Explorador de funciones racionales

Las funciones racionales exponen la tensión entre las raíces del numerador (ceros) y del denominador (polos). Al acercarse a un polo, la función detona hacia el infinito. La proporción de los polinomios determina las asíntotas horizontales.

La herramienta calcula f(x)=k(x−z)/(x−p): la distancia a un cero dividida por la distancia a un polo, escalada por k. Elijas los valores que elijas, la gráfica conserva siempre la misma forma: una hipérbola, la mismísima curva de y=1/x. Mover z y p solo la desplaza; cambiar k la estira e invierte hacia dónde se abren las dos ramas. Conclusión: quien domina y=1/x las domina todas.

Escrita como (ax+b)/(cx+d), toda función con un cero y un polo es una transformación de Möbius — las aplicaciones que gobiernan el análisis complejo y la geometría hiperbólica. Añade un único punto en el infinito (la esfera de Riemann) y el polo deja de ser una catástrofe: x=p simplemente se aplica a ese nuevo punto, y x=∞ a la asíntota horizontal y=k. Sobre la esfera la función es una biyección suave y reversible; la «explosión» es solo un artefacto del mapa plano.