Ecuación de Laplace: una placa en estado estacionario

Ajusta los cuatro bordes de una placa cuadrada y elige un punto. La página calcula su temperatura estacionaria de tres maneras: con la serie de Fourier, mediante una cuadrícula relajada barrido a barrido desde cero, y lanzando caminantes aleatorios desde el punto para contar por dónde salen.

Ejemplo resuelto — Ecuación de Laplace: una placa en estado estacionario

Su error estándar	0,35
Pasos que dio un caminante, de media	91,6
Estimación como losa, ignorando los lados	75,00

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Ecuación de Laplace: una placa en estado estacionario

La ecuación de Laplace, ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0, se aplica a la temperatura de un cuerpo uniforme sin fuentes de calor en su interior, una vez que ha dejado de cambiar. El calor entra por unos sitios y sale por otros, pero ningún punto lo gana ni lo pierde. Sus soluciones, las funciones armónicas, poseen la propiedad del valor medio: el valor en cualquier punto equivale a la media sobre cualquier círculo a su alrededor que se encuentre dentro de la región. En una cuadrícula, la ecuación se convierte en la regla de que cada punto es la media de sus cuatro vecinos. Este es el primer problema que Fourier resuelve con su serie en la Teoría analítica del calor (1822): una placa de longitud infinita, con su extremo a la temperatura del agua hirviendo y ambos lados a la del hielo, en su estado final e inalterable.

Qué significa cada símbolo

u: la temperatura estacionaria, °C
T: la temperatura fija de un borde: T_t, T_r, T_b, T_l para superior, derecho, inferior e izquierdo
N: el número de cuadrados de la cuadrícula a lo largo de un lado; el espaciado de la cuadrícula es 1/N del lado
W: el número de caminantes lanzados en P

La temperatura en un punto es la probabilidad de deambular hasta el borde caliente 🖖

Pulsa Superior caliente, P a 3/4. La serie sitúa P a 54,05 °C. Ahora olvida la placa y juega a un juego: empieza en P, da un paso hacia uno de los cuatro puntos vecinos de la cuadrícula con igual probabilidad y sigue así hasta alcanzar un borde. De 20 000 caminantes, 10 825 llegan primero al borde superior. Esto significa que un 54,13 % termina a 100 °C y el resto a 0, una media de 54,13 ± 0,35. En la cuadrícula la coincidencia es exacta, no aproximada. La probabilidad de terminar en la parte superior obedece a la misma regla que la temperatura: cada punto es la media de sus cuatro vecinos, con los mismos valores en los bordes. El 53,98 de la cuadrícula es esa probabilidad hasta el último dígito. Los caminantes encuentran la temperatura de P sin calcular la de ningún otro punto. Las barras exteriores de la placa muestran por dónde salieron. La mayoría lo hizo cerca del centro del borde superior, al ser el más cercano.

Cada punto es la media de cualquier círculo a su alrededor 🖖

Mantente en Superior caliente, P a 3/4 y fíjate en el círculo verde. Su parte superior está a 89,97 °C y la inferior a 29,46, y el punto medio entre ambas es 59,71. La media en todo el círculo es 54,05, la propia temperatura de P. Se mantiene en 54,05 para cualquier círculo alrededor de P que quepa dentro de la placa. La regla de la cuadrícula, donde cada punto es la media de sus cuatro vecinos, es esta propiedad en su forma más reducida. Tiene una consecuencia que puedes comprobar al arrastrar P a cualquier parte: ningún punto interior puede ser más caliente que todos los puntos que lo rodean. Por tanto, los lugares más calientes y más fríos de la placa siempre se encuentran en sus bordes. Esta misma propiedad del potencial eléctrico explica por qué ninguna configuración de cargas fijas puede mantener a otra carga en equilibrio estable en el vacío, un tema que aborda Electric Field Visualiser.

Relajar una placa es flujo de calor, por lo que una cuadrícula el doble de fina requiere el cuádruple de barridos 🖖

Pulsa El centro en 10 × 10, después Superior caliente, P al centro y por último El centro en 40 × 40. El centro se acerca a menos de 0,1 °C de 25 tras 120, 485 y 1 945 barridos. Reemplazar cada valor por la media de sus vecinos es exactamente un paso temporal de la ecuación del calor, el mayor paso que la cuadrícula puede dar sin volverse inestable. Así, un barrido de Jacobi es una versión congelada en el tiempo de la placa enfriándose, y hereda la lentitud del calor. Si reduces el espaciado a la mitad, cada paso cubre una cuarta parte del tiempo, por lo que el mismo enfriamiento requiere cuatro veces más pasos. Los caminantes pagan el mismo precio. Su viaje medio hasta un borde es de 29,5, 118,0 y 467,6 pasos en las tres cuadrículas. Una cuadrícula lo bastante fina como para ser precisa resulta cara de relajar de este modo. En el centro, los barridos adicionales no aportan ninguna precisión extra: según el razonamiento del cuarto de vuelta, la respuesta de cualquier cuadrícula allí es exactamente 25.

Problema resuelto al detalle

¿Cuántos barridos necesitaría una cuadrícula fina? 4 pasos
La cuadrícula de 20 × 20 necesita 485 barridos de Jacobi desde cero antes de que el centro de la placa se mantenga a menos de 0,1 °C de 25. ¿Cuántos necesitaría una cuadrícula de 1 000 × 1 000? Pulsa Superior caliente, P al centro: la página imprime el 485.

Abre este problema en la herramienta
1. Desde un estado inicial frío, el error que más perdura es el patrón más suave, sen πx sen πy, y cada barrido lo multiplica por cos(π/N). Con el borde superior a 100, el tamaño de ese patrón en el centro es de 400/π² en una cuadrícula fina, y se encuentra a un medio por ciento de este valor en N = 20:
  
  $\frac{4}{π ^{2}} \times 100 \times sin \frac{π}{2} sin \frac{π}{2} = \frac{400}{π ^{2}} = 40.53$
2. Tiene que reducirse a 0,1 °C, por lo que el número de barridos s resuelve 40,53 cos(π/N)^s = 0,1. En la cuadrícula de 20 × 20 esto da el recuento de la página:
  
  $s = \frac{ln ( 40 . 53/0 . 1 )}{- ln cos ( π /20 )} = \frac{6 . 0046}{0 . 012388} = 484.7 \Rightarrow 485$
3. En una cuadrícula de 1 000 × 1 000, cos(π/N) se acerca mucho más a 1:
  
  $- ln cos \frac{π}{1 , 000} = 4.935 \times 1 0^{- 6}, s = \frac{6 . 0046}{4 . 935 \times 1 0 ^{- 6}} = 1.22 \times 1 0^{6}$
4. Cada barrido actualiza 999² puntos interiores:
  
  $1.22 \times 1 0^{6} \times 99 9^{2} = 1.22 \times 1 0^{6} \times 998, 001 \approx 1.2 \times 1 0^{12}$
Respuesta

Cerca de 1,22 millones de barridos, unas 1,2 × 10¹² actualizaciones de un solo punto. Esto equivale a unas 2 500 veces los 485 de una cuadrícula 50 veces más fina, el cuadrado de la proporción, motivo por el cual las cuadrículas grandes no se resuelven únicamente con simples barridos de Jacobi.

$s \approx 1.22 \times 1 0^{6} sweeps \approx 2, 500 \times 485$

Ruta de aprendizaje

Las ecuaciones del calor, de onda y de Laplace

Referencias (2)

Fourier's first worked example of his method: the permanent temperatures of a rectangular plate of infinite length, its base held at the temperature of boiling water and its two sides at that of ice (Arts. 163–165), solved as a series whose terms are e^(−kx) cos ky with the coefficients found by expanding 1 in cosines (Arts. 171–190): J. Fourier, The Analytical Theory of Heat, translated with notes by A. Freeman, Cambridge University Press, 1878 (Théorie analytique de la chaleur, 1822), Chapter III, Arts. 163–165, pp. 131–133, and Art. 190, p. 154.
The random-number generator the walkers use, transcribed into the page from the authors' reference C and checked against it output for output: D. Blackman and S. Vigna, xoshiro128** 1.1, reference implementation in C (public domain), 2018, https://prng.di.unimi.it/xoshiro128starstar.c.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.