Temperatura del suelo: las estaciones bajo tierra

Elige un suelo y una profundidad. La superficie oscila con las estaciones y con el día; la página muestra la oscilación que llega a tu termómetro, a partir de la solución exacta de la ecuación del calor, junto a la oscilación de la superficie como un rastro fantasmal.

Ejemplo resuelto — Temperatura del suelo: las estaciones bajo tierra

Retraso del pico anual	72,5 días
Profundidad donde el año se invierte exactamente	6,30 m
Profundidad de atenuación diaria	0,1049 m
Retraso del pico diario	91,0 h

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Temperatura del suelo: las estaciones bajo tierra

Cuando la temperatura en la superficie de un suelo uniforme oscila como un seno con periodo P, la oscilación a una profundidad z es e^−z/d de la superficial y llega (z/d)·P/2π más tarde, donde d = √(κP/π) es la profundidad de atenuación y κ la difusividad térmica del terreno. Ambos efectos vienen determinados por un único número, z/d. A z = πd la oscilación llega exactamente con medio periodo de retraso.

Qué significa cada símbolo

d: la profundidad de atenuación √(κP/π), en la cual una oscilación cae un factor e; cerca de 2 m para el año en suelo seco, 10 cm para el día
z: la profundidad bajo la superficie
P: el periodo de la oscilación superficial: un año de 365,2422 días, o un día
κ: la difusividad térmica del suelo, en m²/s

La oscilación se atenúa y se retrasa según un mismo número 🖖

Pulsa Calton Hill, 24 pies fr. y observa tres filas de los resultados. La profundidad en profundidades de atenuación, z/d, es 2,776. Allí la oscilación es e^−2,776 = 6,23% de la superficial. Y su pico llega con un retraso de 2,776 × 58,13 = 161,4 días, porque un año tiene 2π radianes y un radián equivale a 365,2422/2π = 58,13 días. La atenuación y el retraso son el mismo número, así que por cada factor e que la oscilación pierde en su descenso, llega 58,1 días más tarde. Elige otro terreno y d cambiará; los 58,1 días no lo harán. Forbes instaló termómetros en la roca de Calton Hill en Edimburgo a 3, 6, 12 y 24 pies franceses, y en 1860 William Thomson redujo trece años de sus lecturas. Entre los 3 y los 24 pies, el logaritmo de la oscilación anual caía 0,1160 por pie francés y su pico se desplazaba 0,1156 radianes por pie francés, como muestra la fila en negrita de la segunda tabla. La teoría decía que ambos valores serían iguales, y lo son, con un margen del 0,3%. Más cerca de la superficie difieren en un 6,2%, y Thomson se lo atribuyó al terreno, no a las lecturas: ni la roca ni su superficie son tan uniformes como asume la teoría.

A seis metros en suelo seco, el día más cálido llega en invierno 🖖

Pulsa Suelo seco, 6,3 m. Esa profundidad es πd al centímetro: la oscilación se reduce al e^−π = 4,32% de la superficial y llega con 182,7 días de retraso, medio año con una diferencia de apenas dos horas, por lo que las dos curvas en el panel inferior son imágenes especulares y el suelo allí está en su punto más cálido cuando la superficie está en el más frío. Es un calor pequeño, 0,35 °C a cada lado de la media. Un sótano no llega a esa profundidad. Pulsa Suelo seco, 2,5 m: a la profundidad de un sótano, el verano llega 72,5 días tarde con el 28,73% de la oscilación, un pico otoñal. El suelo más frío en pleno verano tampoco está a 6,30 m sino a 4,72 m, tres cuartos de πd, donde la oscilación es mayor y solo tiene tres octavos de año de retraso; los resultados te dan esa profundidad para cualquier terreno que elijas.

A medio metro de profundidad, la noche desaparece pero las estaciones no 🖖

Pulsa Medio metro, reloj diario. En suelo seco la oscilación diaria cae un factor e cada 0,1049 m, y la anual cada 2,004 m: 19,11 veces más profundo. Esa proporción es √365,2422, la raíz cuadrada del cociente de los dos periodos, y como la κ se anula en el cálculo, es igual en cualquier suelo. A medio metro de profundidad, la oscilación diaria es el 0,85% de la superficial y alcanza su pico 18,2 horas tarde, mientras que la anual sigue siendo del 77,92% y solo se retrasa 14,5 días. Un termómetro a esa profundidad apenas registra la noche y el día, y sigue las estaciones casi al unísono. Es la ley del cuadrado de La ecuación del calor otra vez: un periodo 365 veces más largo penetra √365 veces más profundo.

Problema resuelto al detalle

La edad de la Tierra según Kelvin 3 pasos
En 1862 William Thomson, más tarde Lord Kelvin, trató la corteza terrestre como una roca con κ = 400 pies cuadrados al año, que comenzó como un sólido 7000 °F más caliente que la superficie actual y se ha estado enfriando a través de dicha superficie desde entonces. Según las mediciones, el suelo se calienta alrededor de 1 °F por cada 50 pies de descenso. ¿Qué edad le daba eso a la Tierra? Pulsa primero Roca de Thomson, 1 m: la página muestra lo que esa κ le hace a la onda anual.

Abre este problema en la herramienta
1. En unidades métricas, la κ de Thomson es los 1,178 mm²/s del campo κ, y su oscilación anual cae un factor e cada
  
  $κ = \frac{400 \times 0 . 304 8 ^{2} m ^{2}}{3 . 15569 \times 1 0 ^{7} s} = 1.178 \times 1 0^{- 6} m^{2} /s, d_{y} = \frac{400}{π} ft = 11.28 ft = 3.439 m$
2. Una roca que comienza uniformemente caliente y se enfría por su superficie desde el tiempo 0 tiene, en la superficie, el gradiente G = ΔT/√(πκt), la solución de Fourier tal como la escribió Thomson. Despeja la t, en sus propias unidades de °F, pies y años:
  
  $t = \frac{Δ T ^{2}}{π κ G ^{2}} = \frac{7 , 00 0 ^{2}}{π \times 400 \times ( 1/50 ) ^{2}} = \frac{49 , 000 , 000}{0 . 50265} = 97, 480, 000 years$
3. La respuesta va como uno sobre el cuadrado del gradiente, el único número medido. Reducir el gradiente a la mitad cuadruplica la edad de la Tierra, y la alta estimación de Thomson para la roca fundida, 10 000 °F, da
  
  $G = \frac{1}{100} : t = 4 \times 97.48 = 389.9 million years; Δ T = 10, 000^{\circ} F : t = 198.9 million years$
Respuesta

Unos 97,5 millones de años. Thomson escribió 98 000 000 y, teniendo en cuenta lo que entonces nadie sabía sobre la roca a altas temperaturas, situó la edad entre 20 y 400 millones de años. La edad aceptada es de 4,54 miles de millones. La historia habitual culpa a la radiactividad, y se equivoca: si incluyes el calor radiactivo de la Tierra en este cálculo, la respuesta apenas se mueve. Lo que falla es suponer que nada se mueve en el interior. En 1895 John Perry señaló que un interior que fluye, aunque sea tan despacio como repta la roca caliente, puede transportar el calor hacia arriba mucho más rápido que la conducción, y entonces el gradiente en la superficie dice poco sobre cuánto tiempo lleva enfriándose la Tierra.

$t \approx 97.5 \times 1 0^{6} years (Thomson: 98, 000, 000; accepted: 4.54 \times 1 0^{9})$

Ruta de aprendizaje

Las ecuaciones del calor, de onda y de Laplace

Referencias (3)

Fourier's solution for a periodic surface temperature stated as a law, the retardation of the epoch in radians equal to the diminution of the logarithm of the amplitude, and tested on Forbes's thermometers at 3, 6, 12 and 24 French feet in the rock of Calton Hill (Table IV, thirteen years, 1842–1854: 0.1160 and 0.1156 per French foot from 3 to 24 feet), with k/c of 235.1, 260.5 and 690.7 square French feet a year for the three Edinburgh sites (§§11, 21, 35–38); and the age of the Earth from the cooling of a solid half-space, κ = 400 square feet a year and 1 °F per 50 feet, 98,000,000 years for 7,000 °F and limits of 20 and 400 million (§§6, 10–16): W. Thomson, "On the reduction of observations of underground temperature; with application to Professor Forbes' Edinburgh observations, and the continued Calton Hill series", Transactions of the Royal Society of Edinburgh 22 (1861), 405–427, doi:10.1017/S0080456800030702; and "On the secular cooling of the Earth", same journal, 23 (1862), 157–169, doi:10.1017/S0080456800018512. Both reprinted in his Mathematical and Physical Papers, vol. III (Cambridge University Press, 1890), Arts. XCIII and XCIV.
Kelvin's calculation re-run with modern values, and the case that radioactivity does not invalidate it (adding the Earth's radioactive heat barely changes the answer) while convection in the interior, argued by John Perry in 1895, does: P. England, P. Molnar and F. Richter, "John Perry's neglected critique of Kelvin's age for the Earth: A missed opportunity in geodynamics", GSA Today 17(1) (2007), 4–9.
The periodic solution and its damping, Example 5.7 (the coldest ground in high summer at three quarters of π damping depths); the thermal diffusivities of dry mineral soil, 4 × 10⁻⁷ m²/s, and granite, about 7.4 × 10⁻⁷ (Table A.2); and the accepted age of the Earth, 4.54 billion years (Problem 5.45): J. H. Lienhard V and J. H. Lienhard IV, A Heat Transfer Textbook, 6th edition. Phlogiston Press, Cambridge, Massachusetts, 2024. §5.6 and Example 5.7, pp. 233–235; Problem 5.45; Table A.2, p. 744.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.