La ecuación del calor

Elige un perfil de temperatura inicial o dibújalo en la gráfica, y escoge un material. Ambos extremos de la barra se mantienen a 0 °C. La página resuelve la ecuación del calor con exactitud y pone en marcha el reloj, dejando el perfil inicial como un rastro fantasmal.

Ejemplo resuelto — La ecuación del calor

Tiempo en el reloj	432,2 s
Altura actual del primer modo	38,9 °C
Temperatura en el centro	39,4 °C
Punto más caliente	0,500 m
Cuarto izquierdo menos el cuarto derecho	0,0 °C
Calor que queda en la barra respecto al inicial	73,91%

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — La ecuación del calor

La ecuación del calor ∂u/∂t = κ ∂²u/∂x² establece que la temperatura en un punto cambia a un ritmo definido por la curvatura del perfil en ese lugar. Un punto más frío que la media de sus vecinos se calienta; uno más caliente se enfría. κ = k/(ρc_p), la difusividad térmica, es la conductividad dividida por la capacidad calorífica por unidad de volumen. Para una barra de longitud L cuyos extremos se mantienen a 0, la solución a partir de un perfil inicial f(x) es u = Σ b_k sin(kπx/L) e^{−k²π²κt/L²}, donde b_k = (2/L) ∫ f(x) sin(kπx/L) dx a lo largo de la barra.

Qué significa cada símbolo

u: la temperatura en la posición x y tiempo t, en °C
κ: la difusividad térmica en m²/s: 1,157 × 10⁻⁴ para el cobre, 1,17 × 10⁻⁵ para el acero al carbono
τ: κt/L², el tiempo tal y como lo cuenta la ecuación. Dos barras que parten del mismo perfil tienen la misma forma en el mismo τ
b_k: el tamaño del modo senoidal k al principio, calculado a partir del perfil inicial

Una barra caliente pierde primero sus bordes afilados 🖖

Pulsa Tercio central, cobre. El rastro discontinuo muestra dónde empezó la barra, un bloque a 100 °C con paredes verticales. Cualquier perfil inicial puede escribirse como una suma de modos senoidales que se anulan en ambos extremos. El modo k tiene k crestas y la tabla inferior muestra sus tamaños: b₁ = 63,662, b₃ = −42,441, b₅ = 12,732. Cada modo decae según su propio reloj como e^{−k²π²κt/L²}, por lo que el modo 3 desaparece nueve veces más rápido que el modo 1, y el modo 5, veinticinco veces. Las paredes verticales están construidas a partir de los modos rápidos y por eso son los primeros en irse. Al llegar a τ = κt/L² = 0,05, unos 7,2 minutos en un metro de cobre, el perfil difiere del primer modo en un máximo del 1,27% de su pico y el centro marca 39,4 °C. A partir de ahí, la forma apenas cambia, lo que disminuye es su altura. En la gráfica logarítmica, cada modo es una línea recta k² veces más empinada que la primera. Esta es la serie que construye el Constructor de series de Fourier, y Fourier la ideó para el calor. Su Théorie analytique de la chaleur (1822) nació de una memoria que envió al Instituto de Francia a finales de 1807.

El doble de longitud requiere cuatro veces más tiempo 🖖

Pulsa Tercio central, cobre y luego Cobre, medio metro. Los perfiles son idénticos porque la ecuación mantiene un único reloj, τ = κt/L². La longitud de la barra entra al cuadrado y el material interviene únicamente a través de κ, su difusividad térmica. Así, el metro de cobre alcanza τ = 0,05 tras 432,2 s, mientras que el medio metro lo hace tras 108,0 s, una cuarta parte del tiempo. El tiempo que tarda el primer modo en caer por un factor e es L²/(π²κ): 875,7 s para un metro de cobre, 8.659,9 s para el acero al carbono (cuyo valor de κ es 9,89 veces menor) y 36,1 horas para el Pyrex. El calor no viaja a una velocidad. La distancia a la que se propaga crece como la raíz cuadrada del tiempo, y por eso aparece la misma raíz cuadrada en la propagación de un caminante aleatorio clásico en Paseo aleatorio cuántico.

La barra olvida qué lado se calentó 🖖

Pulsa Mitad izquierda caliente. Todo el calor comienza en la izquierda, y es lógico esperar que la barra siga desequilibrada hasta que se enfríe. Pero la asimetría desaparece mucho antes que el calor. La parte asimétrica del perfil corresponde a sus modos pares, cada uno con tantas crestas hacia arriba como hacia abajo. El mayor y más lento de ellos, el modo 2, con una cresta hacia arriba y otra hacia abajo, empieza siendo exactamente igual de grande que el primer modo: b₂ = b₁ = 63,662. Este modo se desvanece cuatro veces más rápido. En τ = 0,1, tras 14,4 minutos en cobre, al modo 2 le queda 0,0193 frente al 0,3727 del primer modo. El punto más caliente ha avanzado hasta los 0,468 m, a 3,2 cm del centro, y el punto situado a un cuarto de longitud en el lado calentado apenas supera en 2,5 °C a su reflejo, a pesar de que el 30,21% del calor sigue en la barra. Dibuja el perfil que quieras y ocurrirá lo mismo, a menos que su primer modo sea exactamente cero. Como cada modo desaparece más rápido que el primero, todos estos perfiles terminan convertidos en el mismo arco. Al final, lo único que recuerda la barra de su estado inicial es un solo número: b₁, la altura de dicho arco.

Problema resuelto al detalle

¿Cuánto tarda en enfriarse el centro de una barra de acero? 3 pasos
Una barra de acero al carbono de 1 m de longitud tiene su tercio central a 100 °C y ambos extremos en hielo. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que su centro baje de 1 °C? El deslizador de tiempo se detiene en τ = 0,3, antes de llegar a la respuesta. Pulsa Tercio central, acero primero: la página te dará b₁ y el tiempo que tarda el primer modo en caer por un factor e.

Abre este problema en la herramienta
1. Mucho antes de que el centro llegue a 1 °C, todos los modos salvo el primero habrán desaparecido (en τ = 0,1 el perfil ya está a menos de un 0,02% de un único arco). Así que el centro es b₁e^−π²τ, y si lo igualamos a 1 obtenemos τ:
  
  $b_{1} e^{- π^{2} τ} = 1 \Rightarrow τ = \frac{ln 63 . 662}{π ^{2}} = \frac{4 . 1536}{9 . 8696} = 0.42085$
2. Como τ = κt/L² y T₁ = L²/(π²κ), el tiempo es ln(b₁) veces el tiempo de caída por un factor e del primer modo:
  
  $t = \frac{τ L ^{2}}{κ} = ln (b_{1}) T_{1} = 4.1536 \times 8, 659.9 s = 35, 970 s$
3. Comprueba que el modo 3, el mayor de los restantes, realmente ha desaparecido para entonces:
  
  $∣ b_{3} ∣ e^{- 9 π^{2} τ} = 42.441 \times e^{- 9 π^{2} \times 0.42085} = 42.441 \times e^{- 37.38} = 2.5 \times 1 0^{- 15}^{\circ} C$
Respuesta

Poco menos de diez horas: 35.970 s. La respuesta es ln(63,662) = 4,15 tiempos de caída por factor e, sin importar el material. Por tanto, la misma barra en cobre tarda 4,1536 × 875,7 s = 3.637 s, cerca de una hora. Para entonces el modo 3 ha bajado a 2,5 × 10⁻¹⁵ °C, así que la fórmula de un solo arco es exacta con muchos más decimales de los que puede registrar cualquier termómetro.

$t = 35, 970 s \approx 9.99 h; copper: 4.1536 \times 875.7 s = 3, 637 s$

Ruta de aprendizaje

Las ecuaciones del calor, de onda y de Laplace

Referencias (2)

Fourier's own account of where the theory began: first set out in a manuscript sent to the Institute of France at the end of 1807, with an extract in the Bulletin des Sciences for 1808 (Preliminary Discourse); and the first problem the book solves with a trigonometric series, the steady temperatures of a plate between two parallel sides held at 0 with its base held at 1, which is Laplace's equation rather than the cooling rod (Art. 163 onwards): J. Fourier, The Analytical Theory of Heat, translated by A. Freeman. Cambridge University Press, 1878 (Théorie analytique de la chaleur, 1822). Preliminary Discourse; Chapter III, Section I, Arts. 163–166.
The thermal diffusivities this page uses, at 20 °C: pure copper 11.57 × 10⁻⁵ m²/s, pure aluminium 9.61 × 10⁻⁵ and carbon steel with 1.0% C 1.17 × 10⁻⁵ (Table A.1), Pyrex borosilicate glass 7.8 × 10⁻⁷ (Table A.2); and the history in the caption of Fig. 1.4, Fourier's 1807 monograph refereed by Lagrange and Laplace and his series not in print until 1822: J. H. Lienhard V and J. H. Lienhard IV, A Heat Transfer Textbook, 6th edition. Phlogiston Press, Cambridge, Massachusetts, 2024. Table A.1, p. 739; Table A.2, p. 742; Fig. 1.4, p. 12.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.