Derivadas parciales y el gradiente

Arrastra el punto por el mapa de curvas de nivel. Las dos derivadas parciales son las pendientes a lo largo de los ejes; gira el dial de rumbo y la última lectura te indicará la pendiente que sentirías al caminar en esa dirección.

Ejemplo resuelto — Derivadas parciales y el gradiente

∂f/∂x	3,000
∂f/∂y	4,000
Pendiente máxima \|∇f\|	5,000
Dirección más empinada	53,1°
Pendiente en este rumbo	3,000

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

La colina es más empinada que cualquier cosa que hayas medido 🖖

Sitúate en (1, 1) sobre 1,5x² + 2y². Camina hacia el este y el suelo sube a razón de 3. Camina hacia el norte y sube con una pendiente de 4. Ninguna de las dos es la pendiente más pronunciada en ese punto: la máxima es 5, en un rumbo de 53,1°, y no la has caminado. Una derivada parcial es la pendiente a lo largo de un solo eje y nada más. Los ejes son simplemente un accidente del lugar donde alguien decidió colocar el papel. Lo que los combina es Pitágoras en lugar de una suma, así que la pendiente máxima es √(f_x² + f_y²) y siempre supera a la mayor de las dos. La diferencia es máxima cuando ambas son iguales: si mides 1 a lo largo de cada eje, el terreno en realidad asciende a 1,414, un 41% más de lo que informó cualquiera de las dos mediciones.

Todos los rumbos a la vez, y es un coseno 🖖

Da una vuelta completa al dial y observa el valor de la pendiente. Describe un coseno, |∇f| cos(θ − θ_g), donde θ_g es la dirección de máxima pendiente. Así se comporta toda superficie suave en un punto. El mapa muestra una consecuencia: donde el gradiente no es cero, hay dos direcciones sin pendiente, situadas a un cuarto de vuelta a cada lado de la de máxima pendiente. Ambas siguen la curva de nivel. Por eso, el camino más empinado para subir una colina corta las curvas de nivel en ángulo recto y un mapa topográfico se interpreta de un vistazo. Este mismo coseno descarta un atajo que parece razonable. Si te desvías 45° de la línea de máxima pendiente, aún asciendes al 71% del gradiente total, no a la mitad; acortar por una ladera ahorra mucho menos de lo que parece.

Estar llano en ambas direcciones no significa la cima 🖖

Pulsa Ni máximo ni mínimo. Las dos derivadas parciales de x² − y² valen cero en el origen, pero el punto no es un máximo ni un mínimo: sobre el eje x ocupa el fondo de un valle; sobre el eje y, la cima de una cresta. Pulsa ahora Ambos ejes horizontales, que corresponde a la superficie xy. Los dos ejes son exactamente horizontales: el panel de secciones dibuja una recta horizontal tanto a 0° como a 90°. Aun así, el punto es de silla. El ascenso y el descenso aparecen en las diagonales, justo donde nadie había pensado mirar. Los casos se distinguen mediante el discriminante f_xxf_yy − f_xy², que vale −4 para la primera superficie y −1 para la segunda. Un valor negativo indica un punto de silla; uno positivo, un máximo o un mínimo, y el signo de f_xx permite decidir cuál. Para x³ − 3xy², el discriminante vale 0 y el criterio no permite concluir nada. De su origen salen tres sectores ascendentes y otros tres descendentes, invisibles para todas las derivadas segundas que intervienen en el cálculo.

Problemas resueltos al detalle

Pendiente de una ladera que sube 3 metros al este y 4 metros al norte 6 pasos
Estás en la ladera de una colina donde el terreno sube 3 metros por cada 100 avanzados hacia el este, y 4 metros por cada 100 avanzados hacia el norte. ¿Cuál es la pendiente de la colina, en qué dirección cae y qué rumbo debe tomar una carretera para subir con la mitad de esa pendiente?
1. Esas dos mediciones son las derivadas parciales. Mantenerlas como 3 y 4 por cada cien se lee más fácilmente que 0,03 y 0,04, y no cambia nada.
  
  $f_{x} = 3, f_{y} = 4$
2. La pendiente más pronunciada es la longitud del gradiente, que no es la suma de las partes ni la mayor de ellas. 3 y 4 dan 5, y 5 es lo que siente un caminante.
  
  $∣\nabla f ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5$
3. Su rumbo es atan2(4, 3), que equivale a 53,1° desde el este. La línea de máxima pendiente en bajada va en sentido opuesto, a 233,1°. No se midió nada en ninguna de las dos direcciones.
  
  $θ_{g} = atan2 (4, 3) = 53.1 3^{\circ}$
4. Para una carretera de 2,5 por cada cien, aplica la identidad a la inversa. La pendiente en un rumbo θ alejado de la línea de máxima pendiente es 5 cos θ, así que cos θ = 2,5/5 y θ = 60°.
  
  $D_{u} f = ∣\nabla f ∣ cos θ \Rightarrow cos θ = \frac{2.5}{5}, θ = 6 0^{\circ}$
5. 60, no 45. Una carretera a 45° todavía estaría subiendo a 3,54 por cada cien, que es el 71% de la máxima pendiente y ni de lejos la mitad.
  
  $5 cos 4 5^{\circ} = 3.54 (71% of 5)$
6. La longitud se obtiene con el mismo coseno. Para salvar un desnivel fijo con la mitad del gradiente hay que recorrer el doble de distancia, mientras se mantenga la pendiente. De ahí nacen las curvas cerradas de una carretera de montaña.
  
  $length \propto 1/ cos 6 0^{\circ} = 2$
Respuesta

La colina sube 5 m por cada 100 m en la dirección de 53,1° y baja en la de 233,1°; una carretera que mantenga 2,5 m por cada 100 m debe apartarse 60° de la dirección de máxima pendiente y recorrer el doble de distancia. La herramienta responde a la primera parte: oriéntala como quieras y te dará la pendiente. La segunda plantea el problema inverso, el que realmente importa al diseñar una carretera, aplicar una norma de accesibilidad para rampas o clasificar una pista de esquí. Si conozco el gradiente permitido, ¿qué dirección debo seguir?
El rumbo sin pendiente, y cuánto se mantiene llano 6 pasos
En (1, 1) sobre 1,5x² + 2y², el panel sitúa la pendiente en un rumbo de 143,1° con valor 0,000. Averigua qué hace el terreno si sigues caminando en esa dirección y decide si es un rumbo que podrías seguir para mantenerte a nivel.
1. Un cuarto de vuelta desde el rumbo de máxima pendiente, que está en 53,1°. Los dos términos del producto escalar salen −2,4 y +2,4, de modo que la tarjeta de la pendiente marca 0,000.
  
  $D_{u} f = 3 cos 143.1 3^{\circ} + 4 sin 143.1 3^{\circ} = 3 (- 0.8) + 4 (0.6) = 0$
2. Pendiente cero es una afirmación sobre la primera derivada y sobre nada más. Toma la segunda a lo largo del mismo rumbo. Es la forma cuadrática construida con las tres derivadas parciales segundas, con el mismo coseno y el mismo seno dentro.
  
  $D_{u}^{2} f = f_{xx} cos^{2} θ + 2 f_{x y} cos θ sin θ + f_{y y} sin^{2} θ$
3. En esta superficie f_xx vale 3, f_yy vale 4 y la parcial mixta es 0, así que la segunda derivada a lo largo del rumbo llano es 3,36. Positiva, de modo que el terreno se curva hacia arriba.
  
  $= 3 (0.64) + 0 + 4 (0.36) = 1.92 + 1.44 = 3.36$
4. La altura a lo largo de esa recta es, por tanto, una parábola con su punto más bajo justo donde estás. A media unidad, el terreno ha subido 0,42, de 3,5 a 3,92, y el panel del corte dibuja exactamente esa curva.
  
  $f (s) \approx 3.5 + \frac{1}{2} (3.36) s^{2} = 3.5 + 1.68 s^{2}; s = 0.5 : 3.92$
5. Conviértelo en una propiedad de la curva de nivel. La curva que sí mantiene la altura se aparta de la tangente con una curvatura igual a la segunda derivada dividida entre el gradiente: 0,672, que corresponde a un radio de 1,488.
  
  $κ = \frac{D _{u}^{2} f}{∣\nabla f ∣} = \frac{3.36}{5} = 0.672, R = \frac{1}{κ} = 1.488$
6. La fórmula habitual para la curvatura de un conjunto de nivel da el mismo número solo a partir de las parciales, sin que aparezca rumbo alguno. Dos caminos, una respuesta, y es exactamente 84/125.
  
  $κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{3 ( 16 ) + 4 ( 9 )}{125} = \frac{84}{125}$
Respuesta

No. Ese rumbo es llano durante un instante y luego sube. Camina media unidad por él y habrás ganado 0,42, donde la primera derivada predecía 0. Los dos rumbos de pendiente cero son tangentes a la curva de nivel y no la curva de nivel misma, y mantenerse a nivel exige girar de forma continua, sobre una circunferencia de radio 1,488 en este punto. El panel te da la tangente; la curvatura dice hasta dónde merece la pena fiarse de ella.

$κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{84}{125} = 0.672$

Ruta de aprendizaje

Por qué todo se ve recto de cerca

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-09-03

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

3 este, 4 norte - En (1, 1) el terreno sube 3 hacia el este y 4 hacia el norte. Al dirigirte al este, el indicador de pendiente marca 3. La pendiente más pronunciada disponible aquí es 5, en un rumbo de 53,1°, y ninguna de las dos mediciones apuntaba en esa dirección.
Sobre la curva de nivel - Es el mismo punto y el mismo gradiente de 5, pero ahora la pendiente marca 0. Un rumbo de 143,1° recorre la curva de nivel, que se cruza con la dirección más pronunciada en ángulo recto.
Ni cima ni valle - Ambas derivadas parciales son cero y el punto no es ni un pico ni un pozo. El discriminante es −4. En un rumbo de 0° el corte transversal es el fondo de un valle; a 90° el mismo punto es la cima de una cresta.
Ambos ejes llanos - En xy ambos ejes están exactamente nivelados. El panel de corte dibuja una línea plana a 0° y otra vez a 90°, pero el punto sigue siendo un punto de silla, con un discriminante de −1. La subida y la bajada se encuentran en las diagonales.
Prueba no concluyente - Aquí se anulan todas las derivadas segundas, por lo que el discriminante vale 0 y el criterio no permite concluir nada. De este punto salen tres sectores ascendentes y otros tres descendentes.