El criterio de Kelly

Tienes una apuesta favorable y la repites, arriesgando cada vez una fracción fija de tu capital. Cuanto más apuestas, más crece el capital medio. Observa qué les ocurre a los jugadores que componen esa media y busca la fracción que más le conviene a cada uno.

Ejemplo resuelto — El criterio de Kelly

Fracción de Kelly	0,200
Crecimiento por apuesta con Kelly	+0,02014
Fracción en la que el crecimiento llega a cero	0,3894
Capital medio tras 100 apuestas	50,50
Mediana del capital tras 100 apuestas	7,49
Probabilidad de conservar algo de capital	1

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — El criterio de Kelly

El criterio de Kelly elige la fracción f del capital que debes arriesgar en una apuesta repetida para maximizar el ritmo de crecimiento a largo plazo g(f) = p ln(1 + bf) + q ln(1 − f). Esta expresión es la esperanza del logaritmo del factor de crecimiento del capital por apuesta. Si la probabilidad de ganar es p y el pago es b a 1, el máximo se alcanza en f* = (bp − q)/b; con pago a la par, f* = p − q, la ventaja. Por la ley de los grandes números, el capital de un jugador tras n apuestas se aproxima a e^ng(f) en escala logarítmica. El capital medio, en cambio, es (1 + (bp − q)f)ⁿ y crece cada vez que aumenta f.

Qué significa cada símbolo

p: probabilidad de ganar cada apuesta; q = 1 − p
b: ganancia por unidad apostada, además de recuperar lo apostado
f: fracción del capital disponible que apuestas cada vez
g(f): ritmo de crecimiento de un jugador por apuesta, en unidades de logaritmo natural

Supone: Se repite la misma apuesta, con los mismos valores de p y b, y cada resultado es independiente de los anteriores. El capital puede dividirse con toda la precisión necesaria. Antes de cada apuesta, la cantidad apostada se ajusta a la fracción f del capital disponible.

El capital medio se dispara mientras el jugador típico se arruina 🖖

Pulsa Todo. La moneda te da la victoria el 60 % de las veces y paga a la par, de modo que cada apuesta deja una ganancia media del 20 % de lo apostado. Apostarlo todo cada vez lleva el capital medio a su máximo: 1,2¹⁰⁰ = 8,28×10⁷ veces el capital inicial tras 100 apuestas. Esa media depende de un único resultado, ganar las 100 apuestas, cuya probabilidad es 0,6¹⁰⁰ = 6,53×10⁻²³. Todos los demás jugadores se quedan sin capital, incluidos los 200 de esta simulación. John Kelly lo expresó así en 1956: un jugador semejante «se arruinaría con probabilidad uno si siguiera jugando indefinidamente». Apostar menos no basta para resolver el problema. Pulsa El doble de Kelly, un 40 % del capital por apuesta: tras 100 apuestas, la media es 2.199,76, la mediana, 0,78, y el 53,8 % de los jugadores tiene menos capital que al empezar. El <a href="/stat/martingale-betting">sistema de doblar la apuesta</a> mostraba la situación inversa: una media con pérdidas formada por sesiones en las que casi siempre se gana.

Cada apuesta te favorece y aun así te arruinas con probabilidad uno 🖖

En la gráfica superior, la línea discontinua de referencia representa el logaritmo del factor de crecimiento de la media, ln(1 + 0,2f), y sube cada vez que aumentas la fracción apostada. La curva continua es g(f) = 0,6 ln(1 + f) + 0,4 ln(1 − f), el ritmo al que crece el capital de un jugador, apuesta a apuesta, con probabilidad uno. Alcanza su máximo en la fracción de Kelly, 0,200, y vuelve a cero en 0,3894, que equivale a 1,947 veces Kelly. Allí, cada apuesta aún deja una ganancia media del 7,79 % del capital. Por encima de esa fracción, el capital del jugador tiende a cero con probabilidad uno, por favorable que sea cada apuesta; Edward Thorp lo recoge en el apartado (ii) de su primer teorema sobre el tema. Con pago a la par, el crecimiento llega a cero antes del doble de Kelly, sea cual sea la probabilidad de ganar. Pulsa Doble Kelly, 1.000 ap.: el capital medio es 2,65×10³³ y la mediana, 0,0866. Cerca de f = 0, la distancia entre las curvas es aproximadamente la mitad de la varianza del rendimiento de una apuesta. Esa penalización, igual a la mitad de la varianza, es la que mide caídas desde máximos y lastre de la volatilidad en carteras reales; en la fracción de Kelly ya es casi tan grande como el propio crecimiento.

La mitad de Kelly conserva tres cuartas partes del crecimiento 🖖

Pulsa La mitad de Kelly. Apostar 0,1 del capital en lugar de 0,2 reduce cada apuesta a la mitad y conserva el 74,7 % del ritmo de crecimiento: g(f) se aplana en su máximo y alejarse un poco de él cuesta poco. La tabla muestra lo que ganas con esa reducción: tras 100 apuestas, la probabilidad de quedar por debajo del capital inicial baja del 17,9 % al 6,4 %. Sigue siendo válido el resultado de Kelly: su jugador «con probabilidad uno, acabará por ponerse por delante y mantenerse por delante» de quien apueste cualquier otra fracción fija. Pero puede tardar: con los mismos 100 resultados, quien apuesta Kelly acaba por delante de quien apuesta la mitad el 69,7 % de las veces; tras 1.000 apuestas, el 94,3 %. Según Thorp, la mitad de Kelly conserva tres cuartas partes del crecimiento, y con pago a la par nunca conserva más. Claude Shannon le dio a conocer el artículo de Kelly en el MIT en 1960. Thorp lo aplicó en las mesas de blackjack y lo presentó a los jugadores en Beat the Dealer, en 1962, señalando que en la práctica suele reducirse la fracción apostada. La fracción de Kelly también maximiza la esperanza del logaritmo de la riqueza, la medida de Daniel Bernoulli en el juego de San Petersburgo.

Problema resuelto al detalle

Crees que la moneda es 60–40. Es 55–45. 4 pasos
Estimas que p = 0,6 y apuestas la fracción de Kelly correspondiente, con pago a la par. La probabilidad real es 0,55. ¿Qué ocurre con tu ritmo de crecimiento? ¿Qué habría pasado si hubieras apostado la mitad de Kelly? Pulsa primero Fracción de Kelly: la página muestra la fracción que has elegido y el crecimiento que esperas.

Abre este problema en la herramienta
1. La fracción que has elegido y el crecimiento que esperas, según la página:
  
  $f^{*} = p - q = 0.6 - 0.4 = 0.2, g (f^{*}) = + 0.02014$
2. La verdadera fracción de Kelly es p − q = 0,10, así que 0,2 es el doble de la fracción óptima. El crecimiento con el valor real de p:
  
  $0.55 ln 1.2 + 0.45 ln 0.8 = - 0.00014$
3. La mitad de tu fracción de Kelly, 0,1, coincide exactamente con la verdadera fracción de Kelly:
  
  $0.55 ln 1.1 + 0.45 ln 0.9 = + 0.00501$
4. Y si tu estimación de 0,6 hubiera sido correcta, la mitad de Kelly habría conservado
  
  $\frac{0 . 6 ln 1 . 1 + 0 . 4 ln 0 . 9}{0 . 02014} = \frac{0 . 01504}{0 . 02014} = 74 . 7%$
Respuesta

Con el valor real de p, la fracción completa de Kelly da un crecimiento de −0,00014 por apuesta: una apuesta con un 10 % de ventaja, en la que arriesgas lo que creías óptimo, te lleva a la ruina con probabilidad uno. La mitad de Kelly da un crecimiento de +0,00501, el máximo posible con p = 0,55, y solo te cuesta un cuarto del crecimiento si tu estimación era correcta. Sobreestimar la probabilidad de ganar en cinco puntos porcentuales basta para que la fracción completa de Kelly supere el umbral de crecimiento nulo, que con p = 0,55 es 0,1987. Esa asimetría es la razón habitual para apostar solo una parte de la fracción de Kelly.

$p = 0.55 : g (0.2) = - 0.00014 < 0 < g (0.1) = 0.00501; f_{c} = 0.1987 < 0.2$

Ruta de aprendizaje

Juegos justos que te arruinan

Referencias (2)

The paper the page is named after: a gambler betting a fraction ℓ of his capital on an even-money channel symbol has growth G = q log(1 + ℓ) + p log(1 − ℓ), maximised at 1 + ℓ = 2q, that is ℓ = q − p; betting everything maximises the expected capital, "(2q)^N V₀", but "he would be broke with probability one if he continued indefinitely"; and the maximising gambler "will, with probability one, eventually get ahead and stay ahead" of one using any other fraction. Kelly's p is the chance of an error and q of a correct symbol, the reverse of the page's p and q: J. L. Kelly, Jr., A new interpretation of information rate. Bell System Technical Journal 35(4), 917–926 (July 1956). doi:10.1002/j.1538-7305.1956.tb03809.x
The practitioner's account: the coin-tossing case with g(f) = p log(1 + f) + q log(1 − f), f* = p − q, the zero-growth stake f_c with f* < f_c < 1, Theorem 1 (part (ii): if g(f) < 0 the bankroll tends to 0 almost surely; part (iv): Kelly beats any essentially different strategy), betting everything as the 'bold' criterion that makes ruin almost sure, half Kelly's growth reduced to 3/4 of the maximum in the continuous approximation, and Thorp's own history: introduced to Kelly's paper by Claude Shannon at MIT in 1960, used it in play, and introduced it to gamblers in the first edition of Beat the Dealer (1962), with stakes 'modified somewhat in practice (generally down)': E. O. Thorp, The Kelly criterion in blackjack, sports betting, and the stock market. Chapter 9 in S. A. Zenios and W. T. Ziemba (eds.), Handbook of Asset and Liability Management, Volume 1, pp. 385–428. Elsevier, 2006. doi:10.1016/S1872-0978(06)01009-X

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.