Explorador de Series de Taylor

Un polinomio de Taylor se construye a partir de las derivadas en un solo punto, así que capta la geometría local de la función justo ahí. Más lejos, esos mismos coeficientes pueden dejar de describir bien la función: el error depende de la suavidad de la función, el grado y el radio de convergencia.

Esta herramienta reconstruye una función curva usando solo sumas, multiplicaciones y potencias: las operaciones que un procesador realmente sabe hacer. El término de grado 0 iguala la altura de la función en el centro, el de grado 1 su pendiente, el de grado 2 su curvatura, y cada término superior fija una derivada más. Aumenta el grado n y observa cómo el polinomio discontinuo se ciñe cada vez más a la curva continua cerca del centro a.

Cabría esperar que una función infinitamente suave siempre quede capturada por un polinomio de Taylor de grado suficiente, pero no está garantizado. El contraejemplo clásico es f(x)=e−1/x² (con f(0)=0): todas sus derivadas en 0 valen cero, así que su polinomio de Taylor alrededor de 0 es 0 en cualquier grado, aunque la función sea positiva en el resto. Añadir términos nunca ayuda. Ser 'suave' (todas las derivadas existen) es más débil que ser 'analítica' (igual a su propia serie).