Matemáticas de la lotería

Define n, k y los importes de los premios. La herramienta calcula todas las probabilidades a partir de C(n,k), el valor esperado por nivel y tus probabilidades de bote a lo largo de la vida.

Ejemplo resuelto — Matemáticas de la lotería

Años hasta el 50% de probabilidad de bote	1.9M years
Probabilidad del bote	1 in 139.838.160
Combinaciones totales	139.838.160
Tasa de retorno	28.6%
VE / boleto	€-0.857
Bote de equilibrio	€134.9M
Retorno a los jugadores	28.6%
Margen del operador	71.4%

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

el valor esperado y el problema de los 292 millones de años 🖖

La probabilidad de bote del Powerball es 1 entre 292.201.338: hay que acertar 5 números de 69 y luego el Powerball de un bombo aparte con 26 bolas; C(69,5) × 26 da exactamente esa cifra. Con un boleto a la semana, la distribución geométrica indica que habría que esperar en promedio unos 5,6 millones de años para ganar un solo bote. Comprar más boletos apenas cambia las cosas: 10 boletos a la semana solo reducen la espera a 560.000 años, porque las probabilidades escalan de forma lineal mientras el valor esperado por boleto sigue siendo negativo — el fondo de premios nunca devuelve por completo lo recaudado en ventas. La lotería no es una mala inversión; simplemente no es una inversión.

dos loterías, reglas distintas, las mismas probabilidades 🖖

En el fondo esta herramienta solo cuenta: cada boleto válido es una combinación, todas igual de probables, así que la probabilidad es uno dividido por la cuenta. Lo que eso esconde es lo distinto que pueden ser dos caminos hacia la misma cuenta. El 6/49 alemán saca seis bolas de 49 y añade un Superzahl de diez: 13.983.816 × 10. EuroMillones saca cinco de 50 y añade dos estrellas de doce: 2.118.760 × 66. Ambos dan exactamente 139.838.160 boletos posibles — no aproximadamente, exactamente, porque C(49,6) es 6,6 veces C(50,5) y 66 es 6,6 veces 10. Dos comisiones en dos países, y el mismo número de formas de perder.

el hombre que compró una lotería 🖖

En 1992, un sindicato liderado por el matemático Stefan Mandel apuntó a la Lotería de Virginia, que solo tenía C(44,6) = 7,059,052 boletos posibles a $1 cada uno, mientras el bote había crecido hasta unos $27 millones. Cuando el fondo de premios supera el costo de comprar todas las combinaciones, el valor esperado se vuelve positivo — así que intentaron adquirirlos todos. Alcanzaron a imprimir unos 5 millones de boletos a tiempo, y ganaron. Con esta combinatoria por fuerza bruta, Mandel ganó loterías 14 veces.

Seis loterías, una fórmula

El sorteo principal de Powerball es más fácil que el del 6/49 alemán

Acertar cinco números de 69 es más fácil que acertar seis de 49 — 1 entre 11.238.513 frente a 1 entre 13.983.816. Toda la dificultad extra de Powerball viene del segundo bombo. Eso es lo que muestra el desglose de abajo: un bote es el sorteo principal multiplicado por el bono, y los diseñadores intercambian uno por otro.

Lotería	El sorteo	Sorteo principal, 1 entre	Factor del bono	Bote, 1 entre
UK Lotto	6/59	45.057.474	—	45.057.474
Viking Lotto	6/48 + 1/8	12.271.512	×8	98.172.096
Lotto alemán 6/49	6/49 + 1/10	13.983.816	×10	139.838.160
EuroMillones	5/50 + 2/12	2.118.760	×66	139.838.160
EuroJackpot	5/50 + 2/12	2.118.760	×66	139.838.160
Powerball de EE. UU.	5/69 + 1/26	11.238.513	×26	292.201.338

Compara las dos columnas centrales entre sí. EuroMillones tiene con diferencia el sorteo principal más fácil de los seis — 1 entre 2.118.760, veinte veces más fácil que el del Reino Unido — y aun así acaba entre los botes más difíciles, porque sus dos estrellas multiplican la cuenta por 66. El UK Lotto es el único juego aquí sin segundo bombo, y justo por eso su bote es el más alcanzable. Tres de los seis coinciden hasta el último dígito en 139.838.160: el 6/49 y EuroMillones llegan por caminos opuestos, y EuroJackpot comparte la estructura de EuroMillones desde 2022. La igualdad es exacta y no aproximada — C(49,6) es 6,6 veces C(50,5), y 66 es 6,6 veces 10. Cada cifra de la tabla sale del mismo C(n,k) que ejecuta la herramienta, y cada columna de bote se verifica al compilar contra las probabilidades publicadas del juego.

Referencias (5)

UK Lotto prize-tier odds — jackpot 1 in 45,057,474, five plus bonus 1 in 7,509,579: Lottery.co.uk, Lotto Odds
Powerball 1 in 292,201,338: Multi-State Lottery Association, Powerball prizes and odds
EuroMillions 5 of 50 plus 2 Lucky Stars of 12: EuroMillions, Odds of Winning
That players really do avoid recently drawn numbers, measured on actual ticket sales: C. T. Clotfelter and P. J. Cook, "The ‘Gambler’s Fallacy’ in Lottery Play." Management Science 39(12), 1521–1525, 1993.
Why a short run is expected to look like a long one, which is the error underneath it: A. Tversky and D. Kahneman, "Belief in the law of small numbers." Psychological Bulletin 76(2), 105–110, 1971.

Problema resuelto al detalle

Seis números de 49 y un Superzahl de diez en la lotería alemana 5 pasos
Lotto alemán: seis números de 49, más un Superzahl de entre diez. Calcula las probabilidades y plantea la pregunta definitiva: ¿qué cuantía debe alcanzar el bote para que valga la pena comprar un boleto?
1. El orden no importa para los seis números principales, por lo que se trata de una combinación: el número de arreglos ordenados dividido entre las 720 formas en que pueden salir esos mismos seis.
  
  $(6 49) = \frac{49 !}{6 ! 43 !} = 13983816$
2. El Superzahl se extrae por separado, por lo que multiplica en lugar de sumar: diez resultados independientes añadidos a casi catorce millones.
  
  $\times 10 Superzahl ⟹ 139838160 outcomes$
3. La rentabilidad esperada es lo que devuelve el operador y, con un 28,6% en un boleto de 1,20 €, equivale a 34 céntimos. El resto es la pérdida.
  
  $E [return] = 0.286 \times 1.20 = 0.343 ⟹ E [profit] = - 0.857 per ticket$
4. Por tanto, el coste esperado del boleto es de 0,857 € en todo momento, y ninguna estrategia altera esa cifra: elegir cumpleaños, evitar los números de la semana anterior o jugar en peñas dejan el resultado exactamente igual.
5. Para que la esperanza matemática alcance el punto de equilibrio, el bote por sí solo tendría que compensar el déficit, lo que requiere unos 135 millones de euros.
  
  $break-even : J \times \frac{1}{139 838 160} must cover the shortfall \Rightarrow J \approx 134.9 M$
Respuesta

La herramienta muestra 1 entre 139.838.160, una tasa de rendimiento del 28,6% y una pérdida esperada de 0,857 € por boleto. Hay dos conclusiones que valen más que las propias probabilidades. En primer lugar, el bote de equilibrio de unos 134,9 M€ a veces se alcanza, e incluso entonces el boleto no es una buena apuesta, porque un bote compartido reduce la cuantía del premio mientras que las probabilidades se mantienen intactas. En segundo lugar, jugar un boleto a la semana ofrece un 50% de probabilidad de ganar el bote al cabo de unos 1,9 millones de años. La cifra que vende boletos es el premio; la cifra que los decide es el 28,6%, y esa no aparece impresa en ningún boleto.

$N = (6 49) \times 10 = 139838160; E = - 0.857 per 1.20 ticket$

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-05-14

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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