La frontera eficiente fuera de muestra

La frontera se dibuja a partir de una muestra de rentabilidades, y la cartera situada en su mejor punto se eligió porque era la que mejor se veía en esa muestra. Mantenla durante los años siguientes y mira qué sobrevive.

Ejemplo resuelto — La frontera eficiente fuera de muestra

El optimizador previó	0,829
El optimizador entregó	0,494
Los pesos iguales entregaron	0,757
Ganadas por los pesos iguales	48 de 63

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Un optimizador no distingue una prima de riesgo de una muestra afortunada 🖖

Ajusta estas cinco clases de activo sobre 1928–1957 y la cartera de mejor Sharpe pone el 93,4% en bonos del Tesoro a 10 años. Eso no es un juicio sobre los bonos; es aritmética. Las letras pagaron un 1,19% al año en ese tramo y los bonos las batieron con una novena parte de la volatilidad de la renta variable, así que los bonos llevaban la mayor recompensa por unidad de riesgo de la muestra, y encontrar justo eso es todo el trabajo del optimizador. Mantenida durante 1958–1987 —tres décadas de inflación al alza y tipos al alza— puntuó 0,029 frente al 0,700 que había prometido, mientras que los pesos iguales puntuaron 0,484. Su rentabilidad bruta llegó incluso a subir, del 3,50% al 6,36%, y por eso la rentabilidad bruta es lo que no hay que mirar: las letras subieron todavía más deprisa, hasta el 6,10%, de modo que una cartera que había prometido un 2,31% al año por encima de la liquidez entregó un 0,25% mientras su volatilidad casi se triplicaba. El optimizador no se equivocó sobre el pasado. Se le hizo una pregunta sobre el futuro y respondió a una pregunta sobre la muestra, y nada en el método distingue una de otra.

Las tres carteras terminan exactamente en orden inverso 🖖

En la ventana con la que se abre la página, la tabla promete un ratio de Sharpe de 0,829 para la cartera tangente optimizada, 0,777 para mínima varianza y 0,565 para pesos iguales. Mantenidas durante los 16 años siguientes entregan 0,494, 0,524 y 0,757: las mismas tres carteras, en orden inverso. El orden no es suerte, es a qué parte de la muestra se ajustó cada una —la tangente usa las medias estimadas y las covarianzas estimadas, la de mínima varianza usa solo las covarianzas, los pesos iguales no usan ninguna. Al promediar en las 59 ventanas de 20 años de ajuste y mantenimiento la clasificación es la misma: 0,297, 0,460 y 0,558.

La cartera construida para ser tranquila fue la agitada 🖖

La de mínima varianza prometía una volatilidad del 5,32% en esta ventana —inferior al 5,67% de la cartera tangente— y entregó un 8,60%, superior al 7,93% de la tangente. La promesa más baja, el resultado más alto. No es una sola ventana: recorre cada longitud de ajuste de 10 a 30 años frente a cada longitud de mantenimiento de 5 a 30 y la volatilidad realizada de la cartera tangente resulta ser superior a su volatilidad ajustada en 22.203 de 33.579 de ellas. Un optimizador busca la esquina de la matriz de covarianza estimada donde el riesgo parece menor, y las esquinas donde una estimación es menor son exactamente aquellas en las que es más probable que sea demasiado pequeña.

Problema resuelto al detalle

La combinación con mejor ratio de Sharpe de acciones estadounidenses y bonos del Tesoro a 10 años 7 pasos
Dos activos, una ventana: acciones de EE. UU. y bonos del Tesoro a 10 años ajustados a 1928–1976. Deduzca a mano la combinación con la mejor ratio de Sharpe, compruébela con el panel y — a continuación, calcule cuántos de sus dígitos impresos respaldan realmente los datos.
1. Haga clic en Solo acciones y bonos para ajustar la frontera a esta ventana. Entran seis números y nada más: la rentabilidad media anual de cada tramo, la volatilidad de cada tramo, su correlación y el tipo de las letras que define el activo libre de riesgo.
  
  $μ_{s} = 10.76%, μ_{b} = 3.23%, r_{f} = 2.47%, σ_{s} = 22.351%, σ_{b} = 4.2537%, ρ = - 0.0379$
2. Las ratios de Sharpe se miden por encima de la liquidez, así que reste el tipo de las letras a ambas medias. Las acciones obtuvieron aproximadamente once veces el exceso del tramo de bonos. La covarianza es ligeramente negativa — un número pequeño que realiza un trabajo importante dos pasos más abajo.
  
  $e_{s} = μ_{s} - r_{f} = 8.285%, e_{b} = μ_{b} - r_{f} = 0.758%, σ_{s b} = ρ σ_{s} σ_{b} = - 0.00036058$
3. Una combinación que mantiene una proporción w en acciones obtiene la media ponderada de los dos excesos. Su volatilidad no es una media ponderada: el término cruzado constituye la totalidad de la diversificación y, al ser la covarianza negativa, resta.
  
  $e (w) = w e_{s} + (1 - w) e_{b}, σ (w) = w^{2} σ_{s}^{2} + (1 - w)^{2} σ_{b}^{2} + 2 w (1 - w) σ_{s b}$
4. Antes de confiar en la fórmula, pruébela donde la respuesta ya esté en la página. Si asigna w = ½, la fila de la propia herramienta Pesos iguales (1/N) indica un 4,52% por encima de la liquidez con una volatilidad del 11,30%. Ambas coinciden, por lo que las seis variables de entrada son las seis correctas.
  
  $w = \frac{1}{2} : e = 4.52%, σ = 0.0127613 = 11.30%$
5. Ahora maximice. Dado que la ratio de Sharpe es un cociente, su máximo no tiene por qué situarse en ninguno de los extremos — y, con una covarianza negativa, no lo hace. Igualar la derivada a cero elimina la raíz cuadrada y deja una fórmula en función de los mismos seis datos de entrada.
  
  $S (w) = \frac{e ( w )}{σ ( w )}, S^{'} (w) = 0 ⟺ w^{*} = \frac{e _{s} σ _{b}^{2} - e _{b} σ _{s b}}{e _{s} σ _{b}^{2} + e _{b} σ _{s}^{2} - ( e _{s} + e _{b} ) σ _{s b}}$
6. Sustituya. Abra Ponderaciones elegidas por cada método y la fila de tangencia indicará un 27,2% en acciones y un 72,8% en bonos; la tabla situada encima muestra una volatilidad prevista del 6,72% y una ratio de Sharpe prevista de 0,418. Una cartera con una cuarta parte en acciones es 4,6 puntos menos volátil que la combinación 50/50.
  
  $w^{*} = \frac{0.00015264}{0.00056096} = 0.2721 \Rightarrow 27.2% / 72.8%, σ (w^{*}) = 6.72%, S = \frac{2.81%}{6.72%} = 0.418$
7. Ahora valore los datos de entrada, algo que la herramienta nunca hace. μ_s no es un hecho sobre el mundo; es la media de 49 rentabilidades anuales cuya dispersión es del 22,351%, por lo que conlleva un error estándar propio. Sitúe μ_s a un error estándar a cada lado y vuelva a resolver la misma fórmula.
  
  $SE (μ_{s}) = \frac{σ _{s}}{n} = \frac{22.351%}{49} = 3.19% \Rightarrow w^{*} \in [19.3%, 33.4%]$
Respuesta

27,2% en acciones, 72,8% en bonos — impreso con precisión de una décima sobre una magnitud que los datos solo concretan a unos ±7 puntos. Un solo error estándar en la media de la renta variable hace oscilar la ponderación óptima del 19,3% al 33,4%, y eso suponiendo que las dos volatilidades, la correlación y el tipo de las letras se sigan considerando exactamente conocidos. La función objetivo no ayuda a acotarlo: al evaluar S(w) en el 24,1% y en el 30,9%, ambos valores se redondean a 0,417, de modo que los tres decimales del propio panel no permiten discriminar ponderaciones separadas por siete puntos. Esa es la sutil ironía de la frontera: su resultado de apariencia más firme es el menos determinado. Por eso una ponderación equitativa, que no estima absolutamente nada, ofreció aquí un 0,551 frente al 0,440 del optimizador.

$w^{*} = 27.2% μ_{s} \pm SE (μ_{s}) \Rightarrow w^{*} \in [19.3%, 33.4%]$

Ruta de aprendizaje

El riesgo, medido

Referencias (6)

The frontier itself, in the paper that defined it: H. Markowitz, "Portfolio Selection." The Journal of Finance 7(1), 77–91, 1952.
The result this page reproduces — across fourteen datasets, no optimised rule reliably beat equal weights out of sample: V. DeMiguel, L. Garlappi and R. Uppal, "Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient is the 1/N Portfolio Strategy?" Review of Financial Studies 22(5), 1915–1953, 2009.
Why the optimiser behaves this way — it maximises over estimation error as readily as over return: R. O. Michaud, "The Markowitz Optimization Enigma: Is 'Optimized' Optimal?" Financial Analysts Journal 45(1), 31–42, 1989.
And how far the weights move for a small change in the estimated means, which is the mechanism behind everything above: M. J. Best and R. R. Grauer, "On the Sensitivity of Mean-Variance-Efficient Portfolios to Changes in Asset Means: Some Analytical and Computational Results." Review of Financial Studies 4(2), 315–342, 1991.
One of the standard repairs — shrink the covariance estimate rather than trust the sample one. This tool does not apply it, so the frontier shown is the raw sample frontier: O. Ledoit and M. Wolf, "Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix." The Journal of Portfolio Management 30(4), 110–119, 2004.
The older warning that a mean-variance optimum is only as meaningful as the set of assets you fed it: R. Roll, "A critique of the asset pricing theory's tests Part I: On past and potential testability of the theory." Journal of Financial Economics 4(2), 129–176, 1977.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-19

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Promesa frente a entrega - Ajustada sobre 1990-2009 y mantenida durante 2010-2025: la puntuación de la cartera de mejor Sharpe cae de 0,829 a 0,494 mientras que la de pesos iguales sube de 0,565 a 0,757.
Todo a bonos - Ajustada sobre 1928-1957, el optimizador pone el 93,4% en bonos del Tesoro, y puntúa 0,029 a lo largo de las tres décadas de tipos al alza que vinieron después.
Cuando funcionó - Ajustada sobre 1970-1994 y mantenida durante 1995-2009, la cartera optimizada sí bate a los pesos iguales: 0,772 frente a 0,658.
Solo acciones y bonos - Dos activos y un ajuste de 49 años, donde la frontera es una curva simple y la cartera tangente lleva un 27,2% de renta variable.