Herramienta de sumatoria sigma

Elige una expresión, define los límites y observa cómo evoluciona el total acumulado término a término.

Ejemplo resuelto — Herramienta de sumatoria sigma

Suma finita	55
Número de términos	10

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Herramienta de sumatoria sigma

La notación sigma es una instrucción compacta para sumar. ∑ indica: toma la expresión situada a su derecha, haz que el índice recorra todos los números enteros desde el límite inferior hasta el límite superior —ambos extremos incluidos— y suma los resultados.

Las cuatro partes de una expresión con sigma: el signo de sumatorio, con el límite superior escrito encima y el índice con el límite inferior debajo, seguido del término que se va a sumar.

El signo de sumatorio. No tiene ningún valor por sí mismo: indica que hay que sumar.
El límite superior n, encima de la sigma: el último valor que toma el índice, incluido.
El índice y su límite inferior, k = m, debajo de la sigma: donde comienza el recuento, también incluido.
El término f(k), a la derecha: se evalúa una vez para cada valor del índice y los resultados obtenidos son los que se suman.

Qué significa cada símbolo

k: el índice —un contador que toma cada valor entero de forma consecutiva. Matemáticamente, su nombre es interno a la suma, por lo que i o j significarían exactamente lo mismo; aquí siempre es k, y la columna de la tabla de arriba se titula Index (k).
m: el límite inferior, escrito debajo de la sigma como k = m. Es el primer valor del índice y está incluido —es el campo desde de arriba.
n: el límite superior, escrito encima de la sigma. Es el último valor que toma el índice, también incluido, por lo que ir de 1 a 10 da diez términos en lugar de nueve. Es el campo hasta de arriba.
f(k): el término —la expresión evaluada una vez para cada valor del índice. Aquí se elige entre cinco opciones: k, k^2, 2k+1, 1/k y (-1)^k.

De dónde viene la fórmula

Como ambos límites están incluidos, el número de términos no es n − m. Desarrolla los valores del índice: m, m + 1, y así sucesivamente hasta n.
Resta m a cada elemento para que la lista empiece en cero: 0, 1, … , n − m. Reetiquetar cambia el nombre de los elementos, no cuántos hay.
Una lista que va de 0 a n − m contiene n − m + 1 elementos. Así, de 1 a 10 hay diez términos y de 0 a 12 hay trece, que es lo que indica el recuento de términos arriba en cada caso.

Supone: Valores enteros para el índice, de uno en uno y en cantidad finita: ambos límites se redondean a enteros y se restringen al intervalo de −30 a 30 para evitar que la página se bloquee. El término se elige entre cinco opciones predeterminadas en lugar de escribirse, lo que convierte a este recurso en una demostración de la notación más que en una calculadora de sumatorios de uso general.
Falla cuando: Si eliges 1/k y haces que el índice comience en 0, el primer término queda indefinido. No se omite en silencio —el cálculo se detiene ahí: el resultado indica undefined, el recuento de términos se reduce a 1 y la tabla de desglose finaliza en esa única fila. El desarrollo escrito sigue mostrando undef + 1/1 + 1/2 + ⋯, lo cual refleja la realidad: un solo término indefinido hace que toda la suma quede indefinida, sin importar cuántos términos bien definidos le sigan.

Cada total acumulado de la preselección de números impares es un cuadrado perfecto 🖖

Carga la preselección 2k+1 y lee la columna acumulada hacia abajo: 1, 4, 9, 16, 25 — nunca deja de ser un cuadrado, y termina en 169, que es 13². No es una casualidad de estos límites. Sumar los primeros n números impares da exactamente n², así que el total acumulado que la herramienta muestra tras cada paso es el número de términos hasta ahí, al cuadrado. Las sumas parciales están haciendo geometría: cada impar es la franja en forma de L que convierte un cuadrado en el siguiente.

Una forma abreviada de sumar 🖖

La gran Σ es simplemente una instrucción: suma cada término mientras el índice sube desde el límite inferior hasta el superior. Esta herramienta hace la suma por ti y, algo igual de útil, muestra el total acumulado tras cada paso: las sumas parciales. El resultado final no es más que la última suma parcial de esa trayectoria.

Cuando no sumar nada da cero 🖖

Una suma vacía —aquella que no tiene ningún término porque el límite superior es menor que el inferior— no está indefinida. Por convenio es igual a 0: el cero es el elemento neutro de la suma, por lo que un total vacío no altera aquello a lo que se añade. Su equivalente multiplicativo es igual de sorprendente: un producto vacío es igual a 1. Sin embargo, aquí no es posible obtener una suma vacía, y conviene saber por qué: si fijas un límite superior menor que el inferior, ambos se intercambian automáticamente, de modo que k = 5 bajando hasta 2 pasa a ser k = 2 subiendo hasta 5 y devuelve 14.

Euler lo escribió y tú ya haces clic en él 🖖

El símbolo se debe a Euler. En Institutiones calculi differentialis (1755) estableció que una suma se denotaría con el signo Σ —la letra griega sigma mayúscula, inicial de summa— y la propuesta perduró, algo poco habitual en la notación matemática, ya que la mayoría de las sugerencias de esa época terminaron siendo reemplazadas. Hace tiempo que este símbolo trascendió las matemáticas. El botón de Autosuma de las principales hojas de cálculo es esa misma Σ, por lo que personas que jamás se considerarían matemáticas recurren a la notación de Euler la mayoría de sus días de trabajo. Una advertencia, porque ambos parecen relacionados pero no lo están: la Σ mayúscula es una instrucción, suma esto, mientras que la σ minúscula representa la desviación típica de una distribución. “Six Sigma” utiliza la minúscula.

Práctica

Compruébalo tú mismo

Predice la respuesta primero y luego usa los controles de arriba para comprobarlo. Revela la solución solo cuando te hayas comprometido con una hipótesis: eso es lo que lo convierte en práctica.

El preajuste números impares suma 2k+1 desde k = 0 hasta 12 e informa de 169 sobre 13 términos. Los demás preajustes imprimen una forma cerrada bajo su total; este no imprime ninguna. Encuentra tú el patrón — pon el límite superior en 4, luego 9, luego 19.

Mostrar la respuesta

25, 100 y 400, sobre 5, 10 y 20 términos. La suma de los primeros n números impares es exactamente n², siempre, y 169 es 13². Imagina un cuadrado construido en capas en forma de L: un punto, luego una L de tres puntos alrededor, luego una L de cinco puntos alrededor — tras n capas tienes un cuadrado n × n, y cada capa añadida era el siguiente número impar. La herramienta conoce las formas cerradas de k y k² y las muestra; esta no la reconoce, así que solo obtienes el total.
El preajuste armónico suma 1/k desde 1 hasta 8 y obtiene 2.717857, con una nota que dice que las sumas parciales no se asientan en ningún límite finito. Adivina hasta dónde debe llegar el límite superior para que la suma pase de 5 — y luego compruébalo.

Mostrar la respuesta

83. El término 82 la deja en 4.990020 y el término 83 la empuja a 5.002068. Llegar a 6 exige 227 términos, y 226 se queda en 5.999961 — cuatro millonésimas de menos. Fíjate en que 227 ÷ 83 = 2.73, casi exactamente e: las sumas parciales siguen a ln n, así que cada paso adicional de +1 cuesta unas e ≈ 2.718 veces más términos que todo lo anterior junto. Superar 10 exige 12367 términos; la herramienta lo hará si se lo pides. Así se ve «no se asienta» desde dentro — nunca deja de subir, pero se frena geométricamente, y por eso ocho términos solo te llevaron a 2.7.

Problema resuelto al detalle

La suma de cuadrados que el emparejamiento de 1 a 10 no puede alcanzar 6 pasos
Sume de 1 a 10 emparejando términos en lugar de sumar uno a uno, y utilice después el mismo truco para obtener la suma de los cuadrados, a la que el emparejamiento no puede llegar.
1. Escriba la suma completa. Diez términos son lo bastante pocos para sumar directamente, que es precisamente por lo que es la opción incorrecta.
  
  $S = k = 1 \sum 10 k = 1 + 2 + \dots + 10$
2. Sume la expresión a su propia versión invertida. Cada columna da el mismo total, y hay n de ellas, por lo que el doble de la suma forma un rectángulo.
  
  $2 S = (1 + 10) + (2 + 9) + \dots + (10 + 1) = 10 \times 11 ⟹ S = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$
3. El resultado general. Observe que el argumento duplica la suma en lugar de doblarla por la mitad, razón por la cual no requiere un caso independiente para n impar, a diferencia de la versión que empareja términos desde ambos extremos.
  
  $k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2} — the pairing needs no case split, because it doubles the sum rather than folding it$
4. Ahora los cuadrados. Parta de una diferencia de cubos consecutivos, que al desarrollarse contiene k².
  
  $(k + 1)^{3} - k^{3} = 3 k^{2} + 3 k + 1 ⟹ k = 1 \sum n [(k + 1)^{3} - k^{3}] = (n + 1)^{3} - 1$
5. Sume ambos lados. El lado izquierdo se reduce mediante suma telescópica a un solo término; el derecho contiene la suma que busca más la suma que ya tiene.
  
  $(n + 1)^{3} - 1 = 3 \sum k^{2} + 3 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} + n ⟹ k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = 385$
6. Una potencia más y el patrón se cierra sobre sí mismo.
  
  $k = 1 \sum n k^{3} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2} = 5 5^{2} = 3025$
Respuesta

55, luego 385, luego 3025, y el tercero es el cuadrado del primero. El argumento del emparejamiento es famoso y también un callejón sin salida: funciona porque los términos son lineales, y no hay forma de plegar cuadrados en parejas iguales. Lo que lo sustituye son las sumas telescópicas. Escriba una diferencia de cubos consecutivos, súmela y casi todo se cancela; la suma de los cuadrados surge del resultado. La misma máquina aplicada a una potencia superior ofrece la suma de cubos, que resulta ser 55²: la suma de los primeros n cubos es el cuadrado de la suma de los primeros n números, para todo n. Esta no es una coincidencia que pueda apreciarse a simple vista observando los números, y por eso vale la pena aprender a usar las sumas telescópicas, aunque el emparejamiento obtenga la primera respuesta más rápido.

$k = 1 \sum 10 k = 55, \sum k^{2} = 385, \sum k^{3} = 5 5^{2} = 3025$

Referencias (3)

Where the Σ sign comes from — Euler’s own text: L. Euler, Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum, vol. 1. Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae, 1755 (E212).
And the history of the notation itself: Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, Volume II. The Open Court Publishing Company, 1929.
The conventions this page relies on — inclusive limits, index changes, and why an empty sum is 0: R. L. Graham, D. E. Knuth & O. Patashnik, Concrete Mathematics, 2nd ed., chapter 2 (“Sums”). Addison-Wesley, 1994. ISBN 978-0-201-55802-9.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-05-21

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

números naturales - Suma clásica de los primeros diez números naturales.
cuadrados - Suma finita de cuadrados con términos que crecen rápidamente.
expresión lineal - Acumulación de términos lineales con patrón de números impares.
suma parcial armónica - La suma armónica parcial muestra un crecimiento logarítmico lento.