Calculadora de triángulos: LLL, LAL, ALA, AAL y LLA

Resuelve triángulos con lados y ángulos conocidos. Sigue cada paso, compara las soluciones LLA y aprende cuándo usar las leyes de senos o cosenos.

Ejemplo resuelto — Solucionador de Triángulos

Caso	SSS

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Cuando un solo conjunto de datos divide la realidad 🖖

Tres medidas no siempre aportan tres datos distintos. En el caso LLA, unos mismos números describen dos triángulos diferentes, porque el seno no distingue un ángulo de su suplementario: sin(θ) = sin(180° − θ). Con los mismos datos se obtienen dos triángulos, y el cálculo no da preferencia a ninguno.

Por qué siempre hace falta un lado 🖖

Tres valores conocidos suelen determinar un triángulo, pero al menos uno debe ser un lado. Tres ángulos por sí solos (AAA) fijan la forma, pero no el tamaño: un triángulo diminuto y otro enorme pueden tener ángulos idénticos. La herramienta aplica dos reglas: el teorema del coseno cuando conoces los tres lados (SSS) o dos lados y el ángulo entre ellos (SAS), y el teorema del seno en los demás casos.

Un círculo oculto fija la razón 🖖

En el teorema de los senos, a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) tiene un valor que merece la pena conocer: equivale a 2R, el diámetro de la única circunferencia que pasa por los tres vértices (la circunferencia circunscrita). Todo triángulo lleva implícita una circunferencia, y el teorema de los senos mide en realidad su tamaño. Si duplicas el circunradio, también se duplica cada cociente entre un lado y el seno de su ángulo opuesto.

Teoría de triángulos — Caso por caso

¿Qué caso de triángulo tienes?

Empieza por los valores marcados como conocidos. Su patrón—no el aspecto del triángulo—determina el método. Hace falta al menos un lado conocido.

LLL - tres lados c² = a² + b² − 2ab cos C

LAL - dos lados y el ángulo comprendido c² = a² + b² − 2ab cos C

ALA/AAL - dos ángulos y un lado C = 180° − A − B; a / sin A = c / sin C

LLA - caso ambiguo sin B = b sin A / a; B′ = 180° − B

AAA — tres ángulos no bastan A + B + C = 180° ⇒ ∞ △

LLL - tres lados

Qué conoces: Las tres longitudes de lado: a, b y c.

Método: c² = a² + b² − 2ab cos C

Ejemplo resuelto: a = 3, b = 4, c = 5 produce un triángulo rectángulo.

Abrir este caso: LLL

LLL - tres lados. LLL: tres lados fijos determinan un triángulo si cumplen la desigualdad triangular. Las tres longitudes de lado: a, b y c. — LLL: tres lados fijos determinan un triángulo si cumplen la desigualdad triangular.

LAL - dos lados y el ángulo comprendido

Qué conoces: Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Método: c² = a² + b² − 2ab cos C

Ejemplo resuelto: a = 7, b = 5, C = 60° fija el lado opuesto c.

Abrir este caso: LAL

LAL - dos lados y el ángulo comprendido. LAL: los lados resaltados y su ángulo comprendido determinan un triángulo único. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. — LAL: los lados resaltados y su ángulo comprendido determinan un triángulo único.

ALA/AAL - dos ángulos y un lado

Qué conoces: Dos ángulos y cualquier lado (ALA o AAL).

Método: C = 180° − A − B; a / sin A = c / sin C

Ejemplo resuelto: A = 40°, B = 75°, c = 8 da primero C = 65°.

Abrir este caso: ALA

ALA/AAL - dos ángulos y un lado. ALA/AAL: dos ángulos fijan la forma y un lado fija la escala. Dos ángulos y cualquier lado (ALA o AAL). — ALA/AAL: dos ángulos fijan la forma y un lado fija la escala.

LLA - caso ambiguo

Qué conoces: Dos lados y un ángulo no comprendido, opuesto a uno de ellos.

Método: sin B = b sin A / a; B′ = 180° − B

Ejemplo resuelto: a = 7, b = 9, A = 40° crea dos triángulos válidos.

Abrir este caso: LLA ambiguo

LLA - caso ambiguo. LLA: los mismos datos pueden cortar en dos puntos y formar dos triángulos. Dos lados y un ángulo no comprendido, opuesto a uno de ellos. — LLA: los mismos datos pueden cortar en dos puntos y formar dos triángulos.

AAA — tres ángulos no bastan

Qué conoces: Los tres ángulos, pero ninguna longitud.

Método: A + B + C = 180° ⇒ ∞ △

Ejemplo resuelto: 30°, 60°, 90° describe infinitos triángulos de tamaños distintos.

AAA necesita un lado — abrir ALA/AAL

AAA — tres ángulos no bastan. AAA: los mismos ángulos describen triángulos semejantes pequeños y grandes. Los tres ángulos, pero ninguna longitud. — AAA: los mismos ángulos describen triángulos semejantes pequeños y grandes.

Problemas resueltos al detalle

Resolución del triángulo 3-4-5 conociendo únicamente sus tres lados 5 pasos
El triángulo 3-4-5 tiene un ángulo recto, y a nadie hay que decirle en qué vértice está. Resuélvelo a partir únicamente de los tres lados y halla después las dos circunferencias ocultas en él. Este es el caso LLL.
1. Con tres lados y ningún ángulo, la única vía para empezar es el teorema del coseno, despejado para obtener el coseno del ángulo opuesto al lado que se deja a la izquierda.
  
  $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{16 + 25 - 9}{40} = 0.8 ⟹ A = 36.869 9^{\circ}$
2. Se repite el proceso para el segundo ángulo. Nada aquí es aún una aproximación: 0,8 y 0,6 son exactos, y los decimales solo aparecen al tomar el arcocoseno.
  
  $cos B = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c} = \frac{9 + 25 - 16}{30} = 0.6 ⟹ B = 53.130 1^{\circ}$
3. El tercer ángulo se obtiene directamente a partir de la suma de los ángulos. Si aun así se aplica el teorema del coseno, el numerador es 9 + 16 − 25 = 0, por lo que el coseno es exactamente cero: este triángulo es rectángulo porque resulta que 3² + 4² es igual a 5², y por ninguna otra razón.
  
  $C = 18 0^{\circ} - A - B = 9 0^{\circ}, cos C = \frac{9 + 16 - 25}{24} = 0$
4. La fórmula de Herón solo necesita el perímetro y los tres lados. Devuelve 6, que también es ½ × 3 × 4; ambas fórmulas deben coincidir, y aquí se puede comprobar cómo lo hacen.
  
  $s = \frac{12}{2} = 6, K = 6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 = \frac{1}{2} ab$
5. Dos radios que el panel no menciona jamás. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el diámetro de la circunferencia circunscrita, de modo que R = 2,5. La circunferencia inscrita tiene r = (a + b − c)/2 = 1, y el área es igual a r × s, que vuelve a ser 6.
  
  $R = \frac{c}{2} = 2.5, r = \frac{a + b - c}{2} = 1, K = r s = 1 \times 6 = 6$
Respuesta

La herramienta muestra A = 36,8699°, B = 53,1301°, C = 90° y un perímetro de 12. El paso 3 es el que conviene recordar: Pitágoras no es un teorema independiente situado junto al teorema del coseno, sino el teorema del coseno evaluado a 90°, donde el término −2ab·cos C se anula. Todo aquello por lo que el ángulo recto es célebre procede de que ese único término se hace cero, razón por la cual el teorema del coseno funciona en cualquier triángulo y el de Pitágoras funciona en un solo tipo.

$cos C = 0 ⟺ a^{2} + b^{2} = c^{2} : Pythagoras is the cosine law at 9 0^{\circ}$
Dos lados de 7 y 5 con un ángulo de 60° entre ellos 5 pasos
Dos lados de 7 y 5 con un ángulo de 60° entre ellos. Halle el tercer lado y ambos ángulos restantes, y obtenga el segundo ángulo mediante el teorema del coseno en lugar del teorema del seno, de forma deliberada. Este es el caso LAL.
1. El ángulo conocido se encuentra entre los dos lados conocidos, que es exactamente la disposición para la que está concebido el teorema del coseno: devuelve el lado opuesto a dicho ángulo.
  
  $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C = 49 + 25 - 2 (35) (\frac{1}{2}) = 39 ⟹ c = 6.245$
2. A 60°, el coseno es exactamente ½, de modo que todo el término −2ab·cos C se reduce a −ab y la expresión se convierte en a² + b² − ab. Es una forma útil de reconocer; 60° es el único ángulo en el que aparece.
  
  $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} ⟹ c^{2} = a^{2} + b^{2} - ab$
3. Ahora, el ángulo A. El teorema del seno funcionaría y es más fácil de escribir, pero el arcoseno devuelve un ángulo en el primer cuadrante y su suplementario es igualmente válido, de modo que devolvería dos candidatos sin forma de elegir. El teorema del coseno devuelve un coseno con signo, y el coseno es inyectivo en todo el intervalo que puede tomar el ángulo de un triángulo.
  
  $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{25 + 39 - 49}{62.45} = 0.2402 ⟹ A = 76.102 1^{\circ}$
4. El último ángulo se obtiene a partir de la suma de los ángulos, lo que no puede ser ambiguo.
  
  $B = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 76.102 1^{\circ} = 43.897 9^{\circ}$
5. El área no necesita ninguno de los ángulos que acaba de hallar, ni el tercer lado: dos lados y el ángulo comprendido entre ellos ya son suficientes.
  
  $K = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} (7) (5) sin 6 0^{\circ} = 15.155$
Respuesta

La herramienta muestra c = 6,245, A = 76,1021° y B = 43,8979°. El paso 3 explica por qué LAL es un caso seguro y LLA no lo es. El teorema del coseno nunca puede ser ambiguo, porque cos θ toma cada valor una vez entre 0° y 180°; el teorema del seno siempre puede serlo, porque sin θ toma cada valor dos veces. Cuando se dan dos lados y el ángulo comprendido, el triángulo ya está determinado y el cálculo simplemente lo obtiene. El siguiente problema muestra qué ocurre cuando no es así.

$SAS is never ambiguous: cos θ is one-to-one on (0^{\circ}, 18 0^{\circ})$
El caso SSA de a = 7, b = 9, A = 40° 5 pasos
a = 7, b = 9, A = 40° — y el panel indica dos soluciones mientras muestra un solo triángulo. Halle la otra solución. Este es el caso LLA.
1. Trace una perpendicular desde el vértice opuesto sobre la recta en la que se apoya el ángulo conocido. Su longitud es h = b·sin A = 5,7851, y el lado a debe alcanzar dicha recta: si es demasiado corto, no hay triángulo; si mide exactamente h, hay uno; si es mayor que h, hay dos —hasta que a supera a b, momento en el que la segunda opción se descarta. Aquí h < a < b, por lo que existen dos.
  
  $h = b sin A = 9 sin 4 0^{\circ} = 5.7851, h < a < b$
2. El teorema del seno proporciona el seno de B, y el arcoseno devuelve la rama aguda.
  
  $sin B = \frac{b sin A}{a} = \frac{9 sin 4 0 ^{\circ}}{7} = 0.826441 ⟹ B_{1} = 55.734 9^{\circ}$
3. La rama obtusa tiene el mismo seno. Solo subsiste si todavía deja espacio para un tercer ángulo, y como 40° + 124,2651° es menor de 180°, es válida.
  
  $B_{2} = 18 0^{\circ} - 55.734 9^{\circ} = 124.265 1^{\circ}, A + B_{2} = 164.2 7^{\circ} < 18 0^{\circ}$
4. Complete el primer triángulo: halle el tercer ángulo, a continuación el tercer lado por el teorema del seno y, por último, el área.
  
  $C_{1} = 84.265 1^{\circ}, c_{1} = \frac{a sin C _{1}}{sin A} = 10.8356, K_{1} = 31.3423$
5. Complete el segundo del mismo modo. Con el mismo a, el mismo b y el mismo A, pero obteniendo un triángulo de menos de un tercio de superficie.
  
  $C_{2} = 15.734 9^{\circ}, c_{2} = \frac{a sin C _{2}}{sin A} = 2.9532, K_{2} = 8.5424$
Respuesta

El panel indica LLA (2 soluciones) y muestra h = 5,7851, B = 55,7349°, c = 10,8356 y un área de 31,3423, correspondiente a la primera rama. La segunda, con c = 2,9532 y un área de 8,5424, se deja para el usuario, y esa es la situación real del caso: los datos no determinan el triángulo, por lo que ninguna calculadora puede ofrecerle la respuesta. Cualquier medida tomada de este modo —un rumbo y dos distancias, o un alcance de radar con un ángulo fuera de eje— conlleva la misma bifurcación, y la forma de resolverla nunca es más aritmética. Se requiere una medida adicional o una razón física por la cual una de las dos sea imposible.

$sin θ = sin (18 0^{\circ} - θ) : two triangles, and the panel prints one$

Ruta de aprendizaje

Las reglas del triángulo y de dónde salen

Lleva a Ángulos en la circunferencia

Referencias (1)

The circle hiding behind the law of sines, and why one dataset can describe two triangles: G. Van Brummelen, "Sines, cosines, and their relatives", chapter 2 of Trigonometry: A Very Short Introduction. Oxford University Press, 2020.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

LLL - Tres lados y ningún ángulo: hay que empezar por el teorema del coseno. El triángulo 3-4-5 resulta ser rectángulo, y la explicación está en el cálculo: 9 + 16 − 25 es cero, así que el coseno de ese ángulo es exactamente cero.
LAL - Dos lados y el ángulo comprendido. Primero hay que aplicar el teorema del coseno, porque para usar el de los senos necesitas conocer un lado y su ángulo opuesto, y aún no tienes esa pareja.
ALA - Dos ángulos permiten hallar el tercero sin más: 40° y 75° dejan 65°. A partir de ahí basta con una proporción del teorema de los senos, y el único lado conocido fija la escala de todo el triángulo.
LLA ambiguo - El caso en que tres medidas no aportan tres datos distintos. Con los mismos valores, el lado desconocido puede medir 10,836 o 2,953, porque el seno no distingue 55,7° de 124,3° y ambos ángulos permiten cerrar un triángulo.