Apuestas con martingala

Una unidad al rojo. Tras cada pérdida, el doble, hasta ganar. Observa cómo les va a los jugadores durante mil sesiones; después, cambia el capital y comprueba qué consigues al alargar la secuencia de apuestas.

Ejemplo resuelto — Apuestas con martingala

Ventaja de la casa por unidad apostada	2,70%
Apuestas que permite el capital, k	10
Sesiones con una unidad de ganancia	99,8725%
Sesiones que pierden toda la secuencia	0,1275%
Resultado esperado por sesión, E(R)	−0,3056
Total apostado esperado por sesión, E(S)	11,308
Resultado por unidad apostada	−2,7027%
Jugadores sin sesiones perdidas en 1000	27,92%

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Apuestas con martingala

El sistema de apuestas de la martingala empieza con una unidad en una apuesta que paga a la par, dobla el importe tras cada pérdida y termina en la primera victoria, con una unidad de beneficio. Si el capital permite hacer k apuestas, 2^k − 1 unidades, una sesión lo pierde todo con probabilidad q^k. Su resultado esperado es 1 − (2q)^k y el total apostado esperado es la suma de (2q)ⁱ para i desde 0 hasta k − 1. El cociente entre ambos es exactamente p − q. En teoría de la probabilidad, una martingala es un proceso cuyo siguiente valor esperado, condicionado a toda la información disponible hasta ese momento, coincide con su valor actual: la descripción matemática de un juego justo.

Qué significa cada símbolo

B: el capital, medido en unidades de la primera apuesta
k: el número de apuestas que permite el capital: el mayor k tal que 2^k − 1 ≤ B
q: la probabilidad de perder una apuesta, 1 − p
R: el resultado de una sesión: +1 o −(2^k − 1)
S: el total apostado en una sesión
X: el número de sesiones perdidas entre n

Supone: Cada sesión empieza de nuevo con una apuesta de una unidad y el capital repuesto. Las apuestas pagan a la par y, si sale cero, se pierde todo lo apostado. Un límite de mesa corta la escalera igual que un capital menor.

La martingala gana casi todas las sesiones y deja a la casa su ventaja por cada unidad apostada 🖖

Pulsa 1.023 u., 1.000 sesiones. Apuesta 1 unidad al rojo, dobla tras cada pérdida y detente en cuanto ganes. Esa victoria deja una unidad de beneficio, sean cuales sean las pérdidas anteriores, porque cada apuesta las supera en una unidad. Con 1.023 unidades puedes hacer 10 apuestas, 1 + 2 + … + 512. La sesión termina con una unidad de ganancia salvo que el rojo no salga en 10 tiradas seguidas, algo que ocurre en el 0,1275 % de las sesiones. Entonces pierdes las 1.023. La línea gris discontinua representa cómo se vive el sistema desde dentro: una unidad por sesión. El resultado esperado de una sesión es 0,998725 × 1 − 0,001275 × 1.023 = −0,3056. Se apuestan, de media, 11,308 unidades por sesión: la mayoría termina en la primera o la segunda apuesta y unas pocas suben por la escalera. El cociente entre el resultado esperado y el total apostado esperado, calculado antes de redondear, es −2,7027 %. Coincide en todas sus cifras con −1/37, la ventaja de la casa en una apuesta al rojo. La igualdad se cumple con cualquier capital. Una sesión es una secuencia de apuestas y cada una pierde, de media, 1/37 de su importe, sea cual sea su tamaño. Pulsa Una moneda equilibrada y el resultado esperado será exactamente 0. Aquí se aplica el teorema de parada opcional de Doob. Kyle Siegrist lo expresa con claridad en su manual, en la versión para el jugador: si los juegos son justos o desfavorables, «ningún tiempo de parada, por ingenioso que sea, puede ayudar al jugador». Una sesión que termina en un máximo de 10 apuestas es un caso especialmente sencillo. La palabra perteneció primero a los jugadores. Roger Mansuy la encuentra en el diccionario del abate Prévost de 1750: doblar la apuesta tras cada pérdida en el faraón «para retirarse con una ganancia segura, siempre que gane una vez». Jean Ville llevó el término a la teoría de la probabilidad en 1939.

Casi todas las sesiones se ganan y, tras 1.000 sesiones, la mayoría de los jugadores acumula pérdidas 🖖

Mantén 1.023 u., 1.000 sesiones y observa al grupo: 400 jugadores que reponen el capital después de cada pérdida. Cada línea sube una unidad por sesión ganada y cae 1.023 cuando se pierde. La probabilidad de perder una sesión es pequeña, un 0,1275 %, pero cada jugador juega mil. Tras 1.000 sesiones, el 27,92 % no ha perdido ninguna y tiene un saldo de +1.000. Los demás han perdido al menos una vez. Basta una sola sesión perdida para quedar en 999 − 1.023 = −24, de modo que el 72,08 % está en pérdidas. La mediana del tiempo hasta la primera sesión perdida es de 544 sesiones; pulsa 100 sesiones y el 88,02 % sigue sin perder ninguna. La media tras 1.000 sesiones es 1.000 × (−0,3056) = −305,6, la línea morada discontinua. En el panel inferior puedes ver que ningún jugador tiene ese saldo. Los únicos totales posibles son 1.000, −24, −1.048 y los que siguen, separados por saltos de 1.024: cada sesión perdida cuesta las 1.023 unidades y la unidad que se dejó de ganar. El sistema concentra las pérdidas en golpes poco frecuentes de 1.023 unidades. Por eso puedes pasar tanto tiempo con la sensación de estar ganando.

Una escalera más larga aumenta la pérdida esperada por sesión 🖖

Pulsa 63 u.: seis apuestas. Con 63 unidades puedes hacer 6 apuestas. Una sesión las pierde todas el 1,8336 % de las veces y su resultado esperado es −0,1735. Con 1.023 unidades, es −0,3056. Pulsa Un millón de unidades: 1.048.575 unidades permiten hacer 20 apuestas. Solo se pierde una sesión el 1,63×10⁻⁴ % de las veces y el resultado esperado es −0,7047. La tabla de capitales muestra de dónde sale esa pérdida adicional. Rara vez se llega a los peldaños más altos, pero allí se apuestan cantidades mucho mayores. El total apostado esperado aumenta: 6,420, 11,308, 26,072. La casa se queda con el 2,7027 % de cada unidad. Con el millón de unidades, el 99,84 % de los jugadores completa 1.000 sesiones sin perder ninguna y acaba con 1.000 de ganancia. La media sigue siendo −704,7: la paga el 0,16 % que pierde 1.048.575 de golpe. En sus memorias, Casanova recuerda que durante el Carnaval de Venecia de 1754 jugó una escalera de seis apuestas: «Nunca perdí la sexta carta. Si la hubiera perdido, me habría quedado sin fondos» (lo citan Grinstead y Snell). Con una moneda equilibrada, cualquier capital da un resultado esperado de exactamente 0, por larga que sea la escalera. Solo un capital ilimitado permite escapar: gana una unidad con probabilidad uno, a costa de un total apostado esperado por sesión infinito. En el siguiente peldaño, el juego de San Petersburgo, las duplicaciones pasan al premio: el bote se dobla con cada lanzamiento y su valor esperado es infinito.

Problema resuelto al detalle

El coste de mil sesiones sin pérdidas 4 pasos
Al apostar al rojo en la ruleta europea, ¿qué capital necesitas para tener un 90 % de probabilidad de jugar 1.000 sesiones sin perder ninguna y cuál es el coste por sesión? Pulsa primero 1.023 u., 1.000 sesiones: la página muestra esa probabilidad para un capital de 1.023 unidades.

Abre este problema en la herramienta
1. Según la página, con 10 apuestas:
  
  $(1 - q^{10})^{1, 000} = (1 - 0.001275)^{1, 000} = 0.2792$
2. Para llegar al 90 %, la probabilidad de perder una sesión debe bajar hasta:
  
  $(1 - q^{k})^{1, 000} \geq 0.9 \Rightarrow q^{k} \leq 1 - 0 . 9^{1/1, 000} = 0.00010535$
3. Cada apuesta adicional multiplica esa probabilidad por q = 19/37, así que el número mínimo de apuestas es:
  
  $k \geq \frac{ln 0 . 00010535}{ln ( 19/37 )} = \frac{- 9 . 1582}{- 0 . 6665} = 13.74 \Rightarrow k = 14$
4. Para 14 apuestas hacen falta 2¹⁴ − 1 unidades. La misma fórmula da el resultado esperado:
  
  $B = 2^{14} - 1 = 16, 383 : (1 - q^{14})^{1, 000} = 0.9152, E (R) = 1 - (\frac{38}{37})^{14} = - 0.4526$
Respuesta

Con 16.383 unidades, suficientes para 14 apuestas, la probabilidad es del 91,52 %. Con 13 apuestas, 8.191 unidades, solo llega al 84,14 %. El coste se refleja en el resultado esperado: −0,4526 por sesión en lugar de −0,3056, es decir, −452,6 en las mil sesiones en lugar de −305,6. Multiplicar el capital por 16 mejora la probabilidad de no perder ninguna sesión y aumenta también la pérdida esperada.

$B = 16, 383 : 91 . 52%, 1, 000 \times (- 0.4526) = - 452.6 (B = 1, 023 : - 305.6)$

Ruta de aprendizaje

Juegos justos que te arruinan

Referencias (3)

Where the name comes from, which the first insight quotes: the abbé Prévost's dictionary of 1750 defines the martingale, at faro, as doubling the stake at each loss "in order to quit with a sure profit, provided that he wins once"; Jean Ville's 1939 thesis took the gamblers' word into probability, and Doob adopted it from there. The Provençal and harness etymologies are reported as uncertain: R. Mansuy, "The Origins of the Word 'Martingale'", translated by R. Sverdlove. Journ@l Électronique d'Histoire des Probabilités et de la Statistique / Electronic Journal for History of Probability and Statistics 5(1), June 2009.
Doob's optional stopping theorem for bounded stopping times, and the gambler's reading the first insight quotes, "If the games are fair or unfavorable, then no stopping time, regardless of how cleverly designed, can help the gambler"; with the red-and-black identity E(Xᵢ) = E(Xᵢ₋₁) + (2p − 1)E(Yᵢ), which summed over a session's bets gives the page's E(R) = (p − q)E(S): K. Siegrist, Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes (randomservices.org). Chapter 16, Martingales, §3 Stopping Times; and Chapter 12, Games of Chance, §9 Red and Black.
Casanova's martingale in Venice, quoted in the third insight ("I never lost the sixth card. If I had lost it, I should have been out of funds"), the doubling system set as Exercise 10 of §1.1, and Exercise 12 of §6.1, the page's 63-unit ladder on a wheel with no zero (start with 1, stop at the first win or when black has come up six times and you are down 63): C. M. Grinstead and J. L. Snell, Introduction to Probability, 2nd edition, American Mathematical Society; the CHANCE Project version dated 4 July 2006 (GNU Free Documentation License). §1.1, Historical Remarks, pp. 11–12, and Exercise 10; §6.1, Martingales and Exercise 12.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.