La ruina del jugador

Empiezas con un capital y apuestas hasta perderlo todo o alcanzar la meta que te has fijado. Primero te enfrentas a un rival rico; después pasas a la ruleta y ajustas la apuesta, desde una ficha hasta todo tu capital.

Ejemplo resuelto — La ruina del jugador

Ventaja por ficha apostada	0,00%
Probabilidad de llegar a 1010	0,9901%
Probabilidad de arruinarte	99,0099%
Número esperado de apuestas, E(T)	10.000,0
Total esperado apostado, E(S)	10.000,0
Pérdida esperada según el resultado	0,00
Pérdida esperada según lo apostado	0,00
La mitad ha terminado en la apuesta	220

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — La ruina del jugador

La ruina del jugador estudia a quien empieza con a fichas y apuesta en ensayos independientes, cada uno con probabilidad p de ganar, hasta quedarse sin nada o alcanzar una meta N. Si apuesta una ficha cada vez, la probabilidad de alcanzar N es (1 − r^a)/(1 − r^N), con r = q/p, o a/N cuando p = ½. El número esperado de apuestas es a/(q − p) − (N/(q − p))·P(llegar a N), o a(N − a) cuando p = ½. Sea cual sea la estrategia, la pérdida esperada es la ventaja de la banca, q − p, multiplicada por el total esperado apostado.

Qué significa cada símbolo

a: las fichas con las que empiezas
N: la meta; tu rival tiene N − a
p: la probabilidad de ganar una apuesta que paga a la par, con q = 1 − p
T: el número de apuestas que dura la partida
S: el total apostado durante la partida, contando una vez el importe de cada apuesta

Supone: Cada apuesta paga a la par y es independiente de la anterior. Si pierdes, incluido cuando sale cero, pierdes todo lo apostado. Solo puedes apostar fichas enteras y te plantas únicamente al llegar a 0 o a N.

Un juego equitativo puede arruinarte frente a un rival más rico 🖖

Pulsa 10 fichas contra 1.000. Cada lanzamiento es equitativo y nada en la página altera sus probabilidades. El resultado medio de todos los jugadores es exactamente cero. Por eso la línea discontinua se mantiene en 10 fichas mientras la multitud que queda por debajo acaba en el suelo. La equidad del juego se refiere a esa media. Tu probabilidad de llevarte las 1.000 fichas del rival es 10/1.010 = 0,9901 %; el 99,0099 % que se arruina paga las ganancias de los pocos que vencen. Un jugador de cada 101 vuelve con 1.010 fichas: eso basta para mantener la media en 10. La duración es tan desigual como el reparto del dinero. La mitad de los jugadores ha terminado al llegar al lanzamiento 220, pero la partida dura una media de 10 × 1.000 = 10.000 lanzamientos. La elevan las escasas trayectorias que se alejan mucho del punto de partida. Ninguna estrategia cambia ese 0,9901 %: en un juego equitativo, la probabilidad de alcanzar N es siempre a/N, como muestra la columna de la derecha de la tabla. El juego audaz cambia la duración de la partida y el total apostado, pero conserva la probabilidad de éxito y el resultado medio. Frente a un rival con capital ilimitado, la ruina es segura. Grinstead y Snell obtienen este resultado haciendo crecer N en 1 − a/N. Además, la probabilidad de llegar a N desde x fichas es la media aritmética de las probabilidades desde x − 1 y x + 1. Esa misma regla determina la temperatura de una placa en la <a href="/math/laplace-equation">ecuación de Laplace</a>.

La ventaja de la banca se aplica a cada ficha que apuestas 🖖

Pulsa Dobla 100, ficha a ficha. En la ruleta europea, el rojo paga a la par y sale 18 veces de cada 37. Cada ficha apostada supone, por tanto, una pérdida media de 1/37 = 2,70 %. Es natural interpretarlo como «una partida me cuesta alrededor del 2,7 % de lo que traigo». La línea discontinua más tenue señala el capital que te quedaría con ese cálculo: 97,30 fichas. Sin embargo, la media de todos los jugadores termina por debajo de una ficha. Si apuestas de ficha en ficha con la meta en 200, la partida dura una media de 3.666,9 apuestas. Cada apuesta pone en juego una ficha, y 1/37 de 3.666,9 es 99,11. Esa es la pérdida esperada. Coincide exactamente con el cálculo a partir del resultado final, 100 − 200 × P(llegar a 200); la tabla de resultados muestra ambas vías. Ahora pulsa Dobla 100 en un giro. Apuestas 100 una sola vez, la banca se queda con una media de 2,70 y la probabilidad de duplicar el capital es 18/37 = 48,6486 %. Apostando de ficha en ficha era del 0,4466 %. Cuando todas las apuestas te son desfavorables, ninguna estrategia alcanza la meta con más frecuencia que el juego audaz: apostar todo lo que tienes o justo lo que te falta. Kyle Siegrist lo demuestra en su manual de acceso libre Random, en un capítulo basado en How to Gamble If You Must, el libro de Lester Dubins y Leonard Savage publicado en 1965. Con el juego audaz, la partida se reduce a un giro en lugar de 3.666,9 apuestas.

De ficha en ficha, cuanto más capital tienes, menos probable es duplicarlo 🖖

Pulsa Dobla 10, ficha a ficha: 36,8031 %. Después recorre la tabla. Con 50 fichas, la probabilidad de duplicar el capital es del 6,2775 %; con 100, del 0,4466 %; con 1.000, del 3,30×10⁻²² %. El juego audaz se mantiene en el 48,6486 % para cualquier capital inicial. Más fichas te permiten seguir jugando durante más tiempo. Ahí está la dificultad: la ventaja de la banca se aplica a cada apuesta de esa partida más larga. Cuando la meta es duplicar el capital, la fórmula se simplifica mucho: la razón entre la probabilidad de ruina y la de éxito es (19/18)^a a 1. Por tanto, cada ficha adicional con la que empiezas, si aspiras a duplicar el capital, multiplica esa razón por 19/18. Con 100 fichas es de 222,9 a 1. Abraham de Moivre obtuvo la fórmula general en 1711 mediante un artificio que recogen Grinstead y Snell: asignar a cada ficha un valor nominal que crece por un factor q/p. Medido con esos valores, el juego desfavorable se vuelve equitativo. Pulsa El segundo cero para ver cuánto influyen las probabilidades. La casilla adicional de la ruleta americana casi duplica la ventaja de la banca, del 2,70 % al 5,26 %. Duplicar 100 fichas apostando de una en una se vuelve unas 168 veces menos probable: el 0,002656 % frente al 0,4466 %. Con el juego audaz, la probabilidad solo baja del 48,6486 % al 47,3684 %. El siguiente paso, el sistema de apuestas de martingala, busca precisamente escapar de esta dificultad: empezar con una apuesta pequeña y duplicarla después de cada pérdida.

Problema resuelto al detalle

Una entre un millón 4 pasos
Si apuestas al rojo de ficha en ficha, ¿con cuántas fichas debes empezar para que la probabilidad de duplicarlas sea de una entre un millón? Pulsa primero Dobla 100, ficha a ficha: la página muestra la probabilidad para 100 fichas.

Abre este problema en la herramienta
1. Para 100 fichas en una ruleta europea, la página da:
  
  $P = \frac{1 - r ^{100}}{1 - r ^{200}} = 0.004466, r = \frac{q}{p} = \frac{19}{18}$
2. Si la meta es duplicar el capital inicial, N = 2a, la fracción se simplifica porque 1 − r^2a = (1 − r^a)(1 + r^a). Para 100 fichas, r¹⁰⁰ = 222,90:
  
  $\frac{1 - r ^{a}}{1 - r ^{2 a}} = \frac{1}{1 + r ^{a}} : \frac{1}{1 + 222 . 90} = 0.004466$
3. Iguala la probabilidad a una entre un millón y despeja a:
  
  $\frac{1}{1 + r ^{a}} = 1 0^{- 6} \Rightarrow a = \frac{ln 999 , 999}{ln ( 19/18 )} = \frac{13 . 8155}{0 . 054067} = 255.52$
4. Como las fichas son enteras, comprueba los dos enteros entre los que queda el resultado:
  
  $a = 255 : 1.03 \times 1 0^{- 6}, a = 256 : 9.75 \times 1 0^{- 7}$
Respuesta

256 fichas en una ruleta europea. Con 255, la probabilidad es de 1,03 entre un millón; con 256, de 0,975 entre un millón. En una ruleta americana, r = 20/18 y el mismo cálculo da 131,1, así que necesitas 132 fichas. Con el juego audaz, la probabilidad de duplicar el capital es del 48,65 % en una ruleta europea y del 47,37 % en una americana, para cualquiera de estos capitales iniciales. Introduce 256 como capital inicial y 512 como meta en la página y ajusta la apuesta para comparar las dos estrategias.

$a = 256 (r = \frac{19}{18}), a = 132 (r = \frac{20}{18})$

Ruta de aprendizaje

Juegos justos que te arruinan

Referencias (3)

The gambler's ruin problem and its formula for the chance of ruin, the limit against an "infinitely rich" adversary (ruin with probability tending to 1 in a fair game, which the first insight quotes), and de Moivre's 1711 derivation by giving the counters nominal values (q/p)^k so that the unfair game becomes fair, which the third insight retells: C. M. Grinstead and J. L. Snell, Introduction to Probability, 2nd edition, American Mathematical Society; the CHANCE Project version dated 4 July 2006, freely redistributable under the GNU Free Documentation License. Section 12.2, Gambler's Ruin, pp. 486–490.
Timid play (a constant bet until ruin or the target) with its probability of winning f(x) = ((q/p)^x − 1)/((q/p)^a − 1), or x/a when p = 1/2, and its expected number of games g(x) = x/(q − p) − (a/(q − p)) f(x), or x(a − x); that larger constant bets help in an unfair game and make no difference in a fair one; bold play's functional equation F(x) = pF(2x) or p + qF(2x − 1), its binary-digit sum, the table F(k/8) and G(k/8), and that for p = 1/2 bold play reaches the target with probability x/a, as timid play does. The page's formulas are these, and check:compute holds its bold-play solver to the binary-digit sum and to the table: K. Siegrist, Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes (randomservices.org). Chapter 12, Games of Chance: §9 Red and Black, §10 Timid Play, §11 Bold Play.
Bold play is optimal when the trials are unfair (p ≤ 1/2), proved through the sufficient condition pV(x + y) + qV(x − y) ≤ V(x); bold play is not the only optimal strategy; and the chapter's own statement that its exposition 'is based primarily on' Dubins and Savage. The second insight cites both through this page, and check:compute applies the same condition to every whole-chip bet in the page's table: K. Siegrist, Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes (randomservices.org). Chapter 12, Games of Chance, §12 Optimal Strategies; the chapter is based on L. E. Dubins and L. J. Savage, Inequalities for Stochastic Processes (How to Gamble If You Must), 1965.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.