Equilibrio de Nash en un juego de dos por dos

Introduce los ocho pagos. La herramienta marca la mejor respuesta de cada jugador en las propias celdas (una celda marcada dos veces es un equilibrio) y luego resuelve las condiciones de indiferencia para encontrar el equilibrio mixto.

Ejemplo resuelto — Equilibrio de Nash en un juego de dos por dos

El juego	Juego del gallina
Equilibrios	3
Fila juega Arriba	33,3 %
Columna juega Izquierda	33,3 %
El equilibrio mixto paga	1,67 / 1,67
Ambos juegan Abajo	44,4 %

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Equilibrio de Nash en un juego de dos por dos

Un equilibrio de Nash es un par de estrategias, una para cada jugador, en el que ninguno puede mejorar si cambia en solitario. Hablamos de una afirmación exclusiva sobre movimientos unilaterales. No te dice que el resultado sea bueno, justo o el mejor al que pudieran aspirar. Una estrategia mixta asigna una probabilidad a los dos movimientos. Un equilibrio mixto es el escenario donde cada jugador decide ser deliberadamente impredecible, algo que solo consiguen con una frecuencia exacta.

Qué significa cada símbolo

p: la frecuencia con la que el jugador de la fila elige su fila superior
q: la frecuencia con la que el jugador de la columna elige su columna izquierda

Supone: Que ambos jugadores conocen la matriz de pagos completa, eligen al mismo tiempo y no pueden hacerse promesas. Puedes flexibilizar cualquiera de estas condiciones. Cada variante te adentrará en una rama distinta de la teoría de juegos. Los juegos secuenciales, la información incompleta o los juegos cooperativos te ofrecerán respuestas diferentes a los mismos ocho números.

Tus propias probabilidades no son asunto tuyo 🖖

Fíjate en los pasos 4 y 5. La ecuación que determina con qué frecuencia el jugador fila juega Arriba solo contiene los cuatro números del jugador columna, y la que determina la frecuencia del jugador columna solo contiene los del jugador fila. Para eso sirve la mezcla: eliges tus frecuencias para que tu oponente no tenga motivo alguno para preferir una opción sobre otra, así que la ecuación que resuelves es la suya y no la tuya. Escribe sobre uno de tus propios pagos, sin tocar los de tu oponente, y verás que tu propio porcentaje no se inmuta (justo hasta el punto en que tu modificación destruye el equilibrio mixto por completo y la tarjeta indica ninguno). La trampa está en esa segunda parte. En el tiro de penalti las dos matrices están vinculadas porque cada punto que gana el lanzador es uno que pierde el portero. Esto significa que un lanzador que de verdad mejora cambia ambas matrices y su propia mezcla termina moviéndose: sube su tiro sin cubrir de 95 a 99 y baja el 5 del portero a 1 para igualar; verás que pasa de lanzar Arriba el 36,4% de las veces a un 33,9%.

Mejorar en algo puede perjudicarte 🖖

Pulsa Gallina y luego Gallina, valor premiado. Ha cambiado un número y pertenece al jugador fila: mantener el tipo frente a alguien que se desvía paga ahora 12 en lugar de 5. Su propio comportamiento no cede (sigue desviándose el 33,3% del tiempo), pero su pago de equilibrio cae de 1,67 a 1,20, lo que supone un descenso del 28%. El que sí se ha movido es el otro conductor, que ha bajado de desviarse un 33,3% del tiempo a un 10,0%. Con un premio tan grande, una probabilidad de uno entre diez de que el otro coche ceda ya es suficiente para que valga la pena conducir en línea recta. En consecuencia, eso es todo el margen para ceder que deja el equilibrio. Ambos coches ahora conducen recto el 60,0% del tiempo cuando antes lo hacían el 44,4%. La recompensa por ser mejor llevando las cosas al límite es un oponente que ve tu farol más a menudo, más choques y un pago menor, mientras que el pago del jugador columna no se mueve en absoluto.

Uno o tres, nunca dos 🖖

Ajusta los ocho pagos para que ningún jugador se quede exactamente indiferente y luego cuenta los equilibrios: obtienes uno o tres. Barre los 65.536 juegos de dos por dos cuyos pagos son números enteros de 0 a 3 y resultan 31.968 con uno y 7.968 con tres. Hay 25.600 con un recuento par, y todos y cada uno de ellos contienen un empate (dos pagos con los que un jugador está igual de satisfecho). Por eso un borde entero del cuadrado se convierte en una mejor respuesta y los caminos del diagrama se superponen en lugar de cruzarse. Escribe 2 en las ocho casillas y verás el caso extremo: cada celda es un equilibrio, cuatro de ellos. Robert Wilson demostró en 1971 que casi todo juego finito tiene un número impar de equilibrios, y el diagrama te muestra por qué. Dos caminos que van cada uno de un lado a otro de un cuadrado tienen que encontrarse y lo hacen un número impar de veces, a menos que queden uno encima del otro.

Problema resuelto al detalle

¿Qué consigues realmente al mezclar? La herramienta imprime las frecuencias de equilibrio y es fácil interpretarlas como una forma de explotar al otro jugador. No lo son. Calcula lo que gana el jugador fila cuando el jugador columna abandona el equilibrio por completo, en cada uno de los dos juegos.

Abre este problema en la herramienta
1. Tomemos el tiro de penalti. Escribe la probabilidad esperada de marcar del lanzador en función de ambas mezclas, con p para disparar a la izquierda y q para el portero lanzándose a la izquierda.
  
  $E_{kick} = p (60 q + 95 (1 - q)) + (1 - p) (90 q + 70 (1 - q))$
2. Agrupa los términos q. La probabilidad del lanzador depende del portero únicamente a través del paréntesis que multiplica a q, y con p = 20/55 ese paréntesis vale exactamente cero.
  
  $E_{kick} = 70 + 25 p + q (20 - 55 p)$
3. De este modo, en su mezcla de equilibrio el lanzador marca un 79,09% independientemente de lo que haga el portero: que se lance a la izquierda cada vez, que se lance a la derecha siempre o que tire una moneda no supone ninguna diferencia. Esa es una garantía y es lo que él está asegurando.
  
  $p = \frac{20}{55} ⟹ 20 - 55 p = 0, E_{kick} = 70 + 25 \cdot \frac{20}{55} = 79.09%$
4. Ahora el mismo cálculo para Gallina, donde las dos matrices de pagos no están vinculadas.
  
  $E_{row} = p (3 q + 1 (1 - q)) + (1 - p) (5 q + 0) = p + q (5 - 3 p)$
5. Con p = 1/3 el paréntesis vale 4, no 0. El pago del jugador fila sigue dependiendo por completo del otro conductor: 0,33 si nunca se desvían, 4,33 si lo hacen siempre.
  
  $p = \frac{1}{3} ⟹ 5 - 3 p = 4, E_{row} = \frac{1}{3} + 4 q \in [\frac{1}{3}, 4 \frac{1}{3}]$
6. El motivo es que un tiro de penalti es de suma constante: cada punto que gana el lanzador es uno que pierde el portero. Así pues, hacer indiferente al portero y poner a salvo tu propio pago son el mismo acto. Las dos matrices de Gallina son independientes, sus celdas suman 6, 6, 6 y 0, y ambas cosas se separan.
  
  $A_{r c} + B_{r c} = 100 \forall r, c vs A_{r c} + B_{r c} \in {6, 6, 6, 0}$
Respuesta

En un juego de suma constante la mezcla de equilibrio es una garantía. El 79,09% del lanzador se mantiene frente a cualquier portero, incluido uno que haya leído esta página. Este es el teorema minimax de von Neumann y la razón por la que los futbolistas profesionales se convirtieron en objeto de investigación. Ignacio Palacios-Huerta estimó las probabilidades de marcar en los penaltis de liga, calculó las frecuencias minimax que implican y no pudo rechazar la hipótesis de que los jugadores las estuvieran utilizando. Gallina no tiene tal garantía. El jugador fila que mezcla 1/3 gana desde 0,33 a 4,33 dependiendo de un conductor que no controla, y el 1,67 es simplemente lo que llega si ese conductor también cumple su parte. La suma constante es suficiente para la garantía, pero no es lo que esta exige. Ajusta los pagos del jugador fila a 4, 0, 0, 4 frente a los 7, 2, 3, 8 del jugador columna y las celdas sumarán 11, 2, 3 y 12, mientras que el jugador fila seguirá anclado en exactamente 2,00 haga lo que haga el jugador columna. Lo que la garantía realmente necesita es que la mezcla que hace indiferente a tu oponente sea la misma que anula su influencia sobre ti, y la suma constante obliga a que ambas coincidan.

$\forall q 79.09% vs 0.33 \to 4.33 \frac{1}{3} + 4 q$

Ruta de aprendizaje

La mejor respuesta y lo que pasa cuando nadie la calcula

Referencias (3)

Two pages, and the reason every game on this tool has an equilibrium at all: J. F. Nash, "Equilibrium points in n-person games." Proceedings of the National Academy of Sciences 36(1), 1950, pp. 48–49.
Where insight block 3's "one or three, never two" comes from: R. Wilson, "Computing Equilibria of N-Person Games." SIAM Journal on Applied Mathematics 21(1), 1971, pp. 80–87.
The empirical test the worked problem ends on — whether people actually mix at the equilibrium frequencies: I. Palacios-Huerta, "Professionals Play Minimax." Review of Economic Studies 70(2), 2003, pp. 395–415.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.