La ecuación de onda en una, dos y tres dimensiones

Un pulso, golpeado o pulsado, en una línea, en una membrana y en el espacio. Observa cómo se propaga y lee lo que registra un oyente a una distancia r en cada caso, mucho después de que la perturbación haya pasado.

Ejemplo resuelto — La ecuación de onda en una, dos y tres dimensiones

La perturbación llega al oyente, en ct/a	4
Su parte posterior ha pasado al oyente, en ct/a	6
Lectura máxima de la cuerda	0,5333

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — La ecuación de onda en una, dos y tres dimensiones

La ecuación de onda, u_tt = c²∇²u, establece que la segunda derivada temporal de u en cada punto (su aceleración, cuando u es un desplazamiento) es c² veces su laplaciano, que es proporcional a cuánto supera el promedio de u en el entorno inmediato del punto al propio valor de u. En una dimensión, toda solución consiste en dos formas que viajan a velocidad c en direcciones opuestas (d'Alembert, 1747). En tres dimensiones, una perturbación confinada a una región solo llega a un punto distante mientras la esfera de radio ct centrada en ese punto está cruzando la región, y lo deja en reposo después. En dos dimensiones no es así: queda una cola residual, y tras un inicio por golpe, solo decae como 1/t.

Qué significa cada símbolo

u: el valor de la onda: el desplazamiento de la cuerda o la membrana, o en el espacio una cantidad como el exceso de presión del aire
c: la velocidad de la onda
a: el radio del pulso inicial; toda longitud en la página está en unidades de a, todo tiempo en unidades de a/c
g: la forma del pulso inicial, (1 − s²)² a una distancia s de su centro (en unidades de a), nula para s ≥ 1

Supone: Una línea, membrana o espacio sin extremos ni paredes, de modo que nada se refleja de vuelta al oyente. Desplazamientos pequeños, por lo que la ecuación es lineal: un pulso golpeado con el doble de fuerza duplica cada número en la página.

Una cuerda golpeada nunca vuelve al reposo 🖖

Pulsa Golpeado, oído a 5a y observa la cuerda verde azulada. El impulso envía una rampa en cada dirección, y tras las rampas la cuerda queda elevada, plana, en 0,5333 v₀a/c. El punto del oyente sube mientras pasa la perturbación y luego se queda ahí, tanto en ct = 20a como en 80a. Cambia a Pulsado y el mismo pulso, elevado y soltado, se divide en dos copias de la mitad de su altura que se separan: el punto sube a 0,5000 y vuelve a caer exactamente a 0. D'Alembert demostró en 1747 que todo movimiento de una cuerda consiste en dos formas que viajan en direcciones opuestas. Escrito en función de la forma inicial f y la velocidad inicial g, se lee u = ½[f(x − ct) + f(x + ct)] + (1/2c)∫_x−ct^x+ctg. Una forma se marcha con las dos mitades viajeras. Una velocidad se suma a lo largo del tramo de cuerda a una distancia ct del punto, y una vez que ese tramo ha crecido hasta abarcar toda la zona, la suma es el impulso completo, ½∫g = 8/15. Una cuerda real tiene extremos fijos cuyas reflexiones tiran de ella hacia atrás. Esta no tiene extremos, así que nada regresa jamás.

En una membrana, un impulso nunca termina de llegar 🖖

Pulsa Golpeado, oído a 5a y observa las dos superficies. Cada una lleva un anillo hacia el exterior, y ambos anillos han pasado al oyente para ct = 6a. Dentro del círculo punteado, por donde ya ha pasado la parte posterior de la onda, el espacio es plano: su oyente lee exactamente 0 a partir de entonces, y la última columna de la tabla es cero en todos sus decimales. La membrana dentro de su círculo sigue elevada. En ct = 20a su oyente marca 0,00861, el 9,93% de los 0,0867 que alcanzó como máximo; pulsa Golpeado, 5a, oír a 80a y es 0,00209, cerca de una cuarta parte de eso tras una espera cuatro veces mayor. La cola decae como 1/t y nunca llega a cero. Las dos fórmulas de solución explican por qué. En el espacio, la respuesta en un punto se construye a partir del promedio inicial sobre la superficie de una esfera de radio ct centrada en él, y una vez que esa esfera ha crecido más allá del pulso, no hay nada en ella. En una membrana, la respuesta es una integral sobre todo el disco dentro del círculo de radio ct, por lo que el pulso permanece en su interior para siempre, ponderado por 1/√(c²t² − ρ²). Hadamard, en las conferencias de Yale que publicó en 1923, llamó al resto una integral residual y escribió que las ondas cilíndricas, a diferencia de las esféricas, se difunden.

En el espacio, un pulso liberado llega como un pulso y un valle 🖖

Pulsa Pulsado, oído a 5a y observa el gráfico azul. Ninguna parte del pulso estuvo jamás por debajo de cero, pero el oyente en el espacio registra una subida hasta 0,02862 seguida de una caída igual de profunda, con áreas de 0,01667 y −0,01667 que se anulan exactamente. Para r > a la respuesta es u = (r − ct) g(ct − r)/(2r): la forma inicial multiplicada por una rampa que pasa por cero justo cuando llega el centro del pulso. La presión sonora obedece a esta ecuación, por lo que una bola de aire comprimido soltada en reposo llega a un oyente como una compresión seguida de una rarefacción igual, sin que quede ningún empuje neto. La cuerda transporta la misma liberación sin cambiar su signo. La membrana registra un pulso, luego una cola por debajo de cero que decae como 1/t², que es el signo que Hadamard calculó para un residuo en dos dimensiones.

Problema resuelto al detalle

¿Cuánto perdura una palmada en un mundo plano? 4 pasos
En la membrana, golpeada, un oyente a 5a de distancia registra una lectura máxima de 0,0867 v₀a/c. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que la cola decae al 1% de ese valor? Pulsa Golpeado, oído a 5a: la página imprime el pico, y la lectura en ct = 20a junto a la ley de la cola.

Abre este problema en la herramienta
1. Mucho después de que la onda haya pasado, la lectura de la membrana sigue la ley de la cola para un impulso puntual. En ct = 20a, ambas ya coinciden en tres cifras:
  
  $\frac{1}{6 2 0 ^{2} - 5 ^{2}} = \frac{1}{6 375} = 0.00861$
2. El uno por ciento del pico es
  
  $0.01 \times 0.0867 = 0.000867$
3. Iguala la ley de la cola a este valor y despeja ct/a:
  
  $(c t / a)^{2} - 25 = \frac{1}{6 \times 0 . 000867} = 192.2 \Rightarrow \frac{c t}{a} = 192 . 2^{2} + 25 = 192.3$
4. En el espacio, el mismo oyente está en silencio a partir de ct = 6a. Para una perturbación de unos 10 cm de ancho, a = 0,05 m, al dar una palmada en el aire con c = 343 m/s, la unidad de tiempo a/c es
  
  $\frac{a}{c} = \frac{0 . 05 m}{343 m/s} = 0.146 ms, 6 \frac{a}{c} = 0.87 ms, 192.3 \frac{a}{c} = 28 ms$
Respuesta

En torno a ct = 192a, treinta y dos veces el 6a en el que el espacio queda en silencio. Para una palmada de 10 cm de ancho, eso son 28 milisegundos frente a menos de uno. En un mundo plano, todo sonido arrastraría una cola hacia lo que viniera después. Un umbral del 2% reduciría aproximadamente a la mitad la espera, porque la cola decae como 1/t.

$\frac{c t}{a} \approx 192 \approx 32 \times 6$

Ruta de aprendizaje

Las ecuaciones del calor, de onda y de Laplace

Referencias (2)

The vibrating string's equation solved as the sum of two arbitrary functions, y = Ψ(t + s) + Γ(t − s): every motion of the string is two shapes travelling in opposite directions (art. VII), followed by a long continuation working out which shapes satisfy fixed ends: J. le Rond d'Alembert, "Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration", Histoire de l'Académie royale des sciences et belles lettres de Berlin 3 (1747, published 1749), 214–219; "Suite des recherches…", same volume, 220–249.
Huygens' principle in its narrow sense, a disturbance localised at the start stays localised on a thin spherical shell (Book II, §33), and its failure in two dimensions: the 'residual integral' left after the wave has passed, so that 'cylindrical waves, unlike spherical ones, diffuse' (Book III, §111), and the sign of that residual, negative for a positive starting displacement when there are three variables (§112): J. Hadamard, Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations, Yale University Press, New Haven, 1923 (Mrs. Hepsa Ely Silliman Memorial Lectures), Book II §33, pp. 53–55, and Book III §§111–112, pp. 175–178.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.