Desarrollo y factorización

Modifica los paréntesis y observa el rectángulo. Las cuatro piezas son los cuatro términos. Cambiar a la factorización plantea la misma pregunta desde el lado opuesto.

Ejemplo resuelto — Desarrollo y factorización

Discriminante	1 (un cuadrado perfecto)

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Las cuatro letras de FOIL corresponden a cuatro rectángulos 🖖

Coloca un rectángulo de lados x + 2 y x + 3 junto al desarrollo. Se divide en cuatro piezas porque cada lado se divide en dos: x², dos franjas de 3x y 2x, y un 6 en la esquina. Esas cuatro áreas son los cuatro términos. Su suma es el área total, que es exactamente lo que significa desarrollar. El orden en que las calculas carece de importancia. Por eso funciona cualquier regla de memoria y por eso ninguna resulta necesaria. Arrastra un coeficiente para hacerlo negativo y una franja se mueve fuera del bloque, quedando rayada. Un área negativa es una resta. El diagrama sigue funcionando a la perfección, algo que no podemos decir de los trucos de memoria.

La factorización es la misma imagen, y por eso resulta más difícil 🖖

Cambia a Factorizar y la pregunta se invierte: esta es el área, ¿cuáles eran los lados? No aparece ninguna idea nueva. Lo que cambia es que desarrollar exige hacer un cálculo, mientras que factorizar exige buscar: conoces la suma de las cuatro piezas y tienes que encontrar una disposición que forme un rectángulo. Por esa asimetría, una dirección se enseña como un procedimiento y la otra, como una destreza. Es también lo que hace que multiplicar dos números primos sea fácil, pero que descomponer su producto en factores constituya la base de RSA.

Una prueba indica si vale la pena iniciar la búsqueda 🖖

Antes de buscar factores, calcula b² − 4ac. Si es un cuadrado perfecto, el trinomio se puede factorizar sobre los enteros. Si no lo es, no existe ninguna disposición posible, por mucho que pruebes. Pulsa Uno que no factoriza: x² + x + 1 tiene discriminante −3, así que ese rectángulo sencillamente no existe. Este es el mismo discriminante que determina cuántas raíces tiene una ecuación cuadrática, y no es casualidad: los lados del rectángulo son las raíces bajo otra apariencia, y buscar lados enteros equivale a buscar raíces racionales. Al recorrer todos los trinomios con a entre 1 y 8, y b y c entre −12 y 12, aparecen 733 con discriminante cuadrado perfecto; los 733 se pueden factorizar.

Problemas resueltos al detalle

Factorizar 6x² + 5x − 4 para decir si funciona 7 pasos
Factoriza 6x² + 5x − 4, y di de antemano si iba a funcionar.
1. Calcula primero el discriminante. Solo cuesta una línea y decide si hay algo que encontrar.
  
  $b^{2} - 4 a c = 5^{2} - 4 (6) (- 4) = 25 + 96 = 121$
2. Ciento veintiuno es 11², así que existe una factorización en los enteros. Ahora sí vale la pena realizar la búsqueda.
  
  $121 = 1 1^{2}$
3. Las raíces derivan de ese mismo número. Como el discriminante es un cuadrado perfecto, son racionales.
  
  $x = \frac{- 5 \pm 11}{12} = \frac{1}{2}, - \frac{4}{3}$
4. Una raíz de 1/2 significa un factor de (2x − 1). Una raíz de −4/3 significa un factor de (3x + 4). Eliminar cada denominador es lo que convierte una raíz en un paréntesis.
  
  $(2 x - 1) (3 x + 4)$
5. Multiplica de nuevo para comprobar, siempre. Las dos franjas centrales son 8x y −3x. Al combinarse forman el 5x que se nos pedía.
  
  $6 x^{2} + 8 x - 3 x - 4 = 6 x^{2} + 5 x - 4 ✓$
6. Ahora cambia el término independiente a −5 y repite el primer paso. El discriminante pasa a ser 25 + 120 = 145, que no es un cuadrado perfecto. Por tanto, no hay ningún rectángulo con lados enteros y no tiene sentido buscarlo.
  
  $5^{2} - 4 (6) (- 5) = 25 + 120 = 145 \neq = k^{2}$
7. Aquí se detiene la herramienta y comienza una distinción. 6x² + 5x − 5 se factoriza perfectamente en los números reales, en paréntesis que contienen √145. «No se factoriza» siempre significa «no en los números que acordamos usar». Ese acuerdo casi siempre se omite.
  
  $6 x^{2} + 5 x - 5 = 6 (x - \frac{- 5 + 145}{12}) (x - \frac{- 5 - 145}{12})$
Respuesta

(2x − 1)(3x + 4), y el discriminante de 121 = 11² lo advirtió antes de buscar nada. Cambia el −4 a un −5 y el discriminante pasa a ser 145, que no es un cuadrado. El mismo trinomio deja de factorizarse en los enteros, aunque sigue siendo perfectamente factorizable en los reales.
La diferencia de dos cuadrados, y el número 8.051 7 pasos
Desarrolla (x − 5)(x + 5) y di por qué desaparece el término central. Multiplica luego 95 × 105 de cabeza y decide si el mismo dibujo puede descomponer un número corriente.
1. Las cuatro piezas del rectángulo, en orden de lectura: la esquina que lleva x², las dos franjas y la esquina del término independiente.
  
  $x \cdot x + x \cdot 5 + (- 5) \cdot x + (- 5) \cdot 5$
2. Las dos franjas son 5x y −5x. Se cancelan, y el trinomio que imprime el panel se queda sin término central.
  
  $= x^{2} + 5 x - 5 x - 25 = x^{2} + 0 x - 25$
3. La tarjeta del discriminante marca 100, un cuadrado perfecto, así que existen paréntesis con números enteros dentro. Aquí ya sabemos que existen, porque los hemos construido.
  
  $b^{2} - 4 a c = 0^{2} - 4 (1) (- 25) = 100 = 1 0^{2}$
4. La cancelación no fue suerte. Dale signos opuestos a los dos términos independientes y las franjas serán el mismo rectángulo contado dos veces, una sumado y otra restado, elijas los números que elijas.
  
  $(x + q) (x - q) = x^{2} + q x - q x - q^{2} = x^{2} - q^{2}$
5. Nada en ese razonamiento exige que x sea una letra. Mete 100 en su lugar y una multiplicación se convierte en una resta.
  
  $95 \times 105 = (100 - 5) (100 + 5) = 10 0^{2} - 5^{2} = 10, 000 - 25 = 9, 975$
6. Dos números cualesquiera se pueden escribir como un punto medio y una separación a cada lado, así que esto funciona con cualquier par cuya media sea cómoda.
  
  $47 \times 53 = (50 - 3) (50 + 3) = 2, 500 - 9 = 2, 491$
7. Leído al revés hace el trabajo difícil. Para factorizar 8.051, busca un cuadrado que lo supere en otro cuadrado: 90² es el primero que lo consigue, y los dos paréntesis son los factores. Este es el método de factorización de Fermat, y resulta rápido justo cuando los dos factores están cerca uno de otro, como lo están 83 y 97.
  
  $9 0^{2} - 8, 051 = 8, 100 - 8, 051 = 49 = 7^{2} ⟹ 8, 051 = 83 \times 97$
Respuesta

x² − 25, y 95 × 105 = 9.975. El término central desaparece porque las dos franjas son iguales y opuestas, lo que deja q² como lo único en pie. Recorre la identidad al revés y factoriza números en lugar de expresiones: 8.051 = 90² − 7² = 83 × 97.

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) ⟺ N = m^{2} - d^{2} = (m - d) (m + d)$

Ruta de aprendizaje

Más allá de la cuadrática

Lleva a Resolución de cuadráticas la forma de producto.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-09-03

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

(x + 2)(x + 3) - Cuatro piezas: x², 3x, 2x y 6. Las dos franjas centrales se convierten en el 5x. Verlas como rectángulos independientes explica por qué el término central es una suma en lugar de un misterio.
Uno más difícil - (2x − 1)(3x + 4) tiene un lado negativo, por lo que una franja se dibuja fuera del bloque y rayada. Su área es −3x. Un área negativa es exactamente una resta en este diagrama.
Diferencia de cuadrados - (x − 5)(x + 5) da 5x y −5x, que se anulan. El rectángulo tiene dos franjas de igual tamaño y signo opuesto. Eso conforma la totalidad de la diferencia de dos cuadrados.
Uno que no se factoriza - x² + x + 1 tiene discriminante −3. Ningún rectángulo con lados enteros tiene esa área, y no lo encontrarás por mucho que pruebes: el discriminante ya lo indicaba antes de empezar la búsqueda.