Explorador de funciones racionales

mueve el cero, el polo y la ganancia, y observa cómo cambia la geometría de las ramas

Ejemplo resuelto — Explorador de funciones racionales

\|z − p\|	3
Intersección con el eje x	1
Asíntota vertical	-2
Asíntota horizontal	1

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Pon el cero sobre el polo y la divergencia desaparece 🖖

Arrastra el cero hasta que quede exactamente sobre el polo y ocurre algo curioso: la curva deja de explotar y se aplana en una recta horizontal. Con z = p el factor (x − z) cancela el denominador por completo y queda la constante k en todas partes — excepto en x = p, donde la fórmula original sigue dividiendo por cero. Así que la gráfica es una recta con un punto perforado, y esta herramienta pasa de informar de una asíntota a informar de un hueco en (p, k). Una raíz del denominador solo es un polo si el numerador no la cancela; en caso contrario es un hueco evitable, invisible a cualquier nivel de zoom.

Aquí toda curva es una hipérbola 🖖

La herramienta calcula f(x)=k(x−z)/(x−p): la distancia a un cero dividida por la distancia a un polo, escalada por k. Elijas los valores que elijas, la gráfica conserva siempre la misma forma: una hipérbola, la mismísima curva de y=1/x. Mover z y p solo la desplaza; cambiar k la estira e invierte hacia dónde se abren las dos ramas. Conclusión: quien domina y=1/x las domina todas.

Un polo solo es infinito por elección 🖖

Escrita como (ax+b)/(cx+d), toda función con un cero y un polo es una transformación de Möbius — las aplicaciones que gobiernan el análisis complejo y la geometría hiperbólica. Añade un único punto en el infinito (la esfera de Riemann) y el polo deja de ser una catástrofe: x=p simplemente se aplica a ese nuevo punto, y x=∞ a la asíntota horizontal y=k. Sobre la esfera la función es una biyección suave y reversible; la «explosión» es solo un artefacto del mapa plano.

FUNCIONES RACIONALES — ¿DÓNDE EXPLOTA LA GRÁFICA Y DÓNDE SE ASIENTA?

¿En qué caso de función racional está?

En f(x) = k(x − z)/(x − p) solo hay tres números, y cada uno es dueño de un rasgo de la gráfica. El cero z es donde la curva cruza el eje. El polo p es donde se anula el denominador y la curva se va al infinito. La ganancia k es el valor en el que se asienta lejos de ambos. Lea esos tres en la fórmula y habrá esbozado la gráfica antes de dibujar un solo punto.

Bien separados: una asíntota vertical, una horizontal y un corte x = p, y = k

Polo y cero muy juntos: un pico violento entre ellos |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞

Ganancia negativa: el mismo esqueleto con las ramas intercambiadas k < 0 ⇒ f → −f

Polo y cero casi encima uno de otro: casi un agujero (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

Bien separados: una asíntota vertical, una horizontal y un corte

Lo que sabe: Un polo y un cero a distancia cómoda. La asíntota vertical está en x = p, la horizontal en y = k, y la curva corta el eje en x = z.

Rasgo: x = p, y = k

Ejemplo resuelto: f(x) = (x − 1)/(x + 2): asíntota en x = −2, corte en x = 1 y f → 1 lejos en ambas direcciones. En x = 0 el valor es −0,5.

Abrir este caso: básico

Bien separados: una asíntota vertical, una horizontal y un corte. El polo y la ganancia dibujan las dos asíntotas; el cero fija dónde cruza la curva. Un polo y un cero a distancia cómoda. La asíntota vertical está en x = p, la horizontal en y = k, y la curva corta el eje en x = z. — El polo y la ganancia dibujan las dos asíntotas; el cero fija dónde cruza la curva.

Polo y cero muy juntos: un pico violento entre ellos

Lo que sabe: La misma forma, pero el polo queda cerca del cero. La curva tiene que ir del eje al infinito en poca distancia, así que sube muy empinada.

Rasgo: |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞

Ejemplo resuelto: f(x) = 1,4(x − 0,5)/(x − 0,2): el polo en 0,2 está a solo 0,3 del cero en 0,5, y f(0) ya vale 3,5 frente a un valor lejano de 1,4

Abrir este caso: polo pronunciado

Polo y cero muy juntos: un pico violento entre ellos. Una separación corta entre polo y cero obliga a la curva a pasar por una excursión estrecha y empinada. La misma forma, pero el polo queda cerca del cero. La curva tiene que ir del eje al infinito en poca distancia, así que sube muy empinada. — Una separación corta entre polo y cero obliga a la curva a pasar por una excursión estrecha y empinada.

Ganancia negativa: el mismo esqueleto con las ramas intercambiadas

Lo que sabe: Una k negativa refleja toda la curva respecto al eje horizontal. Las asíntotas no se mueven; lo que cambia es la esquina que ocupa cada rama.

Rasgo: k < 0 ⇒ f → −f

Ejemplo resuelto: f(x) = −(x + 1,5)/(x − 1,2): asíntota en x = 1,2, corte en x = −1,5, asíntota horizontal en y = −1 y f(0) = 1,25

Abrir este caso: ganancia negativa

Ganancia negativa: el mismo esqueleto con las ramas intercambiadas. Las asíntotas siguen donde estaban, pero cada rama se ha ido al lado opuesto. Una k negativa refleja toda la curva respecto al eje horizontal. Las asíntotas no se mueven; lo que cambia es la esquina que ocupa cada rama. — Las asíntotas siguen donde estaban, pero cada rama se ha ido al lado opuesto.

Polo y cero casi encima uno de otro: casi un agujero

Lo que sabe: Cuando z y p están muy cerca, los factores casi se cancelan. Fuera de ese entorno la función se parece a la constante k, y el polo sobrevive como un pico finísimo.

Rasgo: (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

Ejemplo resuelto: f(x) = (x − 1)/(x − 1,12): solo 0,12 de separación, así que f(0) = 0,893, cerca del valor lejano 1, y aun así la asíntota en x = 1,12 sigue ahí

Abrir este caso: casi cancelado

Polo y cero casi encima uno de otro: casi un agujero. Casi una constante en todas partes, salvo en la ventana estrecha donde el polo aún gana. Cuando z y p están muy cerca, los factores casi se cancelan. Fuera de ese entorno la función se parece a la constante k, y el polo sobrevive como un pico finísimo. — Casi una constante en todas partes, salvo en la ventana estrecha donde el polo aún gana.

Error de intuición habitual

Un cero cercano a un polo no elimina automáticamente la inestabilidad. Una cancelación casi exacta puede seguir siendo numéricamente sensible.

Problema resuelto al detalle

La curva que alcanza su asíntota horizontal en y = 1 5 pasos
f(x) = (x − 1)/(x + 2) tiene una asíntota horizontal en y = 1. Calcula si la curva llega a alcanzarla realmente en algún momento.
1. El cero y el polo se leen directamente a partir de la forma factorizada: el numerador se anula en 1 y el denominador en −2.
  
  $f (x) = 0 ⟺ x = 1; x + 2 = 0 ⟺ x = - 2 (vertical asymptote)$
2. Para valores grandes de |x|, tanto el numerador como el denominador están dominados por sus términos en x, de modo que el cociente tiende a la razón de los coeficientes principales. Esa es la asíntota horizontal, que aquí vale 1.
  
  $x \to \pm \infty lim \frac{x - 1}{x + 2} = \frac{1}{1} = 1 (horizontal asymptote)$
3. Ahora planteamos la pregunta directamente en lugar de estimar a ojo sobre la gráfica: igualamos la función a su asíntota y resolvemos.
4. La variable x se cancela y se obtiene −1 = 2, lo cual es falso para todo x. Por tanto, la curva nunca toca y = 1: ni a gran distancia ni en ningún punto.
  
  $\frac{x - 1}{x + 2} = 1 ⟺ x - 1 = x + 2 ⟺ - 1 = 2 — no solution$
5. La asíntota vertical se comporta de forma opuesta. Justo a la izquierda de −2 la función vale −299; justo a su derecha, +301. No se aproxima a un mismo valor por ambos lados, sino que diverge en sentidos opuestos.
  
  $f (- 1.99) = - 299, f (- 2.01) = + 301$
Respuesta

La herramienta muestra un punto de corte con el eje x en 1, una asíntota vertical en −2 y una horizontal en 1. La conclusión con la que conviene quedarse es que una asíntota horizontal no es una barrera: esta curva en concreto no la alcanza nunca, pero eso es una propiedad de esta función y no una regla general. Si se cambia el numerador por x − 1 + algo que se anule, la curva puede cruzar su asíntota horizontal libremente, incluso de forma reiterada. Las asíntotas verticales sí son estrictas: la función no está definida en ellas, por lo que nunca se pueden cruzar. Confundir ambas es el error más común en este tema, y una sola línea de álgebra lo resuelve siempre.

$the curve approaches y = 1 and never reaches it; the pole flips sign$

Ruta de aprendizaje

Más allá de la cuadrática

Referencias (2)

Why k(x−z)/(x−p) is a Möbius map, and why circles and lines are the only shapes it produces: T. Needham, Visual Complex Analysis, Chapter 3: Möbius Transformations and Inversion. Oxford University Press, 1997.
The asymptotes as ordinary behaviour at a point, once infinity is a point: L. V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition. McGraw-Hill, 1979 — rational functions on the extended plane.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-27

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

básico - Forma básica con un cero y un polo, con asíntotas bien definidas.
polo pronunciado - Un polo cercano al origen genera una divergencia local muy pronunciada.
ganancia negativa - Una ganancia negativa invierte la orientación de las ramas respecto a las asíntotas.
casi cancelado - Una cancelación casi exacta entre cero y polo imita localmente un comportamiento evitable.