Explorador de sumas de Riemann

aproximación de área mediante particiones con comparación de métodos

Ejemplo resuelto — Explorador de sumas de Riemann

Estimación	2.65625
Integral exacta	2.66667
Error absoluto	0.0104167
Error con signo	-0.0104167
Suma inferior	2.1875
Suma superior	3.1875
Diferencia superior-inferior	1
Ancho de partición	0.25

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

por qué la farmacología cambia de reglas a mitad de camino 🖖

La exposición a un fármaco es una suma de Riemann. Un organismo regulador necesita el área bajo la curva de concentración del paciente en función del tiempo, pero solo dispone de una docena de extracciones de sangre. El método habitual consiste, por tanto, en aplicar la regla del trapecio entre muestras consecutivas. Así se hereda el sesgo que muestra esta página. Una curva de eliminación es convexa, la cuerda queda por encima de ella y el trapecio lineal atribuye al paciente una exposición mayor que la real. De ahí la práctica habitual: interpolación lineal durante la fase de absorción y logarítmica durante el descenso.

dividir el área en formas medibles 🖖

Calcular el área exacta bajo una curva es difícil; sumar rectángulos, no. Cada método estima de distinta manera la altura de una franja: toma el extremo izquierdo, el derecho, el punto medio o un borde superior inclinado, como en el trapecio. Ninguno es exacto. Sin embargo, convergen a ritmos distintos: si duplicas el número de franjas, las sumas izquierda y derecha reducen su error a la mitad, mientras que las reglas del punto medio y del trapecio lo dividen por cuatro.

la regla de Simpson es una mezcla oculta 🖖

La regla del punto medio suele superar a la del trapecio, y sus errores tienen signos opuestos: cuando la curva es cóncava hacia abajo, el punto medio estima por exceso y el trapecio por defecto. Al combinarlas como (2M + T)/3, el término principal del error se anula y obtienes la regla de Simpson. La fórmula de integración más célebre es, en realidad, una media ponderada de dos sumas que ya aparecen en esta pantalla.

TEORÍA DE LA SUMA DE RIEMANN — LA DEFINICIÓN DETRÁS DE LA INTEGRAL

¿Dónde tomas la muestra dentro de cada franja?

Una suma de Riemann corta [a, b] en n franjas y da a cada una una sola altura, leída en un punto de muestreo dentro de ella. El punto que elijas — borde izquierdo, borde derecho o centro — cambia el resultado mientras n es pequeño. Lo notable es que al crecer n todas las elecciones se acercan al mismo número, y ese límite compartido es lo que significa la integral definida.

Extremo izquierdo — muestra al inicio de cada franja Σ f(x_i) Δx

Extremo derecho — muestra al final de cada franja Σ f(x_i+1) Δx

Punto medio — muestra en el centro de cada franja Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Trapecio — ambos extremos, promediados Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Extremo izquierdo — muestra al inicio de cada franja

Punto de muestreo: Altura leída en xᵢ, el borde izquierdo de la franja i. El valor en b nunca se usa.

Suma: Σ f(x_i) Δx

Con n pequeño: x² en [0, 2] con n = 4 da 1,75 frente al área real 2,667 — se queda muy corto.

Abrir este caso: izquierda gruesa

Extremo izquierdo — muestra al inicio de cada franja. Cada rectángulo toma su altura en su propio borde izquierdo, dejando fuera una cuña de curva. Altura leída en xᵢ, el borde izquierdo de la franja i. El valor en b nunca se usa. — Cada rectángulo toma su altura en su propio borde izquierdo, dejando fuera una cuña de curva.

Extremo derecho — muestra al final de cada franja

Punto de muestreo: Altura leída en xᵢ₊₁, el borde derecho de la franja i. El valor en a nunca se usa.

Suma: Σ f(x_i+1) Δx

Con n pequeño: Misma curva y n: 3,75 frente a 2,667 — ahora se pasa más o menos en lo que la suma izquierda perdía.

Abrir este caso: sesgo derecho

Extremo derecho — muestra al final de cada franja. Las mismas franjas muestreadas en el borde derecho: ahora cada rectángulo se pasa. Altura leída en xᵢ₊₁, el borde derecho de la franja i. El valor en a nunca se usa. — Las mismas franjas muestreadas en el borde derecho: ahora cada rectángulo se pasa.

Punto medio — muestra en el centro de cada franja

Punto de muestreo: Altura leída en el centro de la franja, sin privilegiar ningún borde.

Suma: Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Con n pequeño: Misma curva y n: 2,625 frente a 2,667 — un orden de magnitud más cerca que izquierda y derecha.

Abrir este caso: refinar n

Punto medio — muestra en el centro de cada franja. Muestrear en el centro deja que los dos errores de cada franja se cancelen. Altura leída en el centro de la franja, sin privilegiar ningún borde. — Muestrear en el centro deja que los dos errores de cada franja se cancelen.

Trapecio — ambos extremos, promediados

Punto de muestreo: Se usan los dos bordes de la franja y la parte superior se inclina entre ellos.

Suma: Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Con n pequeño: Misma curva y n: 2,75 frente a 2,667 — mejor que cualquiera de los extremos, aún por detrás del punto medio.

Abrir este caso: trapecio suave

Trapecio — ambos extremos, promediados. Una tapa inclinada que une ambos bordes: el promedio de los rectángulos izquierdo y derecho. Se usan los dos bordes de la franja y la parte superior se inclina entre ellos. — Una tapa inclinada que une ambos bordes: el promedio de los rectángulos izquierdo y derecho.

Problema resuelto al detalle

Estimación de ∫₀² x² d x con ocho rectángulos de punto medio 5 pasos
Estima ∫₀² x² dx con ocho rectángulos del punto medio. Después ve más allá de estimar: combina dos respuestas incorrectas para obtener la exacta.
1. Ocho franjas en una anchura de 2 dan Δx = 0,25, y la regla del punto medio toma la altura de cada rectángulo en el centro de su franja: 0,125, 0,375, etc. Evaluar en el centro no es una preferencia estética; es lo que permite lograr el paso 4.
  
  $Δ x = \frac{2 - 0}{8} = 0.25, x_{i}^{*} = 0.125, 0.375, \dots, 1.875$
2. Suma los cuadrados de los ocho puntos medios y multiplica por la anchura común. Hasta aquí nada es aproximado, salvo la decisión de emplear rectángulos.
  
  $M_{8} = 0.25 i = 1 \sum 8 (x_{i}^{*})^{2} = 0.25 \times 10.625 = 2.65625$
3. La integral exacta es 8/3, por lo que la estimación se queda corta en 0,0104167. Corta, y en una cantidad que conviene explicar en lugar de ignorar.
  
  $I = \int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{8}{3} = 2.66667 ⟹ M_{8} - I = - 0.0104167$
4. El error del punto medio es −(b − a)h²f″(ξ)/24. Para x² la segunda derivada es 2 en todas partes, por lo que no importa dónde esté ξ, y la fórmula deja de ser una cota para convertirse en una igualdad. Devuelve −1/96, que es el error con signo de la herramienta hasta el último dígito que muestra.
  
  $E_{M} = - \frac{( b - a ) h ^{2}}{24} f^{''} (ξ) = - \frac{2 ( 0.25 ) ^{2} ( 2 )}{24} = - \frac{1}{96} = - 0.0104167$
5. La regla del trapecio comete el error en sentido contrario y por exactamente el doble: un rectángulo del punto medio recorta tanto como añade, mientras que la cuerda de un trapecio queda totalmente por encima de una curva convexa. Pondéralas dos a uno y los errores se cancelan.
  
  $T_{8} = 2.6875, T_{8} - I = + 0.0208333 = - 2 (M_{8} - I) ⟹ \frac{2 M _{8} + T _{8}}{3} = 2.66667$
Respuesta

El punto medio da 2,65625 frente al valor real de 2,66667, acotado por las sumas inferior y superior que la herramienta muestra en 2,1875 y 3,1875. Pero conservemos la última línea: (2M + T)/3 = 8/3, exactamente, a partir de ocho franjas y sin evaluaciones adicionales. Esa combinación tiene nombre: es la regla de Simpson, y de aquí proviene. No es una forma más ingeniosa de dibujar rectángulos; es la constatación de que dos métodos rudimentarios fallan en una proporción fija, de modo que sus errores pueden cancelarse por construcción. Cambia la función a x³ y la herramienta mostrará un punto medio de 3,96875 y un trapecio de 4,0625; combínalos y obtendrás 4, exactamente, porque Simpson es exacta para cualquier función cúbica. Cambia a x⁴ y finalmente fallará, por 6 partes en 100 000.

$M_{8} = 2.65625, E = - \frac{1}{96} \frac{2 M + T}{3} = \frac{8}{3} exactly$

Ruta de aprendizaje

Por qué todo se ve recto de cerca

Lleva a Series de Taylor

Referencias (4)

The definition itself, in the paper it first appeared in: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe." Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13, 87–132, 1867 — the section that asks what an integral is to mean for a function with infinitely many discontinuities, and answers with the sum this tool draws.
Upper and lower sums, and the criterion for the two to meet: G. Darboux, "Mémoire sur les fonctions discontinues." Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure 4, 57–112, 1875.
How the definition was arrived at, and what it could not handle: D. M. Bressoud, A Radical Approach to Lebesgue’s Theory of Integration. Cambridge University Press, 2008.
Why medicine runs the trapezoid one way going up and another coming down: K. C. Yeh and K. C. Kwan, "A comparison of numerical integrating algorithms by trapezoidal, Lagrange, and spline approximation." Journal of Pharmacokinetics and Biopharmaceutics 6(1), 79-98, 1978.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-29

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

Todas las lecciones de Matemáticas →

Problemas de ejemplo

izquierda gruesa - Con 4 rectángulos por la izquierda bajo x² se obtiene 1,75, frente al valor exacto 2,666667. La combinación (2M + T)/3 de esas mismas 4 franjas es exacta.
refinar n - Con 40 franjas y la regla del punto medio, el error es 0,000417; con 8, es 0,010417. Al multiplicar las franjas por 5, la precisión se multiplica por 25.
trapecio suave - sin(x) se anula en ambos extremos de [0, π], por lo que las sumas izquierda, derecha y trapezoidal dan el mismo resultado: 1,983524. Solo difiere la del punto medio, con 2,008248.
sesgo de concavidad - Para e^x en [0, 1], el trapecio da 1,720519; el punto medio, 1,717164; y el valor exacto es 1,718282. El error del punto medio es la mitad y tiene el signo contrario.
intervalo invertido - Al integrar sin desde π hasta 0 se obtiene -2,005723. Invertir los límites solo cambia el signo, porque ahora la anchura de cada franja es negativa.
sesgo derecho - Con 6 rectángulos por la derecha se obtiene una estimación por exceso de 3,370370; con 6 por la izquierda, el resultado es 2,037037. Si la función es creciente, la respuesta siempre queda entre ambas.