El dilema del prisionero y el torneo de Axelrod

Configura los cuatro pagos. La herramienta encuentra la mejor respuesta a cada uno de los movimientos del otro jugador, luego ejecuta una liga de ocho estrategias y muestra lo que gana cada una por ronda a medida que la partida se alarga.

Ejemplo resuelto — El dilema del prisionero y el torneo de Axelrod

El juego	Dilema del prisionero
Si ellos cooperan	Traicionar
Si ellos traicionan	Traicionar
Mejor contra sus dos movimientos	Traicionar
Lo que paga el equilibrio a cada uno	1
La condición para repetir	Yes
Estrategia	Toma y dos dacas
Por ronda	2,564

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — El dilema del prisionero y el torneo de Axelrod

Un juego es un dilema del prisionero cuando sus cuatro pagos cumplen dos desigualdades. Con T > R > P > S, traicionar es tu mejor respuesta ante cualquier jugada. Por eso, ambos jugadores traicionan. Al final, los dos terminan peor que si hubieran cooperado. Por otro lado, 2R > T + S garantiza que la cooperación mutua beneficie más a la pareja que explotarse por turnos. Esta segunda condición es fundamental. Hace que valga la pena jugar de forma repetida, en lugar de caer en una simple carrera por alternar.

Qué significa cada símbolo

T: la tentación: lo que obtienes al traicionar a quien coopera
R: la recompensa: lo que obtienes cuando ambos cooperan
P: el castigo: lo que obtienes cuando ambos traicionan
S: el incauto: lo que obtienes al cooperar con quien te traiciona

El ganador del torneo nunca ganó una partida 🖖

Fíjate en la última columna. Siempre deserta gana seis de sus ocho encuentros en cualquier cantidad de rondas de 1 a 200, y a partir de la séptima ronda acaba en último lugar. Ojo por dos ojos no gana ninguno de sus ocho encuentros sin importar la cantidad de rondas, pero al cabo de las 200 rondas que usó Axelrod, termina en primera posición. Observa cómo sucede. Ojo por dos ojos espera a una segunda deserción antes de tomar represalias, así que Siempre deserta le arrebata cinco puntos dos veces, y luego pasa 198 rondas acumulando un punto ante un jugador que ha dejado de cooperar: 5 + 5 + 198 = 208, frente a 0 + 0 + 198 = 198. Gana ese encuentro por diez puntos y no tiene importancia, porque la tabla premia un total y no un margen. Mientras Siempre deserta conseguía ahí 1,04 puntos por ronda, las cinco estrategias que empiezan cooperando acumulaban tres por ronda entre ellas. Robert Axelrod, cuyo torneo de 1980 aportó este diseño y estos pagos, dejó escrita la conclusión a modo de consejo. No seas envidioso. No juegas contra el otro jugador, juegas contra el grupo.

Cuatro rondas son toda la diferencia 🖖

Arrastra el control de rondas hasta uno. Siempre traicionar encabeza la tabla con 4,000 puntos por ronda, y cualquier estrategia que abra cooperando se sitúa por debajo. Dos rondas: sigue primera, con 3,250. Tres: 2,833, aún primera. En la cuarta cae al tercer puesto y jamás vuelve a liderar. Vuelve a poner el control en doscientas. La línea vertical discontinua del gráfico marca la primera ronda en la que el liderato cambió de manos. Cambia once veces más pasada la ronda veinte, la última en la 48, y desde ahí Tit for Two Tats lo conserva. Explora los 250 conjuntos de pagos con números enteros de 0 a 10 que forman un verdadero dilema. En 237 de ellos una estrategia amable toma la delantera: por lo general en la ronda 4, a más tardar en la 20. En 13 de ellos nunca lo hace dentro de las 200 rondas. El juego en sí no ha cambiado. Cada ronda sigue teniendo su mismo movimiento dominante y su mismo equilibrio. Lo que aporta la cuarta ronda es una factura, porque ahora una traición te cuesta algo más adelante, y cuatro rondas son tiempo suficiente para que llegue.

Dos errores de cada cien hacen casi todo el daño que harían veinte 🖖

Con el ruido desactivado, el 62,2% de los movimientos jugados son cooperación. Mueve el control al 2%, para que dos movimientos de cada cien resulten opuestos a lo que pretendía la estrategia. La cooperación cae al 50,2%. Luego sigue subiendo: 50,6% al 4%, 50,2% al 10%, 50,0% al 20%. Diez veces la tasa de error, y no se pierde nada más. Lo que ese dos por ciento rompe, se queda roto. Rencoroso exhibe esta ruptura en su faceta más brutal, porque nunca perdona: una traición de su oponente, en cualquier momento de las 200 rondas, acaba para siempre con la cooperación en esa partida, y la estrategia cae del segundo puesto al quinto. Tit for Tat generoso, que perdona una traición de cada tres, escala al segundo puesto. Sin ruido solo llega al tercero, que es el precio del perdón cuando nadie lo necesita.

Problema resuelto al detalle

¿Cuánto tiene que durar la relación? La herramienta juega un número fijo de rondas, y ninguna de sus ocho estrategias cambia su forma de jugar a medida que se acerca el final. Un juego repetido real termina en un momento que nadie puede predecir. Así que la pregunta no es cuántas rondas hay, sino qué probabilidad hay de jugar otra.

Abre este problema en la herramienta
1. Llama w a la probabilidad de que la partida continúe después de esta ronda. Contra Rencoroso, que castiga una traición para siempre, cooperar para siempre paga R cada ronda, y esa serie geométrica suma R entre 1 menos w.
  
  $R + w R + w^{2} R + \dots = \frac{R}{1 - w}$
2. Traicionar una vez paga T esta ronda y P en cada ronda posterior, porque Rencoroso nunca vuelve.
  
  $T + w P + w^{2} P + \dots = T + \frac{w P}{1 - w}$
3. La cooperación se mantiene cuando lo primero es al menos lo segundo. Multiplica todo por 1 menos w y la serie desaparece, dejando una desigualdad en w.
  
  $\frac{R}{1 - w} \geq T + \frac{w P}{1 - w} ⟺ R \geq T - w (T - P)$
4. Con los pagos de Axelrod, eso es dos sobre cuatro. El encuentro necesita tener las mismas probabilidades de continuar que de acabar, o mejores, lo que supone una duración esperada de dos rondas.
  
  $w \geq \frac{T - R}{T - P} = \frac{5 - 3}{5 - 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \frac{1}{1 - w} = 2$
5. Ahora la misma desviación contra Toma y daca, que castiga durante una ronda y luego perdona: el que se desvía obtiene T, luego S, luego R de nuevo para siempre. El umbral sube a dos tercios, una duración esperada de tres rondas.
  
  $R (1 + w) \geq T + w S ⟺ w \geq \frac{T - R}{R - S} = \frac{5 - 3}{3 - 0} = \frac{2}{3}, \frac{1}{1 - w} = 3$
6. Aquí el castigador más indulgente necesita la relación más larga, y la razón está en la línea anterior: T − P es la mayor diferencia. No es una regla general. En los 250 dilemas de números enteros que permiten estos cuatro parámetros, se cumple en 50 y se invierte en 130. Ajusta T a 4 y P a 2, y Tit for Tat solo necesita un tercio.
  
  $T - P = 4 > R - S = 3 ⟹ \frac{T - R}{T - P} < \frac{T - R}{R - S}$
Respuesta

Frente a un castigador que nunca perdona, la cooperación resulta estable una vez que w alcanza (T − R)/(T − P) = 1/2, una duración esperada de dos rondas. Frente a uno que perdona tras una sola ronda, requiere (T − R)/(R − S) = 2/3, una esperanza de tres. El punto de cruce en la propia herramienta es 4, y esa brecha entre dos y cuatro representa al grupo: el umbral se pregunta cuándo supera la cooperación a la deserción entre dos jugadores, mientras que la tabla plantea cuándo la media de un cooperador frente a ocho oponentes supera a la de un desertor, sabiendo que tres de esos ocho desertan primero. Dos rondas compran una pareja estable. Cuatro compran una liga.

$w^{*} = \frac{T - R}{T - P} = \frac{1}{2} vs \frac{T - R}{R - S} = \frac{2}{3}$

Ruta de aprendizaje

La mejor respuesta y lo que pasa cuando nadie la calcula

Referencias (4)

The tournament this tool reproduces, reported by the man who ran it — the source for the 1980 date, for the fourteen entries plus RANDOM, and for the nice/not-nice split: R. Axelrod, "Effective Choice in the Prisoner's Dilemma." Journal of Conflict Resolution 24(1), 1980, pp. 3–25.
"Don't be envious", and the argument that a strategy losing every match can still win the tournament: R. Axelrod, The Evolution of Cooperation. Basic Books, New York, 1984.
The 1950 RAND experiment the game came out of, written up by one of the two men who invented it. Albert Tucker gave it the prisoners and the name; this is the experiment: M. M. Flood, "Some Experimental Games." Management Science 5(1), 1958, pp. 5–26.
Why the winner changes when moves come out wrong, and where the one-in-three forgiveness rate this tool gives Generous Tit for Tat comes from: P. Molander, "The Optimal Level of Generosity in a Selfish, Uncertain Environment." Journal of Conflict Resolution 29(4), 1985, pp. 611–618.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.