Radio de convergencia

La serie de Taylor de 1/(1 + x²) centrada en a converge solo a una distancia R de a. Mueve el grado, el punto x₀ y el centro, y observa la gráfica real y el plano complejo a la vez: el disco en el plano decide dónde te puedes fiar de la curva.

Ejemplo resuelto — Radio de convergencia

Radio de convergencia, R	1,000000
Dónde converge la serie	−1,000000 < x < 1,000000
A qué distancia está x₀, en radios	1,1000
Polinomio de grado 80 en x₀	1121,975
La función en x₀	0,4524887
Error del polinomio	1121,522
Cota máxima del error	1515,693

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Lección

La teoría — Radio de convergencia

El radio de convergencia de una serie de potencias Σ c_n(x − a)ⁿ es el número R para el cual la serie converge cuando |x − a| < R y diverge cuando |x − a| > R. Para 1/(1 + x²), R es la distancia desde a hasta el punto más cercano del plano complejo donde la función se dispara, i o −i, de modo que R = √(1 + a²).

Qué significa cada símbolo

R: el radio de convergencia centrado en a, |a − i| = √(1 + a²)
q: (a − x)/(a − i); su magnitud |x − a|/R indica a cuántos radios del centro se encuentra x

De dónde viene la fórmula

De dónde salen los coeficientes. Divide 1/(1 + z²) en (1/2i)[1/(z − i) − 1/(z + i)]. Cada parte es una serie geométrica centrada en a: 1/(z − i) = 1/((a − i) + (z − a)) = Σ (−1)ⁿ(z − a)ⁿ/(a − i)ⁿ⁺¹, que converge precisamente cuando |z − a| < |a − i|. La otra parte es idéntica con a + i, a la misma distancia, por lo que ambas se detienen en R = √(1 + a²).
Por qué el error es una potencia de q. Una serie geométrica detenida tras N + 1 términos deja q^N+1 veces el total como resto, con lo cual f(x) − T_N(x) = Im[q^N+1/(x − i)] de forma exacta. Su magnitud es como mucho |q|^N+1/√(1 + x²): se extingue como una sucesión geométrica cuando |q| < 1, crece como una cuando |q| > 1, y en |q| = 1 ni se extingue ni crece.

Sin problemas en la recta real, pero la serie muere en el 1 🖖

Pulsa Justo pasado el 1. 1/(1 + x²) es todo lo dócil que puede ser una función: positiva, nunca supera el 1, con derivadas de cualquier orden para todo número real. Pese a ello, el grado 80 centrado en 0 da 1.121,975 en x = 1,1, donde la curva vale 0,4524887, y añadir términos lo empeora: cada dos grados el error se multiplica por 1,21. Pulsa Justo antes del 1: 0,9 está a la misma distancia de 1 por el otro lado, y el mismo grado se desvía en 9,777×10⁻⁵. Nada en x = 1 explica la diferencia; la curva pasa por allí en ½ sin ningún quiebro. El panel inferior sí lo explica. Considera x como un número complejo z, y 1/(1 + z²) se vuelve infinita donde z² = −1, en i y −i, a exactamente 1 de distancia del centro.

El radio es la distancia hasta i, centres donde centres la serie 🖖

Arrastra el centro a por el eje real en el panel inferior. El disco crece y encoge para que su borde pase siempre por i y −i, R = √(1 + a²), y la banda sombreada de la gráfica real de arriba es la sombra del disco sobre el eje real. Pulsa Centro en 1: R = 1,414214, de manera que la serie converge desde −0,414214 hasta 2,414214. En x = 2, donde la serie centrada en 0 daba 9,671×10²³, el grado 80 apenas se desvía en 2,728×10⁻¹³. Ningún extremo de ese intervalo tiene nada de especial en la recta real. Ambos son solo el punto donde una circunferencia alrededor de 1, trazada por los dos polos, acaba cruzando el eje real.

Sobre la propia circunferencia la serie ni se asienta ni se descontrola 🖖

Pulsa En el borde. En x = 1 la serie centrada en 0 se transforma en 1 − 1 + 1 − 1 + …, la serie de Grandi: grado tras grado sus sumas parciales son 1, 1, 0, 0, 1, 1, …, y nunca se asientan ni crecen jamás. Allí la función vale ½. La última fila de los resultados promedia las sumas parciales. Dicho promedio, 0,5061728 en el grado 80, se aproxima exactamente a ese ½.

Problema resuelto al detalle

La serie falla en x = 1. ¿Qué pasa con su integral? 4 pasos
Integra el polinomio de grado 80 de 0 a 1, término a término, y compáralo con el área real bajo 1/(1 + x²). En x = 1 la propia serie nunca se asienta. ¿Qué pasa con el área?

Abre este problema en la herramienta
1. El área real es una arcotangente:
  
  $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctan 1 = \frac{π}{4} = 0.7853982$
2. Término a término, cada x^2k se convierte en 1/(2k + 1):
  
  $\int_{0}^{1} T_{80} d x = \int_{0}^{1} (1 - x^{2} + x^{4} - \dots + x^{80}) d x = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots + \frac{1}{81} = 0.7914948$
3. La diferencia es la integral del error, que la serie geométrica da de forma exacta, y 1/(1 + x²) está entre ½ y 1 en [0, 1]:
  
  $\int_{0}^{1} (T_{80} - f) d x = \int_{0}^{1} \frac{x ^{82}}{1 + x ^{2}} d x \in (\frac{1}{166}, \frac{1}{83}) = (0.0060241, 0.0120482); 0.0060967$
4. Esa cota tiende a 0 a medida que crece el grado, por lo que la serie alternada de recíprocos impares converge, y hacia π/4:
  
  $0 < \int_{0}^{1} \frac{x ^{2 k + 2}}{1 + x ^{2}} d x < \frac{1}{2 k + 3} \to 0 \Rightarrow 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \frac{π}{4}$
Respuesta

El área converge allí donde la serie no lo hizo: 0,7914948 frente a π/4 = 0,7853982, y cada par de grados adicional acorta la brecha. Converge despacio, estando el error tras n términos cerca de 1/(4n), de modo que un error de una millonésima requiere unos 250.000 términos. También converge solo condicionalmente, ya que 1 + ⅓ + ⅕ + … diverge, siendo exactamente el tipo de serie que Riemann demostró que puede reordenarse para sumar cualquier valor. En ese mismo ensayo de 1854 señaló que las series de potencias de una variable convergen de forma absoluta, a excepción de ciertos valores individuales de la variable; x = 1 es uno de esos valores.

$0.7914948 - 0.7853982 = 0.0060967 \approx \frac{1}{4 \times 41}; 1 0^{- 6} needs \approx 250, 000 terms$

Ruta de aprendizaje

Series infinitas y convergencia

Referencias (2)

The theorem the page draws, that a function holomorphic on a region can be expanded about any point into a power series whose radius is at least the distance to the region's boundary, and this page's own example, 1/(z² + 1) about 0, radius 1 because of the singularities at ±i: M. Beck, G. Marchesi, D. Pixton and L. Sabalka, A First Course in Complex Analysis, edition 1.6 (2025), open textbook, Corollary 8.1.10 and Example 8.1.11.
Riemann's remark, in the essay where he gave the rearrangement theorem, that series in rising powers of a variable belong to the class that converges absolutely, single values of the variable excepted: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe", Habilitationsschrift, Göttingen 1854; published by R. Dedekind in Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13 (1867), §3. Transcribed by D. R. Wilkins, Trinity College Dublin.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.