Solucionador de Ecuaciones Cuadráticas

La geometría de las raíces y los cuerpos. La fórmula cuadrática es más que un truco algebraico: es un mapeo de simetría. En la forma estándar, x = -b/(2a) representa el eje de simetría, la columna central de la parábola. El término bajo la raíz cuadrada, b² - 4ac, es el discriminante Δ. Mide qué tan lejos está el vértice de la parábola del eje x. Cuando Δ > 0, la parábola cruza el eje en dos puntos distintos, simétricos respecto al vértice. Cuando Δ = 0, el vértice se encuentra exactamente sobre el eje, lo que produce una raíz repetida. Y cuando Δ < 0, la parábola flota por encima o por debajo del eje, y sus raíces parten hacia el plano complejo como un par conjugado. En las matemáticas modernas, esta fórmula simple es la base de la teoría de cuerpos: resolver ecuaciones cuadráticas requiere extender los números racionales para incluir radicales, mostrando cómo la geometría y el álgebra están fundamentalmente unificadas.

Antes de que existiera la fórmula, los matemáticos notaron un patrón oculto en los coeficientes. Para cualquier ax² + bx + c = 0, las dos raíces siempre suman -b/a y se multiplican para dar c/a: son las fórmulas de Vieta. Así, en x² - 5x + 6 las raíces deben sumar 5 y multiplicar 6, es decir 2 y 3. Es la forma más rápida de comprobar la respuesta sin sustituir nada.

En un ordenador, la fórmula de siempre puede traicionarte. Cuando b² es mucho mayor que 4ac, la raíz vale casi |b|, de modo que el paso -b + √Δ resta dos números casi idénticos y borra la mayoría de las cifras significativas: es la cancelación catastrófica. Las bibliotecas numéricas lo evitan calculando primero una raíz y la otra como c/(a·x₁). El álgebra de hace siglos y la aritmética de coma flotante discrepan en voz baja.