Explorador de Series de Taylor

Elige una función, un centro a y un grado n. El polinomio de trazo discontinuo coincide con f y con sus primeras n derivadas en a. El segmento naranja en x muestra cuánto se han separado; la cota de Lagrange indica cuánto podrían haberse separado.

Fórmula de Taylor	$P_{n} (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k}$
Resto de Lagrange	$R_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - a)^{n + 1}, ξ \in (a, x) ∣ R_{n} (x) ∣ \leq \frac{M ∣ x - a ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!}$
Series fundamentales	$e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots, sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots, ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \dots$

Ejemplo resuelto — Explorador de Series de Taylor

Derivadas en a	0, 1, 0, −1
El polinomio en x	0,833333
La función en x	0,841471
El error	0,0081377
La cota de Lagrange	0,035061

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Explorador de Series de Taylor

El polinomio de Taylor de grado n de f con centro en a es el polinomio que tiene el mismo valor y las mismas primeras n derivadas que f en a: P_n(x) = Σ f^(k)(a)(x − a)^k/k!, con la suma desde k = 0 hasta n. Cuando el centro es a = 0, también se llama polinomio de Maclaurin.

Qué significa cada símbolo

a: el centro, donde Pₙ y f coinciden
n: el grado: cuántas derivadas coinciden
Rₙ(x): el resto, f(x) − Pₙ(x)

De dónde viene la fórmula

Iguala el valor y después la pendiente. P₀ = f(a) es la altura en a. Al añadir f′(a)(x − a), obtienes P₁, la recta tangente que viste en la página de derivadas.
$P_{1} (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$
De dónde sale k!. Al derivar c_k(x − a)^k k veces, queda c_k·k!, mientras que todos los demás términos valen 0 en a. Para que coincida con f^(k)(a), el coeficiente debe ser f^(k)(a)/k!.
$\frac{d ^{k}}{d x ^{k}} c_{k} (x - a)^{k} = c_{k} k! \Rightarrow c_{k} = \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !}$
Haz el cálculo para sen x con centro en 0. Las derivadas en 0 repiten el ciclo 0, 1, 0, −1, así que solo quedan potencias impares, con signos alternos.
$sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots$
Acota el error. La forma de Lagrange del resto evalúa la derivada de orden n + 1 en un punto desconocido ξ entre a y x. Sustituye su valor absoluto por M, el máximo en ese intervalo, y obtendrás una cota sin necesitar el valor de f(x).
$∣ R_{n} (x) ∣ = \frac{∣ f ^{(n + 1)} ( ξ ) ∣}{( n + 1 )!} ∣ x - a ∣^{n + 1} \leq \frac{M ∣ x - a ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!}$
Construye series nuevas a partir de otras conocidas. Puedes sustituir en una serie, multiplicar dos o integrar una término a término para ahorrarte nuevas derivadas: e^−x² se obtiene de e^u con u = −x².
$e^{- x^{2}} = 1 - x^{2} + \frac{x ^{4}}{2 !} - \frac{x ^{6}}{3 !} + \dots$

El error de la secante en la página de derivadas era un término de Taylor 🖖

En la página de derivadas, la pendiente de la secante difería de la de la tangente en aproximadamente ½f″(x)·h. Desarrolla f(x + h) = f(x) + f′(x)h + ½f″(x)h² + ⋯, resta f(x) y divide por h: la pendiente de la secante es f′(x) + ½f″(x)h + ⋯, y la diferencia corresponde al siguiente término. El mismo desarrollo explica lo que viste en la página de sumas de Riemann. Al desarrollar f en torno al punto medio de una franja, el término con f′ es impar respecto a ese punto, por lo que su integral sobre la franja es cero. La regla del punto medio conserva un error con f″ de orden h³ por franja, mientras que la regla del extremo izquierdo conserva un error con f′ de orden h².

Una función suave en todas partes que no coincide con su serie 🖖

En 1797, Lagrange basó su exposición del cálculo en la suposición de que toda función coincide con su serie de Taylor. El contraejemplo de Cauchy de 1823 es f(x) = e^−1/x², con f(0) = 0. Existen todas sus derivadas y todas valen 0 en x = 0. Por tanto, su polinomio de Taylor con centro en 0 es 0 para cualquier grado, mientras que la función es positiva en todo x ≠ 0. Añadir términos nunca mejora la aproximación. Una función con derivadas de todos los órdenes se llama suave; si coincide con su serie de Taylor en un entorno de cada punto, se llama analítica. Ser suave no implica ser analítica.

SERIES DE TAYLOR: HASTA DÓNDE PUEDES CONFIAR EN ELLAS

¿Qué caso de Taylor tienes delante?

Un polinomio de Taylor coincide con el valor de una función y con sus primeras n derivadas en un punto; al alejarte de él, empieza a separarse. La rapidez con que lo hace depende de cuánto disminuyen los coeficientes y de si la función tiene alguna singularidad cerca. Añadir términos mejora la aproximación dentro del radio de convergencia, pero no sirve fuera. A menudo ganas más cambiando el centro.

Preciso cerca del centro, inútil lejos de él ε ∝ (x − a)ⁿ⁺¹

Los factoriales hacen que la serie converja en todas partes xⁿ/n! → 0, R = ∞

Más allá del radio de convergencia, añadir términos no ayuda ln(1 + x): R = 1

Cambia el centro y gana precisión sin añadir términos Δa ≠ 0, Δn = 0

Preciso cerca del centro, inútil lejos de él

Qué sabes: Tienes un desarrollo de grado bajo de una función regular. La aproximación es precisa cerca del centro, pero el error crece deprisa al alejarte.

Serie: ε ∝ (x − a)ⁿ⁺¹

Ejemplo resuelto: sen x ≈ x − x³/6 en x = 1 da 0,8333, frente al valor real de 0,8415: un error de 0,008. En x = 3 da −1,5, frente a 0,141

Abre este caso: sen x, grado 3

Preciso cerca del centro, inútil lejos de él. El polinomio cúbico sigue al seno durante aproximadamente un radián; después se desvía por completo. Tienes un desarrollo de grado bajo de una función regular. La aproximación es precisa cerca del centro, pero el error crece deprisa al alejarte. — El polinomio cúbico sigue al seno durante aproximadamente un radián; después se desvía por completo.

Los factoriales hacen que la serie converja en todas partes

Qué sabes: Los coeficientes llevan un factorial en el denominador, así que disminuyen más deprisa de lo que crece cualquier potencia. El radio de convergencia es infinito.

Serie: xⁿ/n! → 0, R = ∞

Ejemplo resuelto: eˣ ≈ 1 + x + x²/2 + x³/6 + x⁴/24 + x⁵/120 en x = 1 da 2,71667, frente a e = 2,71828: seis términos, tres cifras correctas

Abre este caso: eˣ, grado 5

Los factoriales hacen que la serie converja en todas partes. Con grado 5, el polinomio ya sigue a la exponencial en todo el intervalo visible. Los coeficientes llevan un factorial en el denominador, así que disminuyen más deprisa de lo que crece cualquier potencia. El radio de convergencia es infinito. — Con grado 5, el polinomio ya sigue a la exponencial en todo el intervalo visible.

Más allá del radio de convergencia, añadir términos no ayuda

Qué sabes: La función tiene una singularidad a una distancia finita del centro. Dentro de esa distancia, la serie converge; fuera, diverge por muchos términos que tomes.

Serie: ln(1 + x): R = 1

Ejemplo resuelto: Con seis términos, ln(1 + x) en x = 0,8 da 0,5701, frente a 0,5878: sigue convergiendo, despacio. En x = 1,2, los términos crecen y la suma se dispara

Abre este caso: ln(1 + x), al límite

Más allá del radio de convergencia, añadir términos no ayuda. Dentro del radio, el polinomio sigue a la curva; fuera, se separa de ella y ya no vuelve. La función tiene una singularidad a una distancia finita del centro. Dentro de esa distancia, la serie converge; fuera, diverge por muchos términos que tomes. — Dentro del radio, el polinomio sigue a la curva; fuera, se separa de ella y ya no vuelve.

Cambia el centro y gana precisión sin añadir términos

Qué sabes: Necesitas precisión en un punto alejado del centro de la serie. Puedes desarrollar de nuevo en torno a un punto más cercano sin aumentar el grado.

Serie: Δa ≠ 0, Δn = 0

Ejemplo resuelto: Grado 4 para cos x en x = 2: con centro en 0 obtienes −0,333, frente a −0,416; con centro en 1 obtienes −0,4086, con un error once veces menor

Abre este caso: cos x en torno a 1

Cambia el centro y gana precisión sin añadir términos. Con el mismo grado, el desarrollo centrado en 1 se ajusta mucho mejor a la curva en x = 2. Necesitas precisión en un punto alejado del centro de la serie. Puedes desarrollar de nuevo en torno a un punto más cercano sin aumentar el grado. — Con el mismo grado, el desarrollo centrado en 1 se ajusta mucho mejor a la curva en x = 2.

Problemas resueltos al detalle

Aproxima sen 1 con el polinomio de Maclaurin de grado 3 y acota el error 5 pasos
Aproxima sen 1 con el polinomio de Maclaurin de grado 3 y acota el error antes de consultar el valor real. Una cota del error que solo puedes calcular cuando ya conoces la respuesta no sirve de nada.

Abre este problema en la herramienta
1. Para construir el polinomio de Maclaurin necesitas las derivadas en 0. Las del seno se repiten en ciclos de cuatro, y dos de las cuatro primeras valen cero; de ahí que el polinomio sea tan corto.
  
  $f (x) = sin x : f (0) = 0, f^{'} (0) = 1, f^{''} (0) = 0, f^{'''} (0) = - 1$
2. P₃ tiene, por tanto, dos términos, y toda la corrección está en x³/6. Al restarlo, pasas de 1 a 0,83333: una reducción de casi el 17 %, que ya apunta a que el término siguiente tampoco será despreciable.
  
  $P_{3} (x) = x - \frac{x ^{3}}{6} ⟹ P_{3} (1) = 1 - \frac{1}{6} = 0.83333$
3. La serie del seno es alternada y sus términos disminuyen en valor absoluto, así que el error de truncamiento es menor que el primer término omitido. Ese término es x⁵/120, y para calcularlo no necesitas saber nada del valor de sen 1.
  
  $∣ R_{3} ∣ \leq \frac{∣ x ∣ ^{5}}{5 !} = \frac{1}{120} = 0.0083333$
4. Comprueba ahora la garantía. El valor real es 0,84147, de modo que el error es 0,0081377: queda por debajo de los 0,0083333 que habías garantizado de antemano.
  
  $sin 1 = 0.84147 ⟹ ∣ sin 1 - P_{3} (1) ∣ = 0.0081377$
5. La cota está muy cerca del error real porque la cola que has omitido también es alternada: 1/5! se pasa por exceso; al restar 1/7!, te quedas por defecto; al sumar 1/9!, te acercas aún más. Con tres términos ya reproduces todas las cifras del error que aparece en pantalla.
  
  $\frac{1}{5 !} - \frac{1}{7 !} + \frac{1}{9 !} - \dots = 0.0081377, \frac{0.0083333}{0.0081377} = 1.0240$
Respuesta

P₃(1) = 0,833333, frente al valor real de 0,841471, con un error de 0,0081377. Lo decisivo es el orden en que has obtenido los números: ya tenías 1/120 = 0,0083333 antes de conocer sen 1, y esa cota solo superaba el error real en un 2,4 %. Una aproximación con una garantía así vale más que otra que, por casualidad, quede cerca. La fila de Lagrange de esta página muestra 0,035061 para el grado 3, porque trata P₃ como un polinomio de grado 3; si eliges el grado 4, que para el seno da el mismo polinomio, Lagrange también da 1/120. Sube al grado 5 y el mismo argumento te da 1/5040; la fila de Lagrange lo muestra en el grado 6, que da el mismo polinomio. Tienes tres decimales garantizados antes de calcular una sola cifra de la respuesta.

$P_{3} (1) = 0.83333, ∣ R_{3} ∣ \leq \frac{1}{120} first, then 0.0081377$
Estima √e con una cota calculada de antemano 4 pasos
Usa el polinomio de Maclaurin de grado 4 de eˣ para estimar √e y acota el error sin usar el valor de e^0,5.

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Mostrar solución
1. Todas las derivadas de eˣ son eˣ, cuyo valor en 0 es 1, así que cada coeficiente es 1/k!:
  
  $P_{4} (x) = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{4}}{24}$
2. En x = 0,5:
  
  $P_{4} (0.5) = 1 + 0.5 + 0.125 + \frac{0.125}{6} + \frac{0.0625}{24} = \frac{211}{128} = 1.6484375$
3. La cota de Lagrange necesita M, el mayor valor de la quinta derivada eᵗ para t entre 0 y 0,5. Sin conocer e^0,5, puedes usar e < 3 y, por tanto, e^0,5 < √3 < 2:
  
  $∣ R_{4} (0.5) ∣ \leq \frac{M ( 0.5 ) ^{5}}{5 !} < \frac{2 \cdot 0.03125}{120} = 0.00052083$
4. La página usa el valor exacto M = e^0,5 y obtiene una cota más ajustada. También muestra el error real, que queda por debajo de ambas:
  
  $\frac{1.648721 \cdot 0.03125}{120} = 0.00042935, e - P_{4} (0.5) = 0.00028377$
Respuesta

√e ≈ 1,648438, con un error inferior a 0,00052 garantizado solo a partir de e < 3. El error real es 0,00028377. Una cota obtenida con una estimación menos precisa de M sigue siendo válida; simplemente ofrece una garantía menos exigente.
Un polinomio de Taylor con centro distinto de 0 4 pasos
Halla el polinomio de Taylor de grado 2 de √x con centro en 4, úsalo para estimar √4,1 y acota el error.

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1. Las derivadas en 4:
  
  $f (4) = 2, f^{'} (4) = \frac{1}{2} \cdot 4^{- 1/2} = \frac{1}{4}, f^{''} (4) = - \frac{1}{4} \cdot 4^{- 3/2} = - \frac{1}{32}$
2. Divide cada una por k!:
  
  $P_{2} (x) = 2 + \frac{x - 4}{4} - \frac{( x - 4 ) ^{2}}{64}$
3. En x = 4,1, x − 4 = 0,1:
  
  $P_{2} (4.1) = 2 + 0.025 - 0.00015625 = 2.02484375$
4. La tercera derivada, (3/8)x^−5/2, alcanza su máximo en el extremo izquierdo de [4; 4,1], donde vale 3/256:
  
  $∣ R_{2} (4.1) ∣ \leq \frac{\frac{3}{256} ( 0.1 ) ^{3}}{3 !} = 1.9531 \times 1 0^{- 6}$
Respuesta

√4,1 ≈ 2,024844, con un error inferior a 1,9531 × 10⁻⁶. El error real es 1,9231 × 10⁻⁶, cercano a la cota porque la tercera derivada apenas cambia entre 4 y 4,1. El desarrollo se centra en 4 porque allí es fácil evaluar √x. En 0, √x no tiene polinomio de Taylor de grado superior a 0, porque no es derivable en ese punto.
Obtén una serie por sustitución e intégrala 4 pasos
Halla la serie de Maclaurin de e^−x² hasta x⁶ y úsala para estimar la integral de e^−x² entre 0 y 0,5.

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1. Derivar e^−x² seis veces lleva tiempo. Sustituye u = −x² en la serie de eᵘ:
  
  $e^{u} = 1 + u + \frac{u ^{2}}{2} + \frac{u ^{3}}{6} + \dots \Rightarrow e^{- x^{2}} = 1 - x^{2} + \frac{x ^{4}}{2} - \frac{x ^{6}}{6} + \dots$
2. Comprueba el resultado en la página para x = 0,5:
  
  $P_{6} (0.5) = 1 - 0.25 + 0.03125 - 0.0026042 = 0.778646$
3. Integra término a término entre 0 y 0,5:
  
  $\int_{0}^{0.5} (1 - x^{2} + \frac{x ^{4}}{2} - \frac{x ^{6}}{6}) d x = 0.5 - \frac{0.125}{3} + \frac{0.03125}{10} - \frac{0.0078125}{42} = 0.461272$
4. Los términos alternan de signo y disminuyen en valor absoluto, así que el error es menor que el primer término omitido, que procede de x⁸/4!:
  
  $\int_{0}^{0.5} \frac{x ^{8}}{4 !} d x = \frac{( 0.5 ) ^{9}}{216} = 0.0000090$
Respuesta

La integral vale aproximadamente 0,461272, con un error inferior a 0,0000090. El valor real es 0,461281. Esta integral no se puede expresar mediante funciones elementales, por lo que se calcula con métodos como las series o las sumas de Riemann.
Calcula un límite mediante series 2 pasos
Halla el límite de (sen x − x)/x³ cuando x → 0.
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1. Sustituye sen x por su serie; el término x se cancela:
  
  $\frac{sin x - x}{x ^{3}} = \frac{( x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - \dots ) - x}{x ^{3}}$
2. Divide cada término restante por x³:
  
  $= - \frac{1}{6} + \frac{x ^{2}}{120} - \dots x \to 0 - \frac{1}{6}$
Respuesta

El límite es −1/6. Con la regla de L'Hôpital llegas al mismo resultado tras derivar tres veces. La serie te da la respuesta directamente y, además, te dice a qué ritmo se acerca el cociente al límite: el siguiente término es x²/120.
Lee una derivada de orden alto en una serie 2 pasos
Halla la quinta derivada de f(x) = x²eˣ en x = 0.

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1. Multiplica la serie de eˣ por x²:
  
  $x^{2} e^{x} = x^{2} + x^{3} + \frac{x ^{4}}{2} + \frac{x ^{5}}{6} + \dots$
2. El coeficiente de x⁵ es f⁽⁵⁾(0)/5!, así que:
  
  $\frac{f ^{(5)} ( 0 )}{5 !} = \frac{1}{6} \Rightarrow f^{(5)} (0) = \frac{120}{6} = 20$
Respuesta

f⁽⁵⁾(0) = 20. Aplicar la regla del producto cinco veces da el mismo número, pero exige escribir mucho más. La primera fila de la página muestra las seis derivadas en 0: 0, 0, 2, 6, 12, 20.
Cuántos términos necesitas para seis decimales 3 pasos
¿Cuántos términos de la serie de Maclaurin de eˣ necesitas para calcular e con un error inferior a 0,0000005?

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1. En x = 1, la cota de Lagrange para el grado n es M/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de eᵗ en [0, 1], es decir, e < 3:
  
  $∣ R_{n} (1) ∣ \leq \frac{e}{( n + 1 )!} < \frac{3}{( n + 1 )!}$
2. Busca el primer n para el que la cota baja de 0,0000005:
  
  $\frac{3}{10 !} = 8.3 \times 1 0^{- 7} > 5 \times 1 0^{- 7}, \frac{3}{11 !} = 7.5 \times 1 0^{- 8} < 5 \times 1 0^{- 7}$
3. Obtienes n = 10: once términos si cuentas el término constante. Con grado 10, la página da:
  
  $P_{10} (1) = 2.718282, \frac{e}{11 !} = 6.81 \times 1 0^{- 8}, ∣ e - P_{10} (1) ∣ = 2.73 \times 1 0^{- 8}$
Respuesta

Grado 10: once términos. Según la cota, el grado 9 no basta (7,4909 × 10⁻⁷), aunque su error real, 3,0289 × 10⁻⁷, sí habría sido suficiente. La cota determina qué puedes garantizar de antemano; para saber que el grado 9 ya era suficientemente preciso, habrías tenido que calcular e.

Ruta de aprendizaje

Por qué todo se ve recto de cerca

Referencias (1)

What turns “local” from a caution into a quantity — the remainder term: U. Abel, "On the Lagrange Remainder of the Taylor Formula." The American Mathematical Monthly 110(7), 627–633, 2003.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.