La paradoja de San Petersburgo

Se lanza una moneda equilibrada hasta que sale cara. Si la primera cara aparece en el lanzamiento k, el premio es de 2^k−1 ducados. El valor esperado es infinito. Observa cómo doscientos jugadores intentan alcanzarlo; después, limita lo que puede pagar la banca y comprueba cuánto vale el juego.

Ejemplo resuelto — La paradoja de San Petersburgo

Valor ante una banca de 16.777.216	13,00
Precio de Bernoulli con un patrimonio de 1000	5,97
Valor para el jugador si juega gratis	5,97
Valor ante una banca con 1000	5,98

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — La paradoja de San Petersburgo

En el juego de San Petersburgo se lanza una moneda equilibrada hasta que sale cara por primera vez. Si ocurre en el lanzamiento k, el jugador gana 2^k−1 ducados. El lanzamiento k aporta 2^−k · 2^k−1 = ½ al valor esperado, por lo que este es infinito. Una banca que puede pagar como máximo B ducados paga min(2^k−1, B). El juego vale entonces V(B) = (m + 1)/2 + B/2^m+1, con m = ⌊log₂ B⌋. Cuando B = 2^m, este valor es 1 + m/2. Con la utilidad logarítmica de Bernoulli, un jugador con un patrimonio W paga como máximo el x que satisface Σ 2^−k ln(W − x + 2^k−1) = ln W.

Qué significa cada símbolo

B: máximo que puede pagar la banca, en ducados
V(B): valor esperado del juego ante esa banca
W: patrimonio del jugador antes de jugar, en ducados
x: máximo que paga por jugar alguien con un patrimonio W, según la utilidad logarítmica

Con la banca de Cramer, el infinito vale 13 ducados 🖖

Pulsa Banca de Cramer. Cada lanzamiento aporta el mismo medio ducado al valor esperado: que la primera cara aparezca en el lanzamiento k da un premio de 2^k−1 con una probabilidad de 2^−k. Una suma interminable de mitades es infinita; así lo indica la línea discontinua que recorre la parte superior del gráfico inferior. Ninguna banca puede cubrir todos los premios posibles. Aquí el capital de tu oponente es finito, como en la <a href="/stat/gamblers-ruin">ruina del jugador</a>. En una carta de 1728 que cita Daniel Bernoulli, Gabriel Cramer propuso limitar el premio a 2²⁴ = 16.777.216 ducados. Los primeros 25 lanzamientos aportan medio ducado cada uno; las partidas más largas pagan el máximo y, en conjunto, aportan otro medio ducado. El juego vale 13 ducados. Con una banca de 2^m, su valor es 1 + m/2: cada vez que se duplica el capital de la banca, el valor aumenta en medio ducado. Multiplicar ese capital por 1.000 añade unos 5. Nicolaus Bernoulli, que planteó el problema en 1713, le dijo a Daniel que cualquier persona medianamente razonable vendería encantada su derecho a jugar por 20 ducados. Para que el juego valga 20, la banca debe tener 2³⁸ = 274.877.906.944 ducados. Con 1.000.000.000.000, el valor llega a 20,91.

La media de muchas partidas nunca se estabiliza 🖖

Pulsa Sin límite · 65.536. Cada línea fina muestra la media acumulada de un jugador. Cuando el valor esperado es finito, la ley de los grandes números hace que estas líneas se acerquen a él. Aquí es infinito. La media de n partidas tiende a infinito con probabilidad 1, pero lo hace despacio: la mediana del grupo sube un poco por encima de la curva de puntos. Esa curva representa el valor del juego ante una banca con tantos ducados como partidas jugadas. Gana medio ducado cada vez que se duplica el número de partidas y llega a 9 tras 65.536; la mediana de esta simulación termina en 9,29. El ascenso se debe a partidas largas y poco frecuentes. Entre n partidas, la probabilidad de que alguna pague n o más es del 63,2 % cuando se juegan 1.024, y sigue siendo del 63,2 % con 65.536. Esa probabilidad tiende a 1 − 1/e. Por muchas partidas que lleves jugadas, una sola puede seguir aportando un ducado o más a la media. En el sistema de martingala ocurre lo contrario: casi todas las sesiones dejan una unidad de ganancia, y las pocas en las que se pierde todo determinan la media. Pulsa Banca de 1.024: con una banca finita, la media es de 6 ducados y las líneas del grupo se acercan a ella. La desviación típica exacta de la media de un jugador baja a 0,15.

Con un patrimonio W, el jugador valora el juego como si la banca tuviera W 🖖

Pulsa Bernoulli: 1.000 ducados. En 1738, Daniel Bernoulli propuso que la importancia de una ganancia es inversamente proporcional al patrimonio que ya se tiene. Esto lleva a valorar el patrimonio mediante su logaritmo. Un jugador con un patrimonio W debería pagar como máximo el precio x que mantiene el valor esperado del logaritmo de su patrimonio igual al que tenía antes de jugar. Con 1.000 ducados, paga 5,97. Ante una banca con exactamente 1.000 ducados, el juego vale 5,98. Pulsa Un millonario: 10,94 frente a 10,95. Desde 1.000 ducados hasta 10¹⁵, ambos valores nunca difieren en más de 0,03. La explicación está en el logaritmo. Mientras la ganancia g sea pequeña en comparación con W, ln(1 + g/W) se aproxima a g/W y la ganancia cuenta por su valor íntegro. Cuando g supera W, el logaritmo crece tan despacio que las partidas largas apenas aportan nada. El límite lo impone el propio patrimonio del jugador. Por debajo de 1.000, los valores se separan: un jugador con 10 paga 2,88 por un juego que vale 2,63 ante una banca de 10. Para quien recibe el derecho a jugar gratis, Bernoulli estimó un valor de unos 3 ducados si su patrimonio era de 10, unos 4 si era de 100 y 6 si era de 1.000. Para quien no tenía nada, el valor era exactamente 2.

Problema resuelto al detalle

La otra solución de Cramer: una raíz cuadrada en lugar de un límite 4 pasos
En la misma carta de 1728, Cramer ensayó otra idea: permitir cualquier premio y valorar el dinero mediante su raíz cuadrada. Así, 40 millones dan el doble de satisfacción que 10 millones. ¿Cuánto vale entonces el juego para él, en ducados? Pulsa primero Banca de Cramer: la página muestra el valor de su primera solución.

Abre este problema en la herramienta
1. Valor de su primera solución, con los premios limitados, según la página:
  
  $V (2^{24}) = 1 + \frac{24}{2} = 13$
2. Valora cada premio mediante su raíz cuadrada. El término k es 2^−k√(2^k−1); la serie es geométrica, de razón 1/√2, y converge sin limitar los premios:
  
  $k \geq 1 \sum 2^{- k} 2^{k - 1} = \frac{1}{2} j \geq 0 \sum (\frac{1}{2})^{j} = \frac{1}{2 - 2} = 1.7071$
3. El equivalente en ducados es la cantidad cuya raíz cuadrada coincide con esa satisfacción esperada:
  
  $(\frac{1}{2 - 2})^{2} = \frac{1}{6 - 4 2} = 2.914$
4. Como comparación, el logaritmo de Bernoulli para alguien que no tiene nada y recibe el derecho a jugar gratis:
  
  $k \geq 1 \prod (2^{k - 1})^{2^{- k}} = 2^{\sum_{k} (k - 1) 2^{- k}} = 2^{1} = 2$
Respuesta

2,91 ducados: 1/(6 − 4√2), sin límite en la banca. Cramer lo describió como «menos de 3, una cantidad verdaderamente insignificante, aunque, a mi juicio, más cercana que 13 a la valoración común». La raíz cuadrada hace que las aportaciones de las partidas largas disminuyan en progresión geométrica, un efecto que el límite imponía por la fuerza. El logaritmo de Bernoulli da 2 para quien no tiene nada.

$\frac{1}{6 - 4 2} = 2.91 < 3 < 13$

Ruta de aprendizaje

Juegos justos que te arruinan

Referencias (2)

Daniel Bernoulli's paper of 1738, in Louise Sommer's translation: the game in the page's form (one ducat on the first toss, doubling), Nicolaus Bernoulli's remark that a reasonable man would sell his chance for twenty ducats, the logarithmic valuation with the man worth 10, 100 and 1,000 ducats (about 3, 4 and 6) and nothing (two ducats precisely), the equation for the purchase price, and Gabriel Cramer's letter of 1728 with the cap at 2²⁴ ducats (13) and the square root (less than 3), which the first insight and the worked problem use: D. Bernoulli, Exposition of a new theory on the measurement of risk, translated by L. Sommer. Econometrica 22(1), 23–36 (1954). Originally Specimen theoriae novae de mensura sortis, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 5, 175–192 (1738). doi:10.2307/1909829
The history in one place: Nicolaus Bernoulli's letter to Montmort of 9 September 1713 (a die, not a coin, and a progression 1, 2, 4, 8, 16), Cramer's simpler coin version and his bounded valuation in 1728, Daniel Bernoulli's logarithm in 1738, and the objection that no bank has an indefinitely large reserve: M. Peterson, The St. Petersburg Paradox. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2023 edition), E. N. Zalta and U. Nodelman (eds.). First published 30 July 2019; substantive revision 1 August 2023.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.