − 3y = 1 7 pasos
La herramienta imprime la recta que pasa por A y B como 4x − 3y = 1, y la longitud del segmento como exactamente 5. Pregúntale a qué distancia pasa esa recta de un punto que no pertenece a ella, el origen por ejemplo, y no sabrá qué decirte. Deduce esa distancia a partir únicamente de los dos puntos.
1. Todo surge de una simple resta. B − A es el trayecto de A a B: tres a la derecha y cuatro hacia arriba, lo cual coincide exactamente con lo que muestran las dos filas de los catetos.
  
  $A B = B - A = (4 - 1, 5 - 1) = (3, 4)$
2. Estos catetos forman los lados de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el segmento. Por tanto, su longitud se obtiene por Pitágoras y nada más. En este par de puntos la raíz es exacta, ya que 25 es un cuadrado perfecto; así que la fila del valor exacto imprime un 5 en lugar de un radical.
  
  $∣ A B ∣ = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$
3. La ecuación no requiere ninguna división. Cualquier punto de la recta forma la misma pendiente con A, y al eliminar los denominadores se transforma en Δy·x − Δx·y, que es igual a lo que resulte esa combinación evaluada en A. Esta es la forma que aparece en la página. Además, es la única que sobrevive ante un segmento vertical, donde la expresión y = mx + c resulta imposible de escribir.
  
  $Δ y x - Δ x y = Δ y a_{x} - Δ x a_{y} : 4 x - 3 y = 4 (1) - 3 (1) = 1$
4. Ahora fíjate en los coeficientes que acabas de generar. El vector (4, −3) equivale a (Δy, −Δx), es decir, el segmento girado en ángulo recto. Rotar un vector no altera su longitud, por lo que el vector normal mide 5, el mismo 5 del segmento AB. Esto no es una casualidad de este ejemplo. Se cumple para cualquier par de puntos y es justo lo que simplifica enormemente el paso siguiente.
  
  $n = (Δ y, - Δ x) = (4, - 3), ∣ n ∣ = 4^{2} + (- 3)^{2} = 5 = ∣ A B ∣$
5. Si avanzas una unidad a lo largo del vector normal, el miembro izquierdo de la ecuación varía en 5, la propia longitud de la normal. En consecuencia, el valor que toma en cualquier punto equivale a la distancia a la recta multiplicada por 5. Evalúa la ecuación en el origen: el numerador se reduce a 1, el denominador es ese mismo 5, y la recta pasa a exactamente un quinto de distancia del origen.
  
  $d (P) = \frac{∣4 p _{x} - 3 p _{y} - 1∣}{∣ n ∣}, d (O) = \frac{∣0 - 0 - 1∣}{5} = \frac{1}{5} = 0.2$
6. Avanza ese quinto y deberías caer en la misma recta. El pie de la perpendicular se encuentra en (0,16; −0,12). Si sustituyes este punto en 4x − 3y, obtienes 0,64 + 0,36 = 1, lo cual confirma que estás sobre la recta y a 0,2 de tu punto de partida.
  
  $F = O - \frac{n \cdot O - 1}{∣ n ∣ ^{2}} n = \frac{1}{25} (4, - 3) = (0.16, - 0.12), 4 (0.16) - 3 (- 0.12) = 0.64 + 0.36 = 1$
7. De aquí se deduce otra consecuencia de forma gratuita. Si el denominador en la fórmula de la distancia es |AB|, entonces |AB| multiplicado por esa distancia es exactamente el doble del área del triángulo con vértices en O, A y B.
  
  $[O A B] = \frac{1}{2} ∣ A B ∣ d (O) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 0.2 = 0.5, \frac{1}{2} ∣ x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A} ∣ = \frac{1}{2} ∣1 \cdot 5 - 4 \cdot 1∣ = 0.5$
Respuesta

La recta pasa a 0,2 del origen y el triángulo OAB tiene un área de exactamente ½. Comprueba esta área mediante un método que omite por completo la distancia. La fórmula de la lazada da ½|x_Ay_B − x_By_A| = ½|5 − 4| = ½. Tienes dos deducciones que no comparten nada después de la primera resta y llegan al mismo número. La herramienta te acompaña hasta la tercera línea y luego se detiene: la distancia desde un punto, el pie de la perpendicular y el área son cálculos que omite.

$d (P) = \frac{∣ n \cdot P - c ∣}{∣ n ∣}, ∣ n ∣ = ∣ A B ∣ = 5 ⟹ d (O) = \frac{1}{5} = 0.2, [O A B] = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 0.2 = 0.5$
Lo que las lecturas de los dos catetos saben sobre la cuadrícula 6 pasos
El panel indica Δx = 10,0 y Δy = −10,0. Calcula por cuántos puntos de la cuadrícula pasa este segmento en su recorrido y decide si los dos catetos por sí solos bastaban para saberlo.
1. Empecemos por la longitud, ya que se divide más adelante. √(10² + 10²) = √200 = 10√2, un resultado que el panel imprime dos veces: 14,14 redondeado y 10√2 exacto.
  
  $A B = (10, - 10), ∣ A B ∣ = 1 0^{2} + 1 0^{2} = 200 = 102 = 14.14$
2. Expresa el segmento como un recorrido. X(t) = A + t(Δx, Δy) = (−5 + 10t, 6 − 10t), donde t va de 0 a 1.
  
  $X (t) = A + t (Δ x, Δ y) = (- 5 + 10 t, 6 - 10 t), 0 \leq t \leq 1$
3. X(t) tiene coordenadas enteras cuando tΔx y tΔy son enteros. Esto ocurre exactamente cuando t es múltiplo de 1/g, siendo g el máximo común divisor de |Δx| y |Δy|. Aquí g = mcd(10, 10) = 10, así que t avanza por décimas.
  
  $X (t) \in Z^{2} ⟺ t Δ x, t Δ y \in Z ⟺ t = \frac{m}{g}, g = g cd (∣Δ x ∣, ∣Δ y ∣) = g cd (10, 10) = 10$
4. Cada décima avanza (Δx/g, Δy/g) = (1, −1), lo que nos da nueve puntos situados estrictamente entre los extremos: (−4, 5), (−3, 4), y así sucesivamente hasta llegar a (4, −3). Están espaciados de forma uniforme y separados por √2, pues la longitud también se divide entre g.
  
  $(\frac{Δ x}{g}, \frac{Δ y}{g}) = (1, - 1) : (- 4, 5), (- 3, 4), \dots, (4, - 3) — g - 1 = 9 points, spaced \frac{∣ A B ∣}{g} = 2$
5. Esta misma división indica cuándo la longitud resulta entera. Como |AB| = g√((Δx/g)² + (Δy/g)²), el radical reside enteramente en el par reducido. Aquí ese par es (1, 1) y nada puede eliminar la √2. En el preajuste 3-4-5, g = 1 y el par reducido es (3, 4), los catetos de una terna pitagórica. Por eso esa distancia se imprime exactamente como 5.
  
  $∣ A B ∣ = g (\frac{Δ x}{g})^{2} + (\frac{Δ y}{g})^{2} = 10 1^{2} + 1^{2}; (3, 4) : g = 1, 3^{2} + 4^{2} = 5$
6. El punto medio no requiere cálculos por separado. Es el punto donde t = ½, así que cae en la cuadrícula justo cuando ½ es múltiplo de 1/g, es decir, cuando g es par. Aquí g = 10 y el punto medio (0, 1) es el quinto de los nueve. En el preajuste 3-4-5, g = 1, y (2,5; 3) queda entre las líneas de la cuadrícula.
  
  $M = (\frac{a _{x} + b _{x}}{2}, \frac{a _{y} + b _{y}}{2}) \in Z^{2} ⟺ Δ x, Δ y both even : (0, 1) ✓, (3, 4) \Rightarrow (2.5, 3) \times$
Respuesta

Nueve, y sí. El máximo común divisor de los dos catetos lo decide todo, y ambos catetos figuran en el panel. Un segmento entre puntos de la cuadrícula cruza otros g − 1 puntos. Su longitud es racional solo cuando el par reducido forma una terna pitagórica. Además, su punto medio pertenece a la cuadrícula únicamente si g es par. Esta última prueba tiene una consecuencia que conviene tener presente. Un punto de la cuadrícula pertenece a una de cuatro clases según la paridad de sus dos coordenadas. Por tanto, entre cinco puntos cualesquiera siempre habrá dos que compartan clase, y el punto medio de esos dos caerá sobre la cuadrícula.

$g = g cd (∣Δ x ∣, ∣Δ y ∣) : g - 1 lattice points between, ∣ A B ∣ \in Q ⟺ (\frac{Δ x}{g}, \frac{Δ y}{g}) is a Pythagorean pair$

Ruta de aprendizaje

Las reglas del triángulo y de dónde salen

Referencias (2)

the origin of describing a curve by the coordinates of its points Descartes, R. (1637). La Géométrie, appendix to Discours de la méthode. Leiden: Jan Maire.
the theorem the distance formula is an application of Euclid. Elements, Book I, Proposition 47.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-20

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

3-4-5 - Catetos de 3 y 4 dan una distancia de exactamente 5 — Pitágoras, en coordenadas.
Horizontal - Un par horizontal: la pendiente es 0 y la distancia es solo el recorrido, 10.
Vertical - 10 unidades de largo y ninguna pendiente — «indefinida» es un hecho sobre la fórmula, no sobre la recta.
Pendiente negativa - Baja exactamente tan rápido como avanza: pendiente -1, distancia 14,14.
Diagonal unidad - El punto medio es exactamente (0,5; 0,5) mientras que la distancia, 1,41, no termina nunca.