Explorador de Series de Taylor

aproximación local con controles de grado y centro

Ejemplo resuelto — Explorador de Series de Taylor

Términos	0.83333
Valor real	0.84147
Error absoluto	0.0081377

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

por qué Taylor es local, no global 🖖

Un polinomio de Taylor se construye a partir de las derivadas en un solo punto, así que capta la geometría local de la función justo ahí. Más lejos, esos mismos coeficientes pueden dejar de describir bien la función: el error depende de la suavidad de la función, el grado y el radio de convergencia.

Reconstruir una curva derivada a derivada 🖖

Esta herramienta reconstruye una función curva usando solo sumas, multiplicaciones y potencias: las operaciones que un procesador realmente sabe hacer. El término de grado 0 iguala la altura de la función en el centro, el de grado 1 su pendiente, el de grado 2 su curvatura, y cada término superior fija una derivada más. Aumenta el grado n y observa cómo el polinomio discontinuo se ciñe cada vez más a la curva continua cerca del centro a.

Cuando la suavidad no basta 🖖

Cabría esperar que una función infinitamente suave siempre quede capturada por un polinomio de Taylor de grado suficiente, pero no está garantizado. El contraejemplo clásico es f(x)=e^−1/x² (con f(0)=0): todas sus derivadas en 0 valen cero, así que su polinomio de Taylor alrededor de 0 es 0 en cualquier grado, aunque la función sea positiva en el resto. Añadir términos nunca ayuda. Ser 'suave' (todas las derivadas existen) es más débil que ser 'analítica' (igual a su propia serie).

SERIES DE TAYLOR — HASTA DÓNDE PUEDES SEGUIR FIÁNDOTE

¿En qué caso de Taylor estás?

Un polinomio de Taylor iguala el valor y las n primeras derivadas de una función en un punto, y luego se despega a medida que te alejas. Dos cosas deciden a qué velocidad: lo rápido que encogen los coeficientes y si hay una singularidad cerca. Añadir términos ayuda dentro del radio de convergencia y no hace absolutamente nada fuera de él, y mover el centro suele valer más que añadir términos.

Buena cerca del centro, inútil lejos ε ∝ (x − a)ⁿ⁺¹

Ganan los factoriales — la serie converge en todas partes xⁿ/n! → 0, R = ∞

Un radio de convergencia — más allá, los términos no sirven ln(1 + x): R = 1

Mueve el centro — más barato que añadir términos Δa ≠ 0, Δn = 0

Buena cerca del centro, inútil lejos

Qué sabes: Un desarrollo de grado bajo de una función bien portada. Precisa cerca del centro, con un error que crece deprisa al alejarse.

Serie: ε ∝ (x − a)ⁿ⁺¹

Ejemplo resuelto: sin x ≈ x − x³/6 da en x = 1 el valor 0,8333 frente al verdadero 0,8415: error de 0,008. En x = 3 da −1,5 frente a 0,141

Abrir este caso: sen cerca de 0

Buena cerca del centro, inútil lejos. La cúbica sigue al seno durante cerca de un radián y luego se marcha en la dirección equivocada. Un desarrollo de grado bajo de una función bien portada. Precisa cerca del centro, con un error que crece deprisa al alejarse. — La cúbica sigue al seno durante cerca de un radián y luego se marcha en la dirección equivocada.

Ganan los factoriales — la serie converge en todas partes

Qué sabes: Los coeficientes llevan un factorial en el denominador, así que encogen más deprisa de lo que crece cualquier potencia. El radio de convergencia es infinito.

Serie: xⁿ/n! → 0, R = ∞

Ejemplo resuelto: eˣ ≈ 1 + x + x²/2 + x³/6 + x⁴/24 + x⁵/120 da en x = 1 el valor 2,71667 frente a e = 2,71828: cinco términos, cuatro cifras correctas

Abrir este caso: exp rápida

Ganan los factoriales — la serie converge en todas partes. Cinco términos ya dibujan la exponencial en todo el rango visible. Los coeficientes llevan un factorial en el denominador, así que encogen más deprisa de lo que crece cualquier potencia. El radio de convergencia es infinito. — Cinco términos ya dibujan la exponencial en todo el rango visible.

Un radio de convergencia — más allá, los términos no sirven

Qué sabes: La función tiene una singularidad a distancia finita del centro. Dentro de esa distancia la serie converge; fuera, diverge por muchos términos que tomes.

Serie: ln(1 + x): R = 1

Ejemplo resuelto: ln(1 + x) con seis términos da en x = 0,8 el valor 0,5701 frente a 0,5878: aún converge, despacio. En x = 1,2 los términos crecen y la suma se escapa

Abrir este caso: ln en el borde

Un radio de convergencia — más allá, los términos no sirven. Dentro del radio el polinomio sigue la curva; pasado él, se va y no vuelve. La función tiene una singularidad a distancia finita del centro. Dentro de esa distancia la serie converge; fuera, diverge por muchos términos que tomes. — Dentro del radio el polinomio sigue la curva; pasado él, se va y no vuelve.

Mueve el centro — más barato que añadir términos

Qué sabes: Necesitas precisión en un punto lejos de donde está centrada la serie. Volver a desarrollar en torno a un punto más cercano no cuesta ni un grado más.

Serie: Δa ≠ 0, Δn = 0

Ejemplo resuelto: Grado 4 para cos x en x = 2: centrado en 0 da −0,333 frente a −0,416; centrado en 1 da −0,4086, un error once veces menor

Abrir este caso: centro desplazado

Mueve el centro — más barato que añadir términos. Mismo grado, distinto centro: el desarrollo en torno a 1 se pega a la curva en x = 2. Necesitas precisión en un punto lejos de donde está centrada la serie. Volver a desarrollar en torno a un punto más cercano no cuesta ni un grado más. — Mismo grado, distinto centro: el desarrollo en torno a 1 se pega a la curva en x = 2.

Problema resuelto al detalle

Aproximación de sin 1 con el polinomio de Maclaurin de grado 3 y acotación del error 5 pasos
Aproxima sin 1 con el polinomio de Maclaurin de grado 3 y acota el error antes de consultar el valor real. Una cota de error que solo se puede calcular una vez conocida la respuesta no sirve de nada.
1. Maclaurin requiere las derivadas en 0, y el seno pasa por ellas de forma cíclica con período cuatro. Dos de las cuatro primeras son cero, motivo por el cual el polinomio resulta tan corto.
  
  $f (x) = sin x : f (0) = 0, f^{'} (0) = 1, f^{''} (0) = 0, f^{'''} (0) = - 1$
2. Así pues, P₃ tiene dos términos, y x³/6 es la corrección completa. Reduce 1 a 0,83333, un recorte de casi el 17 %, lo que ya sugiere que el término siguiente tampoco será despreciable.
  
  $P_{3} (x) = x - \frac{x ^{3}}{6} ⟹ P_{3} (1) = 1 - \frac{1}{6} = 0.83333$
3. Este es el paso que da sentido a toda la sección. La serie del seno es alterna y sus términos decrecen, por lo que el error de truncamiento es menor que el primer término omitido. Ese término es x⁵/120, y calcularlo no requiere saber absolutamente nada sobre sin 1.
  
  $∣ R_{3} ∣ \leq \frac{∣ x ∣ ^{5}}{5 !} = \frac{1}{120} = 0.0083333$
4. Comprobemos ahora la promesa. El valor real es 0,84147, de modo que el error efectivo es 0,0081377, el cual se sitúa efectivamente por debajo del 0,0083333 garantizado de antemano.
  
  $sin 1 = 0.84147 ⟹ ∣ sin 1 - P_{3} (1) ∣ = 0.0081377$
5. La cota es ajustada, y se puede ver por qué. El error es toda la cola omitida, la cual también es alterna: 1/5! se pasa por exceso, restar 1/7! se pasa por defecto y 1/9! remata la aproximación. Tres términos ya reproducen el error mostrado cifra por cifra.
  
  $\frac{1}{5 !} - \frac{1}{7 !} + \frac{1}{9 !} - \dots = 0.0081377, \frac{0.0083333}{0.0081377} = 1.0240$
Respuesta

P₃(1) = 0,83333 frente a un valor real de 0,84147, con un error de 0,0081377; los tres figuran en el panel superior. Lo que el panel no puede mostrar es el orden en que llegaron los números. 1/120 = 0,0083333 estaba disponible antes que sin 1 y solo superó el error real en un 2,4 %. Esa es la diferencia entre una aproximación y una conjetura: una aproximación viene con certificado. Aumenta el grado a 5 y el mismo argumento te proporciona 1/5040, lo que garantiza tres cifras decimales antes de calcular una sola cifra de la respuesta.

$P_{3} (1) = 0.83333, ∣ R_{3} ∣ \leq \frac{1}{120} first, then 0.0081377$

Ruta de aprendizaje

Por qué todo se ve recto de cerca

Lleva a Más de una dirección la misma construcción más allá del primer término y un resto que puedes acotar en lugar de simplemente suponer.

Referencias (1)

What turns “local” from a caution into a quantity — the remainder term: U. Abel, "On the Lagrange Remainder of the Taylor Formula." The American Mathematical Monthly 110(7), 627–633, 2003.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-29

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

sen cerca de 0 - Un desarrollo de sin de bajo grado es preciso cerca de x=0.
exp rápida - La serie de Taylor de la exponencial converge rápidamente alrededor de 0.
ln en el borde - La serie del logaritmo pierde precisión cerca del borde del radio de convergencia.
centro desplazado - Cambiar el centro del desarrollo mejora el ajuste local en otra zona.