Derivadas parciales y el gradiente

Arrastra el punto por el mapa de curvas de nivel. Las dos derivadas parciales son las pendientes en las direcciones de los ejes. Gira el selector de dirección: «Pendiente en esta dirección» indica la pendiente que notarías al caminar hacia allí.

La derivada parcial	$f_{x} (x, y) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h , y ) - f ( x , y )}{h}$
La pendiente en la dirección u	$D_{u} f = \nabla f \cdot u = ∣\nabla f ∣ cos (θ - θ_{g}) ∣\nabla f ∣ = f_{x}^{2} + f_{y}^{2}$
El plano tangente	$z = f (a, b) + f_{x} (a, b) (x - a) + f_{y} (a, b) (y - b)$
El criterio de la segunda derivada en un punto donde ∇f = 0 (D < 0: punto de silla)	$D = f_{xx} f_{y y} - f_{x y}^{2} D > 0, f_{xx} > 0 : min D > 0, f_{xx} < 0 : max$

Ejemplo resuelto — Derivadas parciales y el gradiente

Altura	3,5
∂f/∂x	3,000
∂f/∂y	4,000
Pendiente máxima \|∇f\|	5,000
Dirección más empinada	53,1°
Pendiente en este rumbo	3,000
Plano tangente	3x + 4y − 3,5

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — Derivadas parciales y el gradiente

Una derivada parcial de f(x, y) se obtiene derivando respecto de una variable mientras mantienes fija la otra: f_x es la pendiente de la superficie al caminar en la dirección del eje x; f_y, al caminar en la del eje y.

Qué significa cada símbolo

∇f: el gradiente, el vector (f_x, f_y)
θ: el ángulo de la dirección, en grados medidos desde el este
D: el discriminante f_xx f_yy − f_xy²

De dónde viene la fórmula

Mantén fija una variable. Para calcular f_x, considera y constante y deriva como de costumbre; para f_y, mantén fija x.
$f = 1.5 x^{2} + 2 y^{2} : f_{x} = 3 x, f_{y} = 4 y$
El gradiente. Las dos derivadas parciales forman un vector, ∇f. Apunta en la dirección de máxima subida, que señala la flecha de color del mapa, y su módulo es la pendiente máxima.
$\nabla f = (f_{x}, f_{y}), ∣\nabla f ∣ = f_{x}^{2} + f_{y}^{2}$
Cualquier otra dirección. La pendiente en una dirección θ es el producto escalar del gradiente y el vector unitario de esa dirección. Equivale a la pendiente máxima multiplicada por el coseno del ángulo entre ambas direcciones; en la dirección tangente a la curva de nivel vale 0.
$D_{u} f = f_{x} cos θ + f_{y} sin θ = ∣\nabla f ∣ cos (θ - θ_{g})$
El plano tangente. Cerca de un punto, la superficie se aproxima a un plano cuyas pendientes en las direcciones de los ejes son las dos derivadas parciales. Es la versión en dos variables de la recta tangente que viste en la página sobre derivadas.
$z = f (a, b) + f_{x} (a, b) (x - a) + f_{y} (a, b) (y - b)$
Cuando las dos derivadas parciales valen 0. El punto es crítico y puedes aplicar el criterio del discriminante D: si D > 0 y f_xx > 0, hay un mínimo; si D > 0 y f_xx < 0, un máximo; si D < 0, un punto de silla. Si D = 0, el criterio no permite concluir nada.
$D = f_{xx} f_{y y} - f_{x y}^{2}$

Problemas resueltos al detalle

Derivadas parciales de primer y segundo orden 4 pasos
Para f(x, y) = x³y² − 2xy + y³, calcula f_x, f_y y las tres derivadas parciales de segundo orden en (1, 2). Comprueba que las dos derivadas mixtas coinciden.

Abre este problema en la herramienta
1. Para calcular f_x, considera y constante; para calcular f_y, considera x constante:
  
  $f_{x} = 3 x^{2} y^{2} - 2 y, f_{y} = 2 x^{3} y - 2 x + 3 y^{2}$
2. En (1, 2):
  
  $f_{x} (1, 2) = 12 - 4 = 8, f_{y} (1, 2) = 4 - 2 + 12 = 14$
3. Deriva de nuevo. Puedes calcular la derivada parcial mixta en cualquiera de los dos órdenes:
  
  $f_{xx} = 6 x y^{2}, f_{y y} = 2 x^{3} + 6 y, f_{x y} = (f_{x})_{y} = 6 x^{2} y - 2 = (f_{y})_{x} = f_{y x}$
4. En (1, 2):
  
  $f_{xx} (1, 2) = 24, f_{y y} (1, 2) = 14, f_{x y} (1, 2) = f_{y x} (1, 2) = 10$
Respuesta

f_x = 8, f_y = 14, f_xx = 24, f_yy = 14 y f_xy = f_yx = 10. Las dos derivadas mixtas coinciden si son continuas en un entorno del punto. Es el teorema de Schwarz, también conocido como teorema de Clairaut; todos los polinomios cumplen esta condición.
Pendiente en una dirección y pendiente máxima 4 pasos
Para f(x, y) = x²y + y³, calcula la tasa de variación en (2, 1) en la dirección del vector (3, 4). Halla también la tasa de variación máxima en ese punto y la dirección en la que se alcanza.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Calcula primero el gradiente:
  
  $\nabla f = (2 x y, x^{2} + 3 y^{2}) \Rightarrow \nabla f (2, 1) = (4, 7)$
2. Para expresar la dirección necesitas un vector unitario. El módulo de (3, 4) es 5:
  
  $u = \frac{1}{5} (3, 4) = (0.6, 0.8), θ = atan2 (4, 3) = 53.1 3^{\circ}$
3. La derivada direccional se obtiene con el producto escalar:
  
  $D_{u} f = 4 (0.6) + 7 (0.8) = 2.4 + 5.6 = 8$
4. La tasa de variación máxima es el módulo del gradiente y se alcanza en su dirección:
  
  $∣\nabla f ∣ = 4^{2} + 7^{2} = 65 = 8.062, θ_{g} = atan2 (7, 4) = 60. 3^{\circ}$
Respuesta

8 en la dirección de (3, 4); el máximo es √65 = 8,062, en la dirección de 60,3°. Si olvidas dividir (3, 4) entre su módulo, obtienes 40, un resultado cinco veces mayor de lo debido. Es el error más frecuente en este ejercicio.
El plano tangente como aproximación 3 pasos
Halla el plano tangente a z = √(x² + y²) en (3, 4) y úsalo para aproximar √(3,02² + 3,97²).

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. En (3, 4), la altura es 5. Las derivadas parciales son x/√(x² + y²) e y/√(x² + y²):
  
  $f (3, 4) = 5, f_{x} = \frac{3}{5} = 0.6, f_{y} = \frac{4}{5} = 0.8$
2. Para obtener el plano tangente necesitas la altura y las dos pendientes:
  
  $z = 5 + 0.6 (x - 3) + 0.8 (y - 4) = 0.6 x + 0.8 y$
3. En (3,02; 3,97):
  
  $z = 0.6 (3.02) + 0.8 (3.97) = 1.812 + 3.176 = 4.988$
Respuesta

El plano tangente es z = 0,6x + 0,8y y da una aproximación de 4,988, frente al valor real de 4,988116. Cerca de (3, 4), la superficie es casi plana y el plano se ajusta bien a ella, igual que la recta tangente se ajustaba a una curva en la página sobre derivadas.
Puntos críticos y criterio de la segunda derivada 3 pasos
Halla y clasifica los puntos críticos de f(x, y) = x³ + y³ − 3xy.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Iguala las dos derivadas parciales a 0:
  
  $f_{x} = 3 x^{2} - 3 y = 0, f_{y} = 3 y^{2} - 3 x = 0$
2. De la primera ecuación obtienes y = x². Al sustituir en la segunda queda x⁴ = x, de donde x = 0 o x = 1:
  
  $y = x^{2} \Rightarrow x^{4} = x \Rightarrow x (x^{3} - 1) = 0 \Rightarrow (0, 0), (1, 1)$
3. Las derivadas parciales segundas son f_xx = 6x, f_yy = 6y y f_xy = −3. Aplica el criterio en cada punto:
  
  $D (0, 0) = 0 \cdot 0 - (- 3)^{2} = - 9 < 0, D (1, 1) = 6 \cdot 6 - (- 3)^{2} = 27 > 0, f_{xx} = 6 > 0$
Respuesta

(0, 0) es un punto de silla y (1, 1) es un mínimo local, con f(1, 1) = −1. La superficie alcanza alturas menores en otros lugares: a lo largo de la recta y = x, f = 2x³ − 3x², que decrece sin cota inferior cuando x → −∞.
Una ladera que sube 3 metros al este y 4 al norte 6 pasos
Estás en una ladera donde el terreno sube 3 metros por cada 100 recorridos hacia el este y 4 metros por cada 100 recorridos hacia el norte. ¿Cuál es la pendiente máxima de la ladera, en qué dirección baja y qué dirección debe seguir una carretera para subir con la mitad de esa pendiente?

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Esas dos mediciones son las derivadas parciales. Resulta más cómodo trabajar con 3 y 4 por cada 100 que con 0,03 y 0,04; el cálculo es equivalente.
  
  $f_{x} = 3, f_{y} = 4$
2. La pendiente máxima es el módulo del gradiente. Para obtenerla, aplica Pitágoras a las dos componentes: 3 y 4 dan 5. Esa es la pendiente que notas al caminar en la dirección de máxima subida.
  
  $∣\nabla f ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5$
3. Su dirección es atan2(4, 3), es decir, 53,1° medidos desde el este. La bajada sigue la dirección opuesta, a 233,1°. Ninguna de las mediciones se hizo en estas direcciones.
  
  $θ_{g} = atan2 (4, 3) = 53.1 3^{\circ}$
4. Para que la carretera tenga una pendiente de 2,5 por cada 100, usa la relación en sentido inverso. Si su dirección forma un ángulo θ con la de máxima pendiente, la pendiente es 5 cos θ. Por tanto, cos θ = 2,5/5 y θ = 60°.
  
  $D_{u} f = ∣\nabla f ∣ cos θ \Rightarrow cos θ = \frac{2.5}{5}, θ = 6 0^{\circ}$
5. La desviación necesaria es de 60°. Con 45° todavía subirías con una pendiente de 3,54 por cada 100, el 71 % de la máxima: bastante más de la mitad.
  
  $5 cos 4 5^{\circ} = 3.54 (71% of 5)$
6. La distancia recorrida también se deduce de ese coseno. Para ganar una altura fija con la mitad de pendiente, necesitas recorrer el doble de distancia horizontal, siempre que la pendiente se mantenga. Esa es la razón de las curvas en zigzag de las carreteras de montaña.
  
  $length \propto 1/ cos 6 0^{\circ} = 2$
Respuesta

La pendiente máxima de la ladera es de 5 m por cada 100 m; sube en la dirección de 53,1° y baja en la de 233,1°. Una carretera con pendiente de 2,5 m por cada 100 m debe desviarse 60° de la dirección de máxima pendiente y recorrer el doble de distancia. La herramienta resuelve la primera parte: elige cualquier dirección y obtendrás su pendiente. La segunda plantea el problema inverso, que aparece al trazar una carretera, aplicar una norma de accesibilidad para rampas o clasificar una pista de esquí. Si tengo un límite de pendiente, ¿qué dirección puedo seguir?
La dirección de pendiente nula y cuánto dura 6 pasos
En (1, 1), sobre la superficie 1,5x² + 2y², el panel indica una pendiente de 0,000 en la dirección de 143,1°. Calcula cómo cambia la altura si sigues caminando en esa dirección y decide si puedes mantenerte a la misma altura siguiéndola.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Esta dirección está a un cuarto de vuelta de la de máxima pendiente, 53,1°. Los dos términos del producto escalar valen −2,4 y +2,4, de modo que el indicador de pendiente marca 0,000.
  
  $D_{u} f = 3 cos 143.1 3^{\circ} + 4 sin 143.1 3^{\circ} = 3 (- 0.8) + 4 (0.6) = 0$
2. Una pendiente nula solo informa sobre la primera derivada. Calcula la segunda en esa misma dirección: es la forma cuadrática construida con las tres derivadas parciales segundas, en la que intervienen el coseno y el seno de ese ángulo.
  
  $D_{u}^{2} f = f_{xx} cos^{2} θ + 2 f_{x y} cos θ sin θ + f_{y y} sin^{2} θ$
3. En esta superficie, f_xx vale 3, f_yy vale 4 y la derivada mixta vale 0. Por tanto, la derivada segunda en la dirección de pendiente nula es 3,36. Al ser positiva, indica que el terreno se curva hacia arriba.
  
  $= 3 (0.64) + 0 + 4 (0.36) = 1.92 + 1.44 = 3.36$
4. La altura a lo largo de esa recta describe una parábola cuyo mínimo está donde te encuentras. Al avanzar media unidad, el terreno ha subido 0,42, de 3,5 a 3,92. El panel de cortes dibuja exactamente esa curva.
  
  $f (s) \approx 3.5 + \frac{1}{2} (3.36) s^{2} = 3.5 + 1.68 s^{2}; s = 0.5 : 3.92$
5. Puedes expresar este resultado mediante la curvatura de la curva de nivel. La curva que mantiene la altura se aparta de la tangente con una curvatura igual a la derivada segunda dividida entre el módulo del gradiente: 0,672. El radio de curvatura correspondiente es 1,488.
  
  $κ = \frac{D _{u}^{2} f}{∣\nabla f ∣} = \frac{3.36}{5} = 0.672, R = \frac{1}{κ} = 1.488$
6. La fórmula habitual de la curvatura de una curva de nivel da el mismo resultado a partir de las derivadas parciales, sin calcular ninguna dirección. Por ambos caminos obtienes exactamente 84/125.
  
  $κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{3 ( 16 ) + 4 ( 9 )}{125} = \frac{84}{125}$
Respuesta

No. Esa dirección tiene pendiente nula en el punto, pero al avanzar empiezas a subir. Tras caminar media unidad, has ganado 0,42 de altura, aunque la aproximación de primer orden daba 0. Las dos direcciones de pendiente nula son tangentes a la curva de nivel. Para mantener la altura tienes que girar continuamente, con un radio de curvatura de 1,488 en este punto. El panel te da la tangente; la curvatura permite valorar hasta dónde sirve como aproximación.

$κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{84}{125} = 0.672$

La colina es más empinada que cualquier cosa que hayas medido 🖖

Sitúate en (1, 1) sobre la superficie 1,5x² + 2y². Si caminas hacia el este, el terreno sube con pendiente 3. Hacia el norte, con pendiente 4. La pendiente máxima en ese punto es 5, en la dirección de 53,1°, por la que aún no has caminado. Una derivada parcial mide la pendiente en la dirección de un eje; la orientación de los ejes depende de cómo se haya colocado el papel. Para combinar ambas pendientes hay que aplicar el teorema de Pitágoras, de modo que la pendiente máxima es √(f_x² + f_y²). Nunca puede ser menor que el valor absoluto de cualquiera de las dos parciales, y es estrictamente mayor si ninguna es nula. La diferencia relativa es mayor cuando ambas son iguales: si mides una pendiente de 1 en cada eje, la pendiente máxima del terreno es 1,414, un 41 % más que cualquiera de las dos mediciones.

Todos los rumbos a la vez, y es un coseno 🖖

Da una vuelta completa al selector y observa el indicador de pendiente. Describe un coseno, |∇f| cos(θ − θ_g), donde θ_g es la dirección de máxima pendiente. Esta expresión recoge todo el comportamiento de primer orden de una superficie suave en un punto. En el mapa puedes ver una de sus consecuencias: siempre que el gradiente sea distinto de cero, hay dos direcciones con pendiente nula, a un cuarto de vuelta a cada lado de la de máxima pendiente. Ambas son tangentes a la curva de nivel. Por eso el camino de máxima subida cruza las curvas de nivel en ángulo recto, una relación que permite interpretar el mapa de un vistazo. El mismo coseno permite comprobar cuánto ahorras al desviarte de la subida más pronunciada. A 45° de esa dirección, todavía subes con el 71 % de la pendiente máxima. Para reducirla a la mitad hace falta desviarse bastante más.

Estar llano en ambas direcciones no significa la cima 🖖

Pulsa Ni máximo ni mínimo. Las dos derivadas parciales de x² − y² valen cero en el origen, pero el punto no es un máximo ni un mínimo: sobre el eje x ocupa el fondo de un valle; sobre el eje y, la cima de una cresta. Pulsa ahora Ambos ejes horizontales, que corresponde a la superficie xy. Los dos ejes son exactamente horizontales: el panel de secciones dibuja una recta horizontal tanto a 0° como a 90°. Aun así, el punto es de silla. El ascenso y el descenso aparecen en las diagonales, justo donde nadie había pensado mirar. Los casos se distinguen mediante el discriminante f_xxf_yy − f_xy², que vale −4 para la primera superficie y −1 para la segunda. Un valor negativo indica un punto de silla; uno positivo, un máximo o un mínimo, y el signo de f_xx permite decidir cuál. Para x³ − 3xy², el discriminante vale 0 y el criterio no permite concluir nada. De su origen salen tres sectores ascendentes y otros tres descendentes, invisibles para todas las derivadas segundas que intervienen en el cálculo.

Ruta de aprendizaje

Por qué todo se ve recto de cerca

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.