Fundamentos de Sucesiones y Series

Cambia el tipo de sucesión, ajusta los parámetros y observa cómo se acumulan los términos.

Ejemplo resuelto — Fundamentos de Sucesiones y Series

términos	3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Fundamentos de Sucesiones y Series

Una sucesión es la lista; una serie es lo que obtienes al sumar la lista. Esta página muestra ambas a la vez — a_n es el n-ésimo término de la lista, S_n es la suma acumulada de los primeros n de ellos — y confundir ambas es el error más común en este tema.

Qué significa cada símbolo

d: la diferencia común de una sucesión aritmética — lo que se suma en cada paso. Aquí es 2, lo que da 3, 5, 7, 9, …
r: la razón común de una sucesión geométrica — por lo que se multiplica. Cambia de modo y r = 1.5 da 3, 4,5, 6,75, …
Sₙ: la suma de los primeros n términos. Con los valores aritméticos por defecto, S₈ = 80 mientras que a₈ es solo 17.

De dónde viene la fórmula

Escribe la suma aritmética en orden directo y luego en orden inverso, una debajo de la otra: a₁ + (a₁+d) + ⋯ + a_n encima de a_n + (a_n−d) + ⋯ + a₁.
Suma las dos filas columna por columna. Cada columna da el mismo total, a₁ + a_n, porque cada paso hacia arriba en una fila se compensa con un paso hacia abajo en la otra — y hay n columnas.
Así que el doble de la suma es n(a₁ + a_n), lo que da S_n = (n/2)(a₁ + a_n). Con los valores por defecto, (8/2)(3 + 17) = 80 — la fórmula de la tabla anterior, y el truco que se dice que usó un joven Gauss con los números del 1 al 100.
Ahora cambia el selector de modo a geométrico: los términos pasan a ser 3, 4,5, 6,75, … y ambas fórmulas de la tabla cambian. Esta suma requiere un truco diferente, porque sus términos no se emparejan — cada uno es un múltiplo del anterior, no un paso fijo a partir de él. Escribe la suma y, debajo, escribe r veces esa misma suma: S_n = a₁ + a₁r + ⋯ + a₁rⁿ⁻¹ sobre r·S_n = a₁r + a₁r² + ⋯ + a₁rⁿ.
Resta la segunda línea de la primera. Todos los términos intermedios aparecen en ambas y se cancelan, dejando solo los extremos: S_n − r·S_n = a₁ − a₁rⁿ. Factoriza ambos lados y divide entre (1 − r): S_n = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) — la expresión que muestra la tabla en modo geométrico, dando 147.773438 para a₁ = 3, r = 1.5, n = 8.

Supone: Una diferencia constante o una razón constante, para siempre. Cualquier sucesión real que simplemente parezca aritmética durante unos pocos términos se apartará de estas fórmulas inmediatamente.
Falla cuando: La fórmula aritmética no presenta este tipo de fallo: S_n = (n/2)(a₁ + a_n) solo divide entre 2, y el 2 nunca es cero. La geométrica divide por (1 − r), que es exactamente por lo que induce a error. Cambia a modo geométrico y ajusta r = 1: la sucesión pasa a ser 3, 3, 3, … y la fórmula mostrada cambia a S_n = n·a₁, dando 8 × 3 = 24. Eso no es un parche, es el límite correcto — cuando nada crece, la suma es simplemente el término repetido.

Sumar para siempre puede caer aun así en un número entero 🖖

Suena contradictorio que sumar infinitos términos positivos pueda dar un total finito, pero una serie geométrica con |r| < 1 hace exactamente eso, y la suma es a/(1 − r). El ejemplo más familiar está a la vista: 0,999… es la serie 0,9 + 0,09 + 0,009 + …, así que a = 0,9 y r = 0,1, lo que da 0,9/(1 − 0,1) = 1. No acercándose a 1, no casi 1 — la suma es 1, y 0,999… es otra manera de escribir el número uno. El corredor de Zenón que recorre eternamente la mitad de la distancia restante es la misma serie con a = r = 1/2, cuyo total es exactamente 1: sí termina la carrera.

Sumar frente a multiplicar 🖖

Ambos tipos de sucesión parten de un primer término, pero crecen con reglas distintas. Una sucesión aritmética suma la misma cantidad en cada paso (como ahorrar $50 cada mes), mientras que una geométrica multiplica por el mismo factor (como un saldo que gana un 5% de interés anual). La fórmula del término n-ésimo te da cualquier valor sin listarlos todos, y la suma parcial acumula los primeros n. Observa cómo un mismo valor inicial evoluciona de forma muy diferente según la regla.

La única sucesión que es ambas 🖖

Intenta construir una sucesión que sea a la vez aritmética y geométrica. Resulta que solo funciona una familia: una sucesión constante como 7, 7, 7, …, donde la diferencia es d = 0 y la razón es r = 1. Cualquier cambio real rompe una regla u otra, porque sumar de forma constante siempre se aleja de multiplicar de forma constante. Es un caso raro en el que dos leyes de crecimiento aparentemente independientes se ven obligadas a colapsar en un único valor inmóvil.

Práctica

Compruébalo tú mismo

Predice la respuesta primero y luego usa los controles de arriba para comprobarlo. Revela la solución solo cuando te hayas comprometido con una hipótesis: eso es lo que lo convierte en práctica.

Pulsa decrecimiento geométrico, luego pon la razón en 0.99 y después en 1.01. Los ocho términos apenas se diferencian. ¿Cuál de las dos tiene una suma infinita finita — y puedes saberlo por los términos que ves en pantalla?

Configúralo:

Mostrar la respuesta

0.99 converge y 1.01 no, y ni los términos ni la suma de los ocho lo delatan: octavos términos de 18.641307 frente a 21.442707, sumas de 154.510611 frente a 165.713411. Solo cambia la fila de la suma infinita, de S∞ = 2000 a Diverge. La convergencia la decide la razón por sí sola, y ningún tramo finito de una sucesión puede revelarla.
Quédate en r = 0.99, donde la suma infinita es 2000 y ocho términos han alcanzado 154.510611. Adivina qué parte del camino es eso.

Configúralo:

Mostrar la respuesta

Alrededor del 7,7 % — menos de una treceava parte. Compáralo con r = 0.7, donde esos mismos ocho términos llegan a 62.823466 de una suma infinita de 66.666667, es decir el 94 %. Las dos series convergen. Una está prácticamente terminada tras ocho términos y la otra apenas ha empezado: la convergencia promete un destino y no dice absolutamente nada sobre la velocidad de llegada.
Pulsa crecimiento geométrico y sube n hasta 30. El trigésimo término, por sí solo, vale 255668.078977. Predice la suma de los treinta.

Configúralo:

Mostrar la respuesta

767000.236932 — casi exactamente el triple de ese único último término, de modo que los veintinueve términos de historia juntos valen solo el doble que el más reciente. Lee la suma al revés y verás por qué: con r = 1.5 cada término es dos tercios del siguiente, así que el conjunto es a₃₀·(1 + 2/3 + 4/9 + ⋯) = 3a₃₀, una serie geométrica por derecho propio.

Problemas resueltos al detalle

Los 8 términos que suman 80 sin sumar 8 números 5 pasos
Los 8 términos 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 suman 80. Obtenlos sin sumar 8 números y, a continuación, calcula qué le ocurre a la suma cuando la lista tiene el doble de longitud.
1. La fórmula del término cuenta pasos, no términos. Ir de a₁ a a₈ requiere 7 pasos de 2, no 8, y ese desfase de una unidad es la única parte incómoda de todo el tema.
  
  $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = 3 + 2 (n - 1) = 2 n + 1 ⟹ a_{8} = 17$
2. Empareja la lista de fuera hacia dentro. 3 y 17 hacen 20, al igual que 5 y 15, 7 y 13, 9 y 11. Tienen que hacerlo: desplazarse un lugar a la derecha suma 2 y desplazarse un lugar a la izquierda resta 2, por lo que cada pareja pierde exactamente lo que la otra gana.
  
  $3 + 17 = 20, 5 + 15 = 20, 7 + 13 = 20, 9 + 11 = 20$
3. 8 términos forman 4 parejas, y cada pareja vale 20. Nadie ha sumado 8 números.
  
  $S_{8} = 4 \times 20 = 80$
4. Nada en ese argumento utilizaba el 3 o el 2. Cualquier lista aritmética de n términos se divide en n/2 parejas, cada una con un valor de a₁ + a_n, y para esta lista el álgebra se reduce a n(n + 2).
  
  $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} (2 n + 4) = n (n + 2)$
5. Pon a prueba la forma cerrada donde sea relevante. Duplicar la lista a 16 términos da 16 × 18 = 288, que es 3,6 veces la suma de 8 términos en lugar del doble.
  
  $S_{16} = 16 \times 18 = 288 = 3.6 \times S_{8}$
Respuesta

El panel muestra a₈ = 17 y S₈ = 80, y las 4 parejas de 20 son la razón. Duplicar la longitud multiplica la suma por 4(n + 1)/(n + 2), que aquí es 3,6 y se acerca gradualmente a 4 a medida que la lista crece —una suma aritmética es cuadrática en el número de términos, porque una lista más larga es también una lista de términos más grandes. Aplica la forma cerrada más allá de cualquier elemento de la página y seguirá siendo exacta: n(n + 2) alcanza 9999 exactamente en n = 99, y supera 10000 por primera vez en n = 100. Esta página no aceptará más de 30 términos, donde la suma es solo 960, por lo que casi todo lo que hace esta sucesión ocurre más allá del último valor que acepta la entrada.

$\frac{S _{2 n}}{S _{n}} = \frac{4 ( n + 1 )}{n + 2} ⟶ 4, 99 \times 101 = 9999$
Dónde falló el emparejamiento de los extremos en una sucesión que da 86,588344 6 pasos
Emparejar los extremos funcionó en una lista aritmética. Pruébalo con 20, 14, 9,8, 6,86, 4,802, 3,3614, 2,35298, 1,647086 y da 86,588344 —más de lo que esta sucesión puede alcanzar si la dejas continuar indefinidamente. Halla la suma real y descubre dónde falló el emparejamiento.
1. Comprueba las parejas en lugar de darlas por sentadas. La pareja exterior suma 21,647086 y la siguiente hacia dentro 16,35298. Dar un paso hacia el interior multiplica un lado por 0,7 y divide el otro por 0,7, y un factor ganado no es un factor perdido —esa cancelación solo funciona al sumar y restar.
  
  $a_{1} + a_{8} = 20 + 1.647086 = 21.647086, a_{2} + a_{7} = 14 + 2.35298 = 16.35298$
2. Lo que sí funciona es un desplazamiento. Escribe la suma y, debajo, escribe 0,7 veces la suma, alineada una posición a la derecha. Cada término de la segunda fila ya se encuentra en la primera.
  
  $S_{8} = 20 + 14 + \dots + 20 \times 0. 7^{7}, 0.7 S_{8} = 14 + 9.8 + \dots + 20 \times 0. 7^{8}$
3. Resta las filas y todo lo que está en el medio se anula. Solo sobreviven los dos extremos que sobresalen: el 20 inicial de arriba y el 20 × 0,7⁸ final de abajo. Divide por 1 − r y obtendrás una forma cerrada para cualquier primer término y cualquier razón.
  
  $S_{8} - 0.7 S_{8} = 20 - 20 \times 0. 7^{8} ⟹ S_{n} = a_{1} \frac{1 - r ^{n}}{1 - r}$
4. Sustituye. 0,7⁸ = 0,05764801, de modo que el numerador es 20 × 0,94235199 y el divisor es 1 − 0,7 = 0,3.
  
  $S_{8} = 20 \times \frac{1 - 0.05764801}{0.3} = \frac{18.8470398}{0.3} = 62.823466$
5. Ahora deja que la lista continúe. Cada término adicional multiplica rⁿ por 0,7, de modo que tiende a 0 y el numerador se estabiliza en 1. La suma tiene un tope, que es lo único que una serie aritmética nunca puede tener.
  
  $r^{n} \to 0 ⟹ S_{\infty} = \frac{a _{1}}{1 - r} = \frac{20}{0.3} = 66.666667$
6. La diferencia entre la suma de 8 términos y ese tope es 3,843201, y es exactamente 66,666667 × 0,7⁸. Por lo tanto, la fracción del total que aún falta tras n términos es rⁿ —el mismo número que mide lo rápido que se reducen los términos mide también cuánto queda.
  
  $S_{\infty} - S_{8} = 3.843201 = 66.666667 \times 0. 7^{8}$
Respuesta

El panel muestra a₈ = 1,647086, S₈ = 62,823466 y un tope de S_∞ = 66,666667. El resultado sobre la fracción faltante es lo que hay que conservar, porque transforma «converge» de una promesa en una programación: 0,7ⁿ ≤ 0,01 requiere n ≥ 12,9114, por lo que 13 términos te sitúan a menos del 1% de todo lo que llegará a ser esta serie. Cambia la razón y la programación cambiará drásticamente mientras el tope se mantiene finito: con r = 0,9 ese mismo 1% cuesta 44 términos; con r = 0,99 cuesta 459. Y el 86,588344 producido por el emparejamiento era refutable antes de todo esto: una suma parcial de términos positivos no puede superar el total de todos ellos, por lo que un método que afirme lo contrario es erróneo a simple vista.

$0. 7^{n} \leq 0.01 ⟺ n \geq \frac{ln 0.01}{ln 0.7} = 12.9114 ⟹ n = 13$

Ruta de aprendizaje

El dinero en el tiempo

Lleva a Simple vs. compuesto la forma cerrada de una suma geométrica.

Referencias (1)

On the Gauss schoolroom story, which the derivation deliberately hedges: B. Hayes, "Gauss's Day of Reckoning." American Scientist 94(3), 200, 2006.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-05-21

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

crecimiento aritmético - Sucesión aritmética con diferencia constante d=2.
crecimiento geométrico - Sucesión geométrica creciente con razón r>1.
decrecimiento geométrico - Sucesión geométrica decreciente con razón entre 0 y 1.