Fundamentos de Sucesiones y Series

Las sucesiones mapean números naturales a valores reales. Mientras que las series aritméticas exhiben divergencia lineal, las geométricas revelan límites de convergencia. Una razón menor que la unidad es el requisito para la sumabilidad infinita.

Ambos tipos de sucesión parten de un primer término, pero crecen con reglas distintas. Una sucesión aritmética suma la misma cantidad en cada paso (como ahorrar $50 cada mes), mientras que una geométrica multiplica por el mismo factor (como un saldo que gana un 5% de interés anual). La fórmula del término n-ésimo te da cualquier valor sin listarlos todos, y la suma parcial acumula los primeros n. Observa cómo un mismo valor inicial evoluciona de forma muy diferente según la regla.

Intenta construir una sucesión que sea a la vez aritmética y geométrica. Resulta que solo funciona una familia: una sucesión constante como 7, 7, 7, …, donde la diferencia es d = 0 y la razón es r = 1. Cualquier cambio real rompe una regla u otra, porque sumar de forma constante siempre se aleja de multiplicar de forma constante. Es un caso raro en el que dos leyes de crecimiento aparentemente independientes se ven obligadas a colapsar en un único valor inmóvil.