Explorador de sumas de Riemann

Divide [a, b] en n franjas, asigna a cada una una altura tomada de la curva y suma sus áreas. Al aumentar n, todas las formas de elegir esas alturas conducen a un mismo número: la integral definida.

La integral como límite de sumas	$\int_{a}^{b} f (x) d x Δ x = n \to \infty lim i = 1 \sum n f (x_{i}^{*}) Δ x = \frac{b - a}{n}$
Dónde toma cada suma sus alturas	$L_{n} : x_{i - 1}, R_{n} : x_{i}, M_{n} : \frac{x _{i - 1} + x _{i}}{2} T_{n} = \frac{1}{2} (L_{n} + R_{n}), x_{i} = a + i Δ x$
El signo de cada error	$f^{'} \geq 0 : L_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq R_{n} f^{''} \geq 0 : M_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq T_{n}$

Ejemplo resuelto — Explorador de sumas de Riemann

Anchura de las franjas	0,25
Puntos de muestreo	0,125, 0,375, …, 1,875
Suma del punto medio	2,65625
La integral	2,666667
Suma menos integral	−0,010417

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Explorador de sumas de Riemann

Una suma de Riemann de f en [a, b] divide el intervalo en n franjas, toma una altura f(x_i*) en cada una y suma sus áreas f(x_i*)Δx. La integral definida es el número al que convergen estas sumas cuando n → ∞.

Qué significa cada símbolo

Δx: la anchura de cada franja, (b − a)/n
xᵢ*: el punto de muestreo de la franja i, donde se toma su altura

De dónde viene la fórmula

Divide el intervalo. Forma n franjas de igual anchura Δx = (b − a)/n, con extremos x₀ = a, x₁, …, x_n = b.
$Δ x = \frac{b - a}{n} x_{i} = a + i Δ x, i = 0, 1, \dots, n$
Elige una altura por franja. Toma el valor de f en un punto de muestreo x_i* cualquiera de la franja i; en esta página puedes elegir su extremo izquierdo, su extremo derecho o su punto medio. El área de la franja es f(x_i*)Δx, y la suma de Riemann reúne las áreas de las n franjas. La regla del trapecio utiliza ambos extremos y da la media de las sumas por la izquierda y por la derecha.
$S_{n} = i = 1 \sum n f (x_{i}^{*}) Δ x, T_{n} = \frac{1}{2} (L_{n} + R_{n})$
Bajo el eje, la aportación es negativa. Donde f < 0, el término f(x_i*)Δx es negativo, de modo que la suma mide el área por encima del eje menos el área por debajo. Las franjas que se restan están dibujadas en naranja.
$\int_{- 1}^{2} x d x = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$
Haz crecer n. Para x² en [0, 1], la suma por la derecha es (n + 1)(2n + 1)/(6n²), que converge a 1/3. Si f es continua, cualquier elección de los puntos de muestreo conduce al mismo límite: la integral.
$R_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n \frac{i ^{2}}{n ^{2}} = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{2}} n \to \infty \frac{1}{3}$
Determina el signo del error. Si f es creciente en [a, b], la suma por la izquierda queda por debajo de la integral y la suma por la derecha la supera. Si f es convexa, la suma del punto medio queda por debajo y la del trapecio por encima. Si f es decreciente o cóncava hacia abajo, se invierten las desigualdades del par correspondiente.
$f^{'} \geq 0 : L_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq R_{n} f^{''} \geq 0 : M_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq T_{n}$

por qué la farmacología cambia de reglas a mitad de camino 🖖

La exposición a un fármaco es una suma de Riemann. Un organismo regulador necesita el área bajo la curva de concentración del paciente en función del tiempo, pero solo dispone de una docena de extracciones de sangre. El método habitual consiste, por tanto, en aplicar la regla del trapecio entre muestras consecutivas. Así se hereda el sesgo que muestra esta página. Una curva de eliminación es convexa, la cuerda queda por encima de ella y el trapecio lineal atribuye al paciente una exposición mayor que la real. De ahí la práctica habitual: interpolación lineal durante la fase de absorción y logarítmica durante el descenso.

La función que ninguna suma de Riemann logra determinar 🖖

Todas las sumas de esta página convergen a un mismo número, elijas los puntos de muestreo que elijas. Un teorema lo garantiza para funciones continuas como estas; sin continuidad, puede dejar de cumplirse. En 1829, Dirichlet describió una función que vale 1 en cada x racional y 0 en cada x irracional. Toda franja, por estrecha que sea, contiene puntos de ambos tipos. Si eliges un punto racional en cada franja, la suma en [0, 1] vale 1; si eliges uno irracional, vale 0, sea cual sea n. Las sumas no tienen un límite común y la función no es integrable en el sentido de Riemann. La integral de Lebesgue, de 1902, agrupa los puntos según el valor que toma f en ellos, en lugar de hacerlo según su posición en el eje, y asigna a esta función una integral de 0.

TEORÍA DE LA SUMA DE RIEMANN — LA DEFINICIÓN DETRÁS DE LA INTEGRAL

¿Dónde tomas la muestra dentro de cada franja?

Una suma de Riemann corta [a, b] en n franjas y da a cada una una sola altura, leída en un punto de muestreo dentro de ella. El punto que elijas — borde izquierdo, borde derecho o centro — cambia el resultado mientras n es pequeño. Lo notable es que al crecer n todas las elecciones se acercan al mismo número, y ese límite compartido es lo que significa la integral definida.

Extremo izquierdo — muestra al inicio de cada franja Σ f(x_i) Δx

Extremo derecho — muestra al final de cada franja Σ f(x_i+1) Δx

Punto medio — muestra en el centro de cada franja Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Trapecio — ambos extremos, promediados Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Extremo izquierdo — muestra al inicio de cada franja

Punto de muestreo: Altura leída en xᵢ, el borde izquierdo de la franja i. El valor en b nunca se usa.

Suma: Σ f(x_i) Δx

Con n pequeño: x² en [0, 2] con n = 4 da 1,75 frente al área real 2,667 — se queda muy corto.

Abrir este caso: Cuatro por la izquierda

Extremo izquierdo — muestra al inicio de cada franja. Cada rectángulo toma su altura en su propio borde izquierdo, dejando fuera una cuña de curva. Altura leída en xᵢ, el borde izquierdo de la franja i. El valor en b nunca se usa. — Cada rectángulo toma su altura en su propio borde izquierdo, dejando fuera una cuña de curva.

Extremo derecho — muestra al final de cada franja

Punto de muestreo: Altura leída en xᵢ₊₁, el borde derecho de la franja i. El valor en a nunca se usa.

Suma: Σ f(x_i+1) Δx

Con n pequeño: Misma curva y n: 3,75 frente a 2,667 — ahora se pasa más o menos en lo que la suma izquierda perdía.

Abrir este caso: Seis por la derecha

Extremo derecho — muestra al final de cada franja. Las mismas franjas muestreadas en el borde derecho: ahora cada rectángulo se pasa. Altura leída en xᵢ₊₁, el borde derecho de la franja i. El valor en a nunca se usa. — Las mismas franjas muestreadas en el borde derecho: ahora cada rectángulo se pasa.

Punto medio — muestra en el centro de cada franja

Punto de muestreo: Altura leída en el centro de la franja, sin privilegiar ningún borde.

Suma: Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Con n pequeño: Misma curva y n: 2,625 frente a 2,667 — un orden de magnitud más cerca que izquierda y derecha.

Abrir este caso: Cuarenta, punto medio

Punto medio — muestra en el centro de cada franja. Muestrear en el centro deja que los dos errores de cada franja se cancelen. Altura leída en el centro de la franja, sin privilegiar ningún borde. — Muestrear en el centro deja que los dos errores de cada franja se cancelen.

Trapecio — ambos extremos, promediados

Punto de muestreo: Se usan los dos bordes de la franja y la parte superior se inclina entre ellos.

Suma: Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Con n pequeño: Misma curva y n: 2,75 frente a 2,667 — mejor que cualquiera de los extremos, aún por detrás del punto medio.

Abrir este caso: sin x, trapecios

Trapecio — ambos extremos, promediados. Una tapa inclinada que une ambos bordes: el promedio de los rectángulos izquierdo y derecho. Se usan los dos bordes de la franja y la parte superior se inclina entre ellos. — Una tapa inclinada que une ambos bordes: el promedio de los rectángulos izquierdo y derecho.

Problemas resueltos al detalle

Aproximar ∫₀² x² d x con 8 rectángulos del punto medio 5 pasos
Aproxima ∫₀² x² dx con 8 rectángulos usando el punto medio. Después, combina dos resultados incorrectos para obtener el valor exacto.
1. Al dividir una anchura de 2 en 8 franjas, resulta Δx = 0,25. La regla del punto medio toma la altura de cada rectángulo en el centro de su franja: 0,125; 0,375; y así sucesivamente. Esa elección tiene una ventaja que podrás comprobar en el paso 4.
  
  $Δ x = \frac{2 - 0}{8} = 0.25, x_{i}^{*} = 0.125, 0.375, \dots, 1.875$
2. Suma los cuadrados de los 8 puntos medios y multiplica por la anchura común. Hasta aquí, la única aproximación consiste en haber sustituido la región por rectángulos.
  
  $M_{8} = 0.25 i = 1 \sum 8 (x_{i}^{*})^{2} = 0.25 \times 10.625 = 2.65625$
3. La integral exacta es 8/3, así que la aproximación queda por debajo en 0,0104167. Ese error tiene una explicación precisa.
  
  $I = \int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{8}{3} = 2.66667 ⟹ M_{8} - I = - 0.0104167$
4. El error de la regla del punto medio es −(b − a)h²f″(ξ)/24. Para x², la segunda derivada vale 2 en todo punto, de modo que la posición de ξ no importa: la fórmula deja de ser una cota y da el error exacto. El resultado es −1/96, que coincide con el error con signo de la herramienta hasta la última cifra que muestra.
  
  $E_{M} = - \frac{( b - a ) h ^{2}}{24} f^{''} (ξ) = - \frac{2 ( 0.25 ) ^{2} ( 2 )}{24} = - \frac{1}{96} = - 0.0104167$
5. La regla del trapecio se equivoca en sentido contrario y con un error exactamente doble: el rectángulo del punto medio compensa parte del área que deja fuera con la que añade, mientras que la cuerda del trapecio queda por completo por encima de una curva convexa. Si combinas ambas aproximaciones con pesos de 2 a 1, los errores se anulan.
  
  $T_{8} = 2.6875, T_{8} - I = + 0.0208333 = - 2 (M_{8} - I) ⟹ \frac{2 M _{8} + T _{8}}{3} = 2.66667$
Respuesta

La regla del punto medio da 2,65625, frente al valor exacto 2,666667. Como x² es creciente en [0, 2], las sumas por la izquierda y por la derecha, 2,1875 y 3,1875, encierran la integral entre ellas. Fíjate en la última igualdad: (2M + T)/3 = 8/3 exactamente, con 8 franjas y sin evaluar la función en más puntos. Esa media ponderada es la regla de Simpson, publicada por Thomas Simpson en 1743 y utilizada por Kepler en 1615 para una sola franja al calcular la capacidad de barriles de vino. Los errores de las dos reglas guardan una proporción fija; por eso puedes elegir los pesos que los anulan. Cambia la función a x³: las sumas del punto medio y del trapecio son 3,96875 y 4,0625. Al combinarlas obtienes exactamente 4, porque la regla de Simpson es exacta para cualquier polinomio cúbico. Con x⁴ aparece por fin un error de 0,000065 respecto al valor exacto 6,4.

$M_{8} = 2.65625, E = - \frac{1}{96} \frac{2 M + T}{3} = \frac{8}{3} exactly$
Sumas por la izquierda y por la derecha para una curva decreciente 4 pasos
Aproxima ∫₁² (1/x) dx con 4 franjas, mediante la suma por la izquierda y la suma por la derecha. ¿Cuál supera el valor exacto? ¿Cómo puedes saberlo sin conocer ese valor?

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1. Si divides [1, 2] en 4 franjas, cada una tiene una anchura de 0,25. La suma por la izquierda toma las alturas en 1; 1,25; 1,5 y 1,75; la suma por la derecha, en 1,25; 1,5; 1,75 y 2.
  
  $Δ x = \frac{2 - 1}{4} = 0.25$
2. Suma las alturas de los extremos izquierdos y multiplica por la anchura:
  
  $L_{4} = 0.25 (1 + \frac{4}{5} + \frac{2}{3} + \frac{4}{7}) = 0.25 \times \frac{319}{105} = 0.759524$
3. La suma por la derecha pierde f(1) = 1 y gana f(2) = 0,5, así que es menor en 0,25 × 0,5:
  
  $R_{4} = L_{4} - 0.25 (f (1) - f (2)) = 0.759524 - 0.125 = 0.634524$
4. Como 1/x es decreciente en el intervalo, en cada franja la altura máxima está en el extremo izquierdo y la mínima en el derecho. La suma por la izquierda se pasa y la suma por la derecha se queda corta:
  
  $R_{4} = 0.634524 < \int_{1}^{2} \frac{d x}{x} = ln 2 = 0.693147 < 0.759524 = L_{4}$
Respuesta

L₄ = 0,759524 supera la integral y R₄ = 0,634524 queda por debajo; el valor exacto, ln 2 = 0,693147, está entre ambos. Si una función es decreciente o creciente en todo el intervalo, las sumas por la izquierda y por la derecha siempre encierran la integral. La diferencia entre ellas es Δx·|f(b) − f(a)|, que aquí vale 0,125.
La regla del trapecio y el signo de su error 4 pasos
Usa la regla del trapecio con 4 franjas para aproximar ∫₀⁴ √x dx. ¿El resultado supera el valor exacto o queda por debajo?

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1. Δx = 1. La regla del trapecio utiliza las alturas en los cinco extremos de las franjas y cuenta dos veces las de los tres extremos interiores:
  
  $T_{4} = \frac{Δ x}{2} [f (0) + 2 f (1) + 2 f (2) + 2 f (3) + f (4)]$
2. Sustituye los valores:
  
  $= \frac{1}{2} [0 + 2 + 22 + 23 + 2] = 2 + 2 + 3 = 5.146264$
3. También puedes obtener este resultado como la media de las sumas por la izquierda y por la derecha:
  
  $T_{4} = \frac{1}{2} (L_{4} + R_{4}) = \frac{1}{2} (4.146264 + 6.146264) = 5.146264$
4. √x es cóncava hacia abajo, pues f″(x) = −¼x^−3/2 < 0. Todas las cuerdas quedan por debajo de la curva, así que cada trapecio deja fuera una pequeña región:
  
  $\int_{0}^{4} x d x = [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{4} = \frac{16}{3} = 5.333333 > T_{4}$
Respuesta

T₄ = 5,146264 queda por debajo del valor exacto en 0,187069, porque √x es cóncava hacia abajo. Si la curva es convexa, las cuerdas quedan por encima y la regla del trapecio da un valor mayor que la integral. En ambos casos, la regla del punto medio se equivoca en sentido contrario, de modo que la integral queda entre las dos sumas.
Una integral como límite de sumas por la derecha 4 pasos
Escribe la suma por la derecha para ∫₀³ x² dx con n franjas y calcula la integral tomando el límite.

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1. Δx = 3/n y los extremos derechos son x_i = 3i/n, así que la franja i aporta (3i/n)²·(3/n):
  
  $R_{n} = i = 1 \sum n (\frac{3 i}{n})^{2} \frac{3}{n} = \frac{27}{n ^{3}} i = 1 \sum n i^{2}$
2. La suma de los cuadrados de los primeros n números naturales es n(n + 1)(2n + 1)/6:
  
  $R_{n} = \frac{27}{n ^{3}} \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = \frac{9 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{2 n ^{2}}$
3. Comprueba la fórmula con un caso concreto. Para n = 6 da 11,375, que coincide con la suma por la derecha de 6 franjas:
  
  $R_{6} = \frac{9 \cdot 7 \cdot 13}{2 \cdot 36} = \frac{819}{72} = 11.375$
4. Ahora haz crecer n. Divide el numerador y el denominador entre n²:
  
  $R_{n} = \frac{9}{2} (1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n}) n \to \infty \frac{9}{2} \cdot 2 = 9$
Respuesta

∫₀³ x² dx = 9. Con 6 franjas, la suma supera el valor exacto en 2,375. Según la fórmula, ese exceso es, en general, 27/(2n) + 9/(2n²), por lo que disminuye como 1/n, el ritmo propio de una suma que toma las alturas en los extremos.
Reconocer una integral en un límite de sumas 3 pasos
Calcula el límite, cuando n → ∞, de Σ (2/n)·√(1 + 2i/n), con la suma desde i = 1 hasta n.

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1. Identifica los elementos de Σ f(x_i)Δx. El factor 2/n es Δx, así que b − a = 2. Además, x_i = 1 + 2i/n parte de a = 1 cuando i = 0 y llega a b = 3 cuando i = n:
  
  $Δ x = \frac{2}{n}, x_{i} = 1 + i Δ x, f (x) = x$
2. Es, por tanto, la suma por la derecha de √x en [1, 3], cuyo límite es la integral:
  
  $n \to \infty lim i = 1 \sum n \frac{2}{n} 1 + \frac{2 i}{n} = \int_{1}^{3} x d x$
3. Integra:
  
  $[\frac{2}{3} x^{3/2}]_{1}^{3} = \frac{2}{3} (33 - 1) = 2.797435$
Respuesta

El límite es ⅔(3√3 − 1) = 2,797435. También puedes interpretar la misma suma tomando x_i = 2i/n y la función √(1 + x) en [0, 2]. Esa integral también vale 2,797435 y te permite comprobar la interpretación anterior.
El área bajo el eje cuenta con signo negativo 3 pasos
Calcula ∫₋₁² x dx, compárala con el área entre la recta y = x y el eje x, y comprueba el resultado con la suma por la izquierda de 6 franjas.

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1. La recta queda por debajo del eje en [−1, 0] y por encima en [0, 2]. Los dos triángulos tienen áreas de ½ y 2:
  
  $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$
2. En la integral, el triángulo situado bajo el eje aporta un valor negativo; al calcular el área, su aportación es positiva:
  
  $\int_{- 1}^{2} x d x = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$
3. Con 6 franjas de anchura 0,5, la suma por la izquierda toma las alturas −1; −0,5; 0; 0,5; 1 y 1,5. Las dos primeras son negativas y se restan:
  
  $L_{6} = 0.5 (- 1 - 0.5 + 0 + 0.5 + 1 + 1.5) = 0.5 \times 1.5 = 0.75$
Respuesta

∫₋₁² x dx = 3/2, mientras que el área entre la recta y el eje es 5/2. Una suma de Riemann suma los términos f(x_i*)Δx con su signo, por lo que converge al primero de esos valores; para obtener el área, integra |x|. La suma por la izquierda, 0,75, queda por debajo porque la función es creciente. La suma del punto medio vale exactamente 1,5 para cualquier n: bajo una recta, el rectángulo del punto medio tiene la misma área que el trapecio correspondiente.
Una suma a partir de una tabla de mediciones 3 pasos
La velocidad de un coche se mide en t = 0, 2, 5, 7 y 10 s, y los valores son 0, 8, 14, 17 y 20 m/s. Aproxima la distancia recorrida en esos 10 segundos mediante una suma por la izquierda, una suma por la derecha y la regla del trapecio.
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1. Las franjas tienen distintas anchuras: 2, 3, 2 y 3 s. El área de cada una es su propia anchura multiplicada por una altura, así que no puedes sacar un Δx común como factor de la suma. La suma por la izquierda utiliza la velocidad al inicio de cada intervalo:
  
  $L = 2 (0) + 3 (8) + 2 (14) + 3 (17) = 0 + 24 + 28 + 51 = 103 m$
2. La suma por la derecha utiliza la velocidad al final de cada intervalo:
  
  $R = 2 (8) + 3 (14) + 2 (17) + 3 (20) = 16 + 42 + 34 + 60 = 152 m$
3. La regla del trapecio toma la media de las alturas de ambos extremos de cada franja. Aunque las anchuras sean distintas, el resultado sigue siendo la media de las sumas por la izquierda y por la derecha:
  
  $T = \frac{1}{2} (L + R) = \frac{1}{2} (103 + 152) = 127.5 m$
Respuesta

L = 103 m, R = 152 m, T = 127,5 m. En la tabla, la velocidad nunca disminuye. Si tampoco disminuyó entre mediciones, la distancia está entre 103 m y 152 m. La tabla no permite garantizarlo: el coche puede frenar entre dos mediciones sin que ninguna suma basada en estos cinco valores lo detecte.

Ruta de aprendizaje

Por qué todo se ve recto de cerca

Referencias (4)

The definition itself, in the paper it first appeared in: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe." Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13, 87–132, 1867 — the section that asks what an integral is to mean for a function with infinitely many discontinuities, and answers with the sum this tool draws.
Upper and lower sums, and the criterion for the two to meet: G. Darboux, "Mémoire sur les fonctions discontinues." Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure 4, 57–112, 1875.
How the definition was arrived at, and what it could not handle: D. M. Bressoud, A Radical Approach to Lebesgue’s Theory of Integration. Cambridge University Press, 2008.
Why medicine runs the trapezoid one way going up and another coming down: K. C. Yeh and K. C. Kwan, "A comparison of numerical integrating algorithms by trapezoidal, Lagrange, and spline approximation." Journal of Pharmacokinetics and Biopharmaceutics 6(1), 79-98, 1978.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.