Calculadora de números complejos

Realiza operaciones con números complejos y observa los resultados en el plano de Argand.

Ejemplo resuelto — Calculadora de números complejos

z2	1+2i
Resultado	4+4i

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Multiplicar por el conjugado tira la parte imaginaria a propósito 🖖

La preselección conjugate multiplica 3 + 2i por 3 − 2i y el resultado es 13, sin parte imaginaria alguna. No es un par especial: (a + bi)(a − bi) siempre se reduce a a² + b², porque los términos cruzados son +abi y −abi. Y 13 es exactamente 3² + 2², es decir |z|², el cuadrado de la distancia al origen que la herramienta dibuja en el plano. En esto se basa toda la división compleja: se multiplica arriba y abajo por el conjugado y el denominador se vuelve real.

Un punto, dos direcciones 🖖

Un número complejo es simplemente un punto del plano. La forma binómica a + bi lo nombra por coordenadas — tanto a la derecha, tanto hacia arriba —, mientras que la forma polar r∠θ lo nombra por distancia y dirección desde el origen. El mismo punto, dos etiquetas; activa la forma polar para ver ambas a la vez. Regla práctica: usa la forma binómica para sumar y la polar para multiplicar o elevar a una potencia.

Imaginarios nacidos para hallar respuestas reales 🖖

Los números complejos no se inventaron para resolver x² + 1 = 0; a nadie le quitaba el sueño. Los impusieron las ecuaciones cúbicas. La fórmula de Cardano de 1545 para x³ = px + q a veces pasa por raíces cuadradas de números negativos, incluso cuando las tres soluciones son números reales corrientes. En 1572 Bombelli mostró que esas cantidades «imposibles» se cancelan y dan las respuestas reales correctas. Lo imaginario fue un rodeo hacia lo real.

Multiplicar por i es un cuarto de vuelta 🖖

La multiplicación suma los argumentos y multiplica los módulos. Multiplicar por i — que está en |z| = 1, arg = 90° — es por tanto un cuarto de vuelta y nada más. Pon 3 + 2i en z₁ e i en z₂ y la respuesta es −2 + 3i; escribe −2 y 3 de vuelta en z₁ y el panel marca arg(z₁) = 123.7° frente a los 33.7° anteriores, con |z₁| = 3.606 en ambos casos. Girado, no estirado. El ajuste De Moivre n=4 es esa misma regla cuatro veces: 45° a la cuarta cae en −1 + 0i, es decir 180°. El panel muestra |z₁| y arg(z₁) solo para z₁, así que ver cómo se suman los ángulos exige devolver la respuesta a la primera casilla.

Problema resuelto al detalle

Multiplicando 3 + 2i por su conjugado para demostrar un producto 5 pasos
Multiplique 3 + 2i por su conjugado y, a continuación, convierta el resultado en una demostración de que el producto de dos sumas de dos cuadrados es también una suma de dos cuadrados. Se trata de Multiplicar con z₁ = 3 + 2i y z₂ = 3 − 2i.
1. Los dos términos cruzados son iguales y opuestos, por lo que se anulan. Lo que queda es el −b²i², que cambia de signo y pasa a sumar en lugar de restar; así, un par conjugado siempre da al multiplicarse un número real, y dicho número se obtiene elevando al cuadrado.
  
  $(a + bi) (a - bi) = a^{2} - b^{2} i^{2} = a^{2} + b^{2} ⟹ (3 + 2 i) (3 - 2 i) = 9 + 4 = 13$
2. Ese número real ya tiene un nombre. El módulo es la distancia al origen, de modo que |z|² es a² + b² por Pitágoras, y el 3,606 del panel es √13 redondeado al alza en el tercer decimal.
  
  $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2} = 13 = 3.605551, z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2} = 13$
3. Consideremos ahora el producto general de dos números complejos, donde i² = −1 pasa un término al otro lado para unirse a la parte real. Aquí todavía no aparece ningún módulo.
  
  $(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$
4. Apliquemos el paso 1 a ese producto. Un segundo par de términos cruzados, −2abcd y +2abcd, se anula en el desarrollo, y los cuatro términos que sobreviven se factorizan en dos paréntesis. Cada letra es un entero si así se desea, y nada en la última línea menciona i.
  
  $(a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2} = a^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} = (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})$
5. Así pues, un par de parejas de enteros produce una tercera. 3 + 2i lleva asociado el 13 y 1 + 2i lleva asociado el 5; su producto lleva asociado el 65. Conjugar el segundo factor lo refleja respecto al eje real y proporciona un par diferente con la misma suma.
  
  $(3 + 2 i) (1 + 2 i) = - 1 + 8 i : 1^{2} + 8^{2} = 65 = 13 \times 5; (3 + 2 i) (1 - 2 i) = 7 - 4 i : 7^{2} + 4^{2} = 65$
Respuesta

El panel muestra el producto conjugado como 13 y el módulo como 3,606, y 3,606² = 13,003 se debe al redondeo y no a un desacuerdo. Lo que merece la pena conservar es que la identidad sobrevive tras borrar los números complejos: (a² + b²)(c² + d²) = (ac − bd)² + (ad + bc)² es un enunciado sobre cuatro enteros en el que ya no queda ninguna i. Diofanto dejó constancia de este mismo número en el siglo III —observó que 65 se descompone como 1 + 64 y como 16 + 49 porque es 13 × 5 y cada factor es a su vez una suma de dos cuadrados— unos trece siglos antes de que Cardano escribiera por primera vez la raíz cuadrada de un número negativo. Dos factores primos, dos representaciones: el 13 por sí solo únicamente tiene 9 + 4, y el 5 por sí solo únicamente tiene 1 + 4. La multiplicación compleja es la máquina que fabrica la segunda representación, y el conjugado es la palanca que conmuta entre ambas.

$(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2}$

Ruta de aprendizaje

Más allá de la cuadrática

Lleva a División de polinomios

Referencias (1)

Insight block 3 — the cubic that made imaginary numbers unavoidable: G. Cardano, Artis Magnae, sive de Regulis Algebraicis. Nuremberg, 1545, chapter XXXVII. R. Bombelli, L'Algebra, Book I. Bologna, 1572 — where the "impossible" quantities are shown to cancel and leave the real roots.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Multiplicar por i - Nuestro z₁ = 1 tiene módulo 1 y argumento 0°. Al multiplicar por i, la pantalla muestra 0+1i. No ha habido ningún estiramiento. El módulo sigue siendo 1 y el argumento ha girado un cuarto de vuelta. Esto es todo lo que i le hace a cualquier número. Y por eso i² = −1, porque son dos cuartos de vuelta.
De Moivre n=4 - Como arg(z₁) marca 45° y |z₁| vale 1, la cuarta potencia cae exactamente en −1+0i. Elevar a un exponente multiplica el argumento y deja el módulo unitario donde estaba. Sin embargo, ten cuidado con los redondeos. Ese 0,707 es una simple aproximación a dos decimales de 1/√2. El módulo verdadero es apenas inferior a 1, pero la pantalla lo ha disimulado.
Raíces 4as - Las cuatro raíces cuartas de 1 se muestran como 1+0i, 0+1i, −1+0i y 0−1i. Son precisamente las esquinas de un cuadrado en la circunferencia unidad. Si las sumas, obtendrás 0. Esto mismo se cumple para las raíces n-ésimas de la unidad con cualquier n mayor que 1. El motivo es que todas ellas forman los vértices de un polígono regular centrado en el origen.
Par conjugado - |z₁| indica 3,606 y (3+2i)(3−2i) muestra 13+0i. Es el módulo al cuadrado, 3² + 2², sin rastro de la parte imaginaria. El producto de un par conjugado siempre es un número real. Aquí reside todo el truco para dividir por un número complejo. Multiplicas arriba y abajo por el conjugado y transformas el denominador en un valor real.