Reordenación de Riemann

En el orden habitual, 1 − ½ + ⅓ − ¼ + … suma ln 2. Elige un objetivo o un patrón de términos positivos y negativos. Verás cómo los mismos términos avanzan hacia otra suma, término a término.

Ejemplo resuelto — Reordenación de Riemann

Términos positivos usados, P	99.259
Términos negativos usados, Q	741
Total tras 100.000 términos	3,1415535
Términos positivos por cada negativo	133,95
La proporción que pide el objetivo	133,87
Orden habitual, tras 100.000 términos	0,6931422

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — Reordenación de Riemann

Una serie converge condicionalmente cuando lo hace, pero los valores absolutos de sus términos suman infinito. Riemann demostró que los términos de una serie así se pueden reordenar para sumar absolutamente cualquier número. En cambio, una serie que sigue convergiendo si haces positivos todos sus signos tendrá la misma suma en cualquier orden.

Qué significa cada símbolo

P, Q: cuántos términos positivos y cuántos negativos se han usado, tomando cada mitad en su propio orden
C: el objetivo al que apunta la receta de Riemann
r: la proporción P/Q a largo plazo; el total se dirige a ln 2 + ½ ln r

De dónde viene la fórmula

Por qué la receta siempre llega. Toma términos positivos mientras el total sea igual o menor a C, y negativos mientras esté por encima. Cada mitad de 1 − ½ + ⅓ − … por sí sola suma más que cualquier número. Por lo tanto, no importa lo lejos que haya llegado el total: siempre volverá a cruzar C. Justo después de un cruce, la distancia a C nunca es mayor que la del término que lo hizo pasar. Los términos siguientes solo lo acercan de nuevo a C hasta el próximo cruce. Como los términos tienden a 0, la distancia también lo hace.
Por qué los cuadrados no se pueden dirigir. Cuando los valores absolutos de los términos suman un número finito, entonces para cualquier ε, por muy pequeño que sea, los tamaños más allá de un punto M suman menos que ε. Una reordenación que ya ha usado todos los primeros M términos se diferencia de la suma parcial M-ésima habitual solo en los términos más allá de M. Es decir, se diferencia en menos de ε, por lo que ambos órdenes tienen el mismo límite. La receta falla por el lado opuesto: necesita un suministro infinito de términos de cada signo, y aquí cada suministro es finito.

Si reordenas 1 − ½ + ⅓ − … sumará π 🖖

Pulsa Apuntar a π. La página toma términos positivos 1, ⅓, ⅕, … mientras el total acumulado sea igual o menor a π, y términos negativos ½, ¼, ⅙, … mientras esté por encima. Toma cada mitad en su propio orden, así que no usa ningún término dos veces. Tras 100 000 términos el total es 3,1415535, a partir de 99 259 términos positivos frente a 741 negativos. La línea gris representa el orden habitual, que sigue en 0,6931422 y va hacia ln 2. La receta es de Riemann, de un ensayo sobre series trigonométricas que presentó en Göttingen en 1854 para habilitarse como profesor. Los términos positivos por sí solos suman más que cualquier número que puedas imaginar, y lo mismo ocurre con los negativos. Por eso el total siempre vuelve a cruzar el objetivo. Una vez que lo cruza, nunca se aleja más del tamaño del término que lo hizo pasar, y los términos se reducen a cero.

La suma depende de una proporción: términos positivos usados por cada negativo 🖖

Toma cada mitad en su propio orden. Gasta términos positivos y negativos en la proporción a largo plazo r, y el total se dirigirá a ln 2 + ½ ln r. Pulsa Uno arriba, dos abajo: son los mismos términos que antes, y el total se acerca a 0,3465736, exactamente la mitad de ln 2. Nueve arriba y cuatro abajo da ln 2 + ½ ln(9/4), que equivale a ln 3. Leída al revés, la fórmula le pone precio a un objetivo. Alcanzar π cuesta e^{2(π − ln 2)} = 133,87 términos positivos por cada negativo. La proporción en esta ejecución, de 99 259 frente a 741, es de 133,95. Pulsa Apuntar a 0: la receta no sabe nada de patrones. A lo largo de los 100 000 términos toma un positivo y luego cuatro negativos, término a término: ln 2 + ½ ln ¼ = 0. El panel inferior muestra cómo la cuota de términos positivos se estabiliza donde marca el objetivo.

Eleva los términos al cuadrado y ningún orden podrá mover la suma 🖖

Cambia a 1 − ¼ + 1/9 − 1/16 + …. Sus términos positivos suman solo π²/8 = 1,2337006 y los negativos π²/24, así que cualquier orden que use todos los términos termina en π²/12 = 0,8224670. Prueba cualquier patrón. Ahora la receta de Riemann se atasca. Pulsa Cuadrados, apuntar a 1,5: los 100 000 términos son positivos y el total se frena en 1,2336981. Si apuntas a 0,8, los primeros 1 000 términos parecen un éxito con 0,8000080. Sin embargo, al llegar a 100 000, el total se queda clavado en 0,8016482, porque los términos negativos que faltan por usar suman menos que los 0,0016482 que le sobran. Riemann trazó la línea divisoria exactamente aquí y le dio el crédito a Dirichlet: una serie que sigue convergiendo cuando todos los signos se hacen positivos permite mover sus términos a cualquier lugar. Solo el otro tipo depende del orden.

Problema resuelto al detalle

¿Qué patrón suma ln 3 y cuál suma 1,5? 4 pasos
Reordena 1 − ½ + ⅓ − … en un patrón repetitivo de p términos positivos y q negativos que sume ln 3. Después encuentra uno que sume 1,5.

Abre este problema en la herramienta
1. Después de P términos positivos y Q negativos, cada mitad en su orden, el total es una suma de recíprocos impares menos la mitad de una suma armónica. Ambas son, de forma encubierta, sumas armónicas H_n = 1 + ½ + … + 1/n:
  
  $S = (1 + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2 P - 1}) - \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{Q}) = H_{2 P} - \frac{1}{2} H_{P} - \frac{1}{2} H_{Q}$
2. H_n es ln n + γ más un resto que tiende a 0, y las tres γ se anulan:
  
  $H_{n} = ln n + γ + o (1) \Rightarrow S = ln 2 P - \frac{1}{2} ln P - \frac{1}{2} ln Q + o (1) \to ln 2 + \frac{1}{2} ln \frac{P}{Q}$
3. Para ln 3, la proporción r = p/q debe cumplir ½ ln r = ln 3 − ln 2:
  
  $ln 2 + \frac{1}{2} ln r = ln 3 \Rightarrow r = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4} \Rightarrow ln 2 + \frac{1}{2} ln \frac{9}{4} = 1.0986123$
4. Para 1,5 la misma ecuación pide una proporción que ningún patrón puede dar:
  
  $ln 2 + \frac{1}{2} ln r = 1.5 \Rightarrow r = \frac{e ^{3}}{4} = 5.0214 (irrational), 5 : 1 \to 1.4978661$
Respuesta

Nueve términos positivos y luego cuatro negativos suman ln 3. La página muestra 1,0986331 después de 100 000 términos, y se acerca a 1,0986123. Ningún patrón repetitivo suma 1,5. La proporción que necesita es e³/4 = 5,0214, y e³ es irracional porque e es trascendente. Como resultado, cualquier patrón de números enteros falla; 5 : 1 se dirige a 1,4978661. La receta de Riemann llega a la meta de todos modos, porque su proporción es libre de variar. Al apuntar a 1,5 gasta 83 393 términos positivos y 16 607 negativos (5,0216 por cada negativo), y alcanza 1,5000022.

$9 : 4 \to ln 3; 1.5 : no pattern, but greedy \frac{83 , 393}{16 , 607} = 5.0216 \to 1.5000022$

Ruta de aprendizaje

Series infinitas y convergencia

Referencias (2)

Riemann's own statement of the recipe the page runs, take positive terms until the total exceeds C and negative ones until it falls below, with the bound that the total never strays further than the term before the last change of sign; and the division, which he credits to Dirichlet, between series whose terms can be moved freely and series whose value depends on the order: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe", Habilitationsschrift, Göttingen 1854; published by R. Dedekind in Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13 (1867), §3. Transcribed by D. R. Wilkins, Trinity College Dublin.
The rearrangement one positive term then two negative ones, (1 − ½ − ¼) + (⅓ − ⅙ − ⅛) + …, summed to ½ ln 2: E. W. Weisstein, "Riemann Series Theorem", MathWorld, Wolfram Research.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.