Solucionador de Ecuaciones Cuadráticas

raíces reales y complejas, paso a paso

Ejemplo resuelto — Solucionador de Ecuaciones Cuadráticas

dos raíces reales distintas	2
Inicio	1x²−5x+6
Agrupar los términos con x	1(x²−5x)+6
Completar el cuadrado	1[(x−2.5)²−6.25]+6
Forma canónica	1(x−2.5)²−0.25
Vértice	(2.5,−0.25)

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Un signo bajo la raíz lo decide todo 🖖

La fórmula cuadrática es más que un truco algebraico: es un mapa de simetría. En la forma estándar, x = -b/(2a) representa el eje de simetría, la columna vertebral de la parábola. El término bajo la raíz cuadrada, b² - 4ac, es el discriminante Δ. Su signo te indica en qué lado del eje x cae el vértice y, al dividirlo entre 4a, descubres a qué distancia. Cuando Δ > 0, la parábola cruza el eje en dos puntos distintos, simétricos respecto al vértice. Cuando Δ = 0, el vértice se asienta exactamente sobre el eje, produciendo una raíz doble. Y cuando Δ < 0, la parábola flota por encima o por debajo del eje, con unas raíces que se adentran en el plano complejo como un par conjugado. En la matemática moderna, esta sencilla fórmula es la base de la teoría de cuerpos: resolver ecuaciones cuadráticas requiere que amplíes los números racionales para incluir radicales, demostrando cómo la geometría y el álgebra están unidas desde su esencia.

Un atajo para verificar las raíces 🖖

Antes de que existiera la fórmula, los matemáticos notaron un patrón oculto en los coeficientes. Para cualquier ax² + bx + c = 0, las dos raíces siempre suman -b/a y se multiplican para dar c/a: son las fórmulas de Vieta. Así, en x² - 5x + 6 las raíces deben sumar 5 y multiplicar 6, es decir 2 y 3. Es la forma más rápida de comprobar la respuesta sin sustituir nada.

Cuando la fórmula famosa falla en silencio 🖖

La fórmula de los libros de texto puede traicionarte frente a una computadora. Cuando b² es mucho mayor que 4ac, la raíz cuadrada es casi igual a |b|. Por tanto, una de las dos raíces resta dos números casi idénticos (-b + √Δ cuando b es positivo y -b − √Δ cuando b es negativo), lo que borra la mayor parte de las cifras significativas en un efecto llamado cancelación catastrófica. Las bibliotecas numéricas esquivan este problema calculando primero una raíz para hallar luego la otra como c/(a·x₁). El álgebra centenaria y la aritmética moderna de punto flotante discrepan en silencio.

TEORÍA DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA — LEER ax² + bx + c ANTES DE RESOLVER

El discriminante: ¿cuántas raíces y hacia dónde abre?

Dos números deciden la forma de la respuesta antes de tocar la fórmula general. El discriminante Δ = b² − 4ac dice cuántas raíces reales hay, y el signo de a dice hacia dónde abre la parábola y si su vértice es un punto mínimo o máximo.

Δ > 0 — dos raíces reales distintas Δ = b² − 4ac > 0

Δ = 0 — una raíz real doble Δ = 0

Δ < 0 — dos raíces complejas conjugadas Δ < 0

a < 0 — la parábola abre hacia abajo a < 0

Δ > 0 — dos raíces reales distintas

Datos: El discriminante b² − 4ac resulta positivo. La parábola corta el eje x en dos puntos separados.

Raíces: Δ = b² − 4ac > 0

Ejemplo resuelto: x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 → x = 2 y x = 3

Abrir este caso: dos raíces

Δ > 0 — dos raíces reales distintas. Δ > 0: la curva corta el eje dos veces, simétricamente respecto al vértice. El discriminante b² − 4ac resulta positivo. La parábola corta el eje x en dos puntos separados. — Δ > 0: la curva corta el eje dos veces, simétricamente respecto al vértice.

Δ = 0 — una raíz real doble

Datos: El discriminante es exactamente cero. La parábola toca el eje x en un solo punto en lugar de cruzarlo.

Raíces: Δ = 0

Ejemplo resuelto: x² − 4x + 4 = 0 → Δ = 16 − 16 = 0 → x = 2, contada dos veces

Abrir este caso: raíz doble

Δ = 0 — una raíz real doble. Δ = 0: el vértice queda justo sobre el eje — tangencia, no corte. El discriminante es exactamente cero. La parábola toca el eje x en un solo punto en lugar de cruzarlo. — Δ = 0: el vértice queda justo sobre el eje — tangencia, no corte.

Δ < 0 — dos raíces complejas conjugadas

Datos: El discriminante es negativo. La parábola nunca llega al eje x, así que no hay solución real.

Raíces: Δ < 0

Ejemplo resuelto: x² + 2x + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → x = −1 ± 2i

Abrir este caso: raíces complejas

Δ < 0 — dos raíces complejas conjugadas. Δ < 0: toda la curva se queda a un lado del eje. El discriminante es negativo. La parábola nunca llega al eje x, así que no hay solución real. — Δ < 0: toda la curva se queda a un lado del eje.

a < 0 — la parábola abre hacia abajo

Datos: El coeficiente principal a es negativo. Esto es independiente del discriminante: voltea la curva y convierte el vértice en un máximo.

Raíces: a < 0

Ejemplo resuelto: −x² + 4 = 0 → Δ = 0 + 16 = 16 > 0 → x = ±2, con un máximo en (0, 4)

Abrir este caso: abre hacia abajo

a < 0 — la parábola abre hacia abajo. a < 0: las ramas apuntan hacia abajo y el vértice es el máximo. El coeficiente principal a es negativo. Esto es independiente del discriminante: voltea la curva y convierte el vértice en un máximo. — a < 0: las ramas apuntan hacia abajo y el vértice es el máximo.

Referencias (1)

Insight block 3 — catastrophic cancellation, and the reformulation that avoids it: D. Goldberg, "What every computer scientist should know about floating-point arithmetic." ACM Computing Surveys 23(1), 5–48, 1991 — the quadratic formula is its worked example.

Problema resuelto al detalle

Resolución de x² − 5x + 6 = 0 completando el cuadrado 5 pasos
Resuelve x² − 5x + 6 = 0 completando el cuadrado. Después responde a algo que la fórmula cuadrática no te dirá: el discriminante cuenta las raíces, pero ¿qué mide su tamaño?
1. Completar el cuadrado no es un truco para resolver ecuaciones cuadráticas; es la demostración de que la fórmula cuadrática es cierta, aplicada a una ecuación concreta. Divide por dos el coeficiente de x, elévalo al cuadrado, súmalo y réstalo. El 6,25 que aparece es el precio de forzar los dos primeros términos a formar un cuadrado perfecto, y hay que devolverlo en la misma línea.
  
  $x^{2} - 5 x + 6 = (x - \frac{5}{2})^{2} - \frac{25}{4} + 6 = (x - 2.5)^{2} - 0.25$
2. La forma canónica sitúa la variable en un único lugar, de modo que se puede despejar directamente: aísla el cuadrado, calcula ambas raíces y vuelve a sumar 2,5. No se ha necesitado ninguna fórmula ni se ha memorizado ninguna.
  
  $(x - 2.5)^{2} = 0.25 ⟹ x - 2.5 = \pm 0.5 ⟹ x = 2 or x = 3$
3. Ahora el discriminante. Aquí Δ = 1, y como es positivo, hay dos raíces reales. Esa es la parte que mencionan todos los libros de texto.
  
  $Δ = b^{2} - 4 a c = 25 - 24 = 1$
4. Aparece dos veces más, y ninguna de las dos se suele decir en voz alta. La distancia entre las raíces es √Δ/|a|, porque el ± de la fórmula aporta ±√Δ/2a a cada una. Y el vértice se sitúa Δ/4a por debajo del eje: el −0,25 del panel superior no es un resultado independiente, sino el propio discriminante dividido entre cuatro.
  
  $x_{2} - x_{1} = \frac{Δ}{∣ a ∣} = 1, y_{V} = - \frac{Δ}{4 a} = - 0.25$
5. Las relaciones de Vieta cierran el círculo. Desarrolla a(x − x₁)(x − x₂), iguálalo término a término con ax² + bx + c, y la suma y el producto de las raíces se obtienen directamente sin necesidad de resolver nada.
  
  $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = 5, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = 6$
Respuesta

Las raíces son x = 2 y x = 3, y la herramienta muestra el vértice en (2,5, −0,25) a partir del mismo completamiento. La recompensa es que un solo número rige tres hechos independientes. Δ = 1 hace que las raíces sean reales, las sitúa a 1 de distancia y baja el vértice exactamente 0,25 por debajo del eje. Eleva c hacia 6,25 y observa cómo las tres cosas cambian a la vez: las raíces se acercan, la distancia se reduce como √Δ y la parábola sube hasta tocar el eje en Δ = 0. Nunca fueron tres coincidencias: son una sola magnitud vista desde tres ángulos.

$x = 2, 3 Δ = 1 : separation Δ = 1, depth \frac{Δ}{4 a} = 0.25$

Ruta de aprendizaje

Más allá de la cuadrática

Lleva a complex-numbers

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-26

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

dos raíces - x²-5x+6=0 → raíces x=2 y x=3
raíz doble - x²-4x+4=0 → raíz doble x=2, discriminante=0
raíces complejas - x²+2x+5=0 → raíces complejas x=-1±2i
abre hacia abajo - -x²+4=0 → x=±2, la parábola se abre hacia abajo