Primas de riesgo y cuánta certeza puedes tener

Todas ellas tienen una media positiva. Eso no es lo mismo que ser fiable, y la diferencia se puede medir.

Ejemplo resuelto — Primas de riesgo y cuánta certeza puedes tener

Media por año	8,44%
Desviación típica	19,70%
Estadístico t	4,24
Años en que pagó	66/98

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Un siglo de datos es una muestra pequeña 🖖

La prima de tamaño promedia un 5,92% al año durante 98 años y es positiva en 49 de ellos. Una moneda al aire que paga un 5,92% de media sigue siendo una moneda al aire, y la desviación típica del 27,48% explica por qué: para distinguir esa media de cero con dos errores estándar harían falta unos 87 años, y la prima de plazo necesitaría unos 118, más historia de la que contienen los datos. Esto no es un argumento de que las primas sean falsas. Es un argumento de que la confianza que se les atribuye está tomada prestada del tamaño de la media en lugar de ganada por el tamaño de la muestra.

Una prima mayor puede ser la menos segura 🖖

La cantidad de historia que necesita una prima depende únicamente de la proporción entre su ruido y su tamaño: al situar la media a dos errores estándar de cero, el requisito es n ≥ (2σ/μ)². El tamaño y la certeza son por tanto cuestiones distintas, y en este registro discrepan. La prima de crédito promedia un 2,08% al año y necesita unos 39 años; la prima de tamaño promedia casi el triple, con un 5,92%, y necesita 87. Recorre las cuatro y el requisito indica 22, 39, 87 y 118 años mientras que las medias indican un 8,44%, 2,08%, 5,92% y 1,41% —las mismas cuatro primas en dos órdenes que no coinciden.

La prima de tamaño fue un fenómeno de 1928–1976 🖖

Divide el registro por la mitad con los campos de inicio y plazo. Durante 1928–1976 las pequeñas compañías estadounidenses batieron a las grandes en un 10,70% al año; durante 1977–2025 esa misma prima fue del 1,14%, con un estadístico t de 0,42 y un requisito muestral de 1.133 años. El titular del 5,92% es el promedio de una primera mitad grande y casi nada desde entonces. Banz midió el efecto en 1981, cerca de la unión. Esta herramienta no puede decirte si su publicación eliminó la prima por competencia o si la primera mitad fue un accidente, y tampoco puede hacerlo nadie más —pero sí puede decirte que un promedio de 98 años nunca fue una descripción de ambas mitades.

Problema resuelto al detalle

Una prima de renta variable del 8,44% y una desviación típica del 19,70% 6 pasos
Tres números extraídos de las tarjetas determinan cuán segura es la prima de la renta variable: un 8,44% anual, una desviación típica del 19,70% y 98 años. Obtén la certeza a partir de ellos — luego hazte la pregunta a la inversa y halla cuánta historia necesitaría una prima con esta forma. Este es el estado inicial de la herramienta: Renta variable (S&P 500 − letras a 3 meses) a lo largo de todo el registro desde 1928.
1. Nada más sobre el mercado interviene a continuación. Ni el nivel de los precios, ni el número de desplomes, ni la década en la que hayas empezado — una media, una dispersión y un recuento.
  
  $μ = 8.44%, σ = 19.70%, n = 98$
2. Un año es enormemente incierto; el promedio de 98 de ellos no lo es, y la mejora es exactamente la raíz cuadrada del recuento. Divide, y el panel Cuánto de esto es medida y cuánto es ruido contiene esa misma cifra.
  
  $SE = \frac{σ}{n} = \frac{19.70%}{9.8995} = 1.99%$
3. El estadístico t es ese promedio reexpresado en unidades de su propia incertidumbre, de modo que la prima de la renta variable se sitúa cuatro errores estándar por encima de cero. Observa qué número hizo el trabajo: no que el 8,44% fuera grande, sino que 98 años redujeron una oscilación del 19,70% a un 1,99%.
  
  $t = \frac{μ}{SE} = \frac{8.44}{1.99} = 4.24$
4. Ahora hazlo a la inversa. Fija el listón en dos errores estándar y despeja n en su lugar, y los años necesarios dependerán únicamente de la razón σ/μ. Por lo tanto, una prima mayor no es automáticamente más segura: duplica el promedio y la dispersión al mismo tiempo y la exigencia no cambiará. El mismo panel muestra 22.
  
  $t = 2 : n_{m i n} = (\frac{2 σ}{μ})^{2} = (\frac{2 \times 19.70}{8.44})^{2} = 4.668 2^{2} = 21.79 \to 22$
5. Selecciona Plazo (bono a 10 años − letras a 3 meses) en el desplegable de Prima. El promedio cae al 1,41% y la dispersión al 7,63%, y la exigencia se dispara a 118 años frente a un registro de 98. La prima de plazo no alcanza el listón no porque el 1,41% sea pequeño, sino porque el 7,63% es grande a su lado.
  
  $μ = 1.41%, σ = 7.63% : n_{m i n} = (\frac{2 \times 7.63}{1.41})^{2} = 10.822 7^{2} = 117.13 \to 118 > 98$
6. Por último, deja de despejar n. Noventa y ocho años no son una elección — es todo el registro anual —, así que fíjalos y despeja el promedio más pequeño que podría superar el listón. Con una volatilidad similar a la de la renta variable, es simplemente el doble del error estándar.
  
  $n = 98 : μ_{m i n} = \frac{2 σ}{n} = 2 SE = 2 \times 1.99% = 3.98%$
Respuesta

Un error estándar del 1,99%, t = 4,24, y 22 años habrían sido suficientes — pero con una dispersión del 19,70% y 98 años de datos, ninguna prima con un promedio inferior al 3,98% anual se podría distinguir de cero. Ese suelo pertenece al archivo en lugar de a la estrategia, y cada prima del desplegable lleva su propia versión del mismo: 2σ/√98 es un 5,55% para el tamaño, un 1,54% para el plazo y un 1,30% para el crédito. Coloca esas cifras junto a los promedios que la herramienta indica para cada una — 5,92%, 1,41%, 2,08% — y habrás anticipado los cuatro veredictos sin calcular un solo estadístico t, siendo el plazo el único que se sitúa por debajo de su propio suelo, y por 0,13 puntos. Esperar apenas sirve de nada, porque el suelo desciende como √n: diez años más de datos mueven el suelo de la renta variable del 3,98% al 3,79%, y reducirlo a la mitad, hasta el 1,99%, requeriría 392 años. La herramienta calcula cuántos años necesitaría una prima de un tamaño determinado. Nunca calcula el tamaño más pequeño que este registro podría ver jamás, que es el número que decide de antemano qué argumentos sobre las primas son argumentos sobre los mercados y cuáles son argumentos sobre el ruido.

$n_{m i n} = (\frac{2 σ}{μ})^{2} ⟺ μ_{m i n} = \frac{2 σ}{n} = \frac{2 \times 19.70%}{9.8995} = 3.98%$

Ruta de aprendizaje

El riesgo, medido

Lleva a La frontera, mantenida el tamaño de la barra de error alrededor de una rentabilidad media a largo plazo.

Referencias (3)

The equity premium stated as a problem rather than a fact — it is too large for standard theory to explain, which is itself a reason to hold the estimate loosely: R. Mehra and E. C. Prescott, "The equity premium: A puzzle." Journal of Monetary Economics 15(2), 145–161, 1985.
The size effect, in the paper that first measured it: R. W. Banz, "The relationship between return and market value of common stocks." Journal of Financial Economics 9(1), 3–18, 1981.
And the standing warning that a mean return is measured far less precisely than it is quoted: R. C. Merton, "On estimating the expected return on the market: An exploratory investigation." Journal of Financial Economics 8(4), 323–361, 1980.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-19

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Renta variable, todo el registro - La prima de la renta variable entre 1928-2025: la más fuerte de las cuatro y, aun así, negativa en un tercio de los años.
Tamaño, todo el registro - La prima de tamaño en todo el registro: una media grande que fue positiva en aproximadamente la mitad de los años.
Plazo, todo el registro - La prima de plazo, cuyo estadístico t se queda por debajo de 2 incluso con 98 años de datos.
Renta variable desde 1990 - La prima de la renta variable desde 1990, una ventana más corta y, en consecuencia, menos cierta.