Área y perímetro

Carga el ajuste trapezium: lados paralelos de 10 m y 6 m, con 4 m de uno a otro, y lee la u de la herramienta como tu metro. Calcula el área del arriate y el borde que consume. Decide después si lo que te está costando superficie de plantación es la forma o el tamaño, y si construir el arriate una vez y media más grande lo arreglaría.

1. Los dos lados paralelos miden distinto, así que lo primero es hallar la anchura única que haría el mismo trabajo. Recorta el triángulo rectángulo de un extremo y colócalo contra el otro: la muesca que deja es exactamente la forma que rellena, y lo que queda es un rectángulo de 8 m de ancho y 4 m de alto. El lado inclinado no interviene en el área en ningún momento.

   $$\frac{a+b}{2}=\frac{10+6}{2}=8\mathrm{m},A=8\times 4=32.00{\mathrm{m}}^2$$

2. El borde son los cuatro lados, y dos de ellos van inclinados. El arriate pierde 4 m de anchura a lo largo de su altura, 2 m por cada extremo, así que cada lado inclinado es la hipotenusa de un triángulo de 4 m de alto y 2 m de ancho: √20, algo menos de 4,5 m. La tarjeta del perímetro marca 24,94 m.

   $$\frac{a-b}{2}=2,c=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=4.4721,P=10+6+2c=24.94\mathrm{m}$$

3. La tercera tarjeta, la compacidad, marca 0,646. Q se define como 4πA/P², que parece una puntuación sin nada detrás hasta que preguntas qué es P²/4π por sí solo.

   $$Q=\frac{4\pi A}{P^2}=\frac{4\pi \times 32.00}{24.94^2}=0.646$$

4. Es el área de un círculo hecho con ese mismo borde. Endereza los 24,94 m, ciérralos en un anillo y el radio es P/2π = 3,9700 m, que encierra 49,51 m². Así que Q es el área de este arriate dividida entre la de ese círculo, y 0,646 dice que el trapecio se queda por debajo de dos tercios de lo que su propio borde puede encerrar.

   $$r_{\circ }=\frac{P}{2\pi }=\frac{24.9443}{2\pi }=3.9700\mathrm{m},A_{\circ }=\pi r_{\circ }^2=\frac{P^2}{4\pi }=49.51{\mathrm{m}}^2$$

5. La diferencia son 17,51 m² de arriate que has pagado y no puedes plantar. Dale la vuelta y es la misma frase: un arriate circular que contenga tus 32,00 m² necesita 20,05 m de borde, 4,89 m menos, cerca de una quinta parte del rollo.

   $$A_{\circ }-A=49.51-32.00=17.51{\mathrm{m}}^2,P_{\circ }=2\sqrt{\pi A}=2\sqrt{32\pi }=20.05\mathrm{m}$$

6. El tamaño no ayuda. Pon k en 1,5 y el arriate alcanza 72,00 m² tras 37,42 m de borde, y Q no se mueve, porque el k² que gana el área lo cancela el k² que sale de elevar el perímetro al cuadrado. Escalar esta forma hasta igualar los 49,51 m² del círculo exigiría k = 1,2439 y 31,03 m de borde, 6,08 m más de los que el círculo necesita para la misma área.

   $$k=1.5:P^{\prime }=37.42,A^{\prime }=72.00,Q^{\prime }=\frac{4\pi k^{2}A}{(kP{)}^2}=Q=0.646;k=\sqrt{\frac{49.51}{32.00}}=1.2439\Rightarrow P^{\prime }=31.03\mathrm{m}$$