Dinámica Depredador-Presa

El máximo de depredadores siempre va con retraso respecto al máximo de presas. Cuando hay abundancia de presas, los depredadores prosperan y se multiplican, pero para cuando su número alcanza el máximo, las presas ya se han agotado. La población de depredadores se desploma entonces por inanición, dando a la presa la oportunidad de recuperarse, y el ciclo se repite. Este desfase de un cuarto de ciclo es una consecuencia matemática de las ecuaciones de Lotka-Volterra y coincide con observaciones en sistemas depredador-presa reales, como el lince y la liebre americana.

Las ecuaciones exactas de Lotka-Volterra tienen una cantidad conservada — H = δx − γ ln x + βy − α ln y — que permanece constante a lo largo de cada trayectoria. Esto significa que las órbitas son matemáticamente bucles cerrados: las poblaciones oscilan para siempre sin espiralar hacia dentro o hacia fuera, y sin llegar nunca realmente a cero. Si se empieza cerca del equilibrio (x★, y★), se obtienen bucles suaves, casi circulares. Si se empieza lejos — por ejemplo x₀ = 1, y₀ = 100 —, la órbita es una excursión larga y estrecha que produce ciclos en forma de dientes de sierra: los depredadores se desploman por inanición, la presa se recupera de forma explosiva, y luego el auge de depredadores vuelve a hundir a la presa. La forma en picos no es un artefacto numérico; es la solución correcta de gran amplitud. Lo que sí es un artefacto es la supervivencia misma. En una ecuación diferencial continua, las poblaciones se acercan a cero pero nunca lo alcanzan. En un ecosistema real con animales discretos, el punto más bajo significa un puñado de individuos, y los eventos aleatorios provocan entonces la extinción real. La simulación evita esto limitando las poblaciones a 0,01, mostrando así la órbita matemática en lugar de la realidad biológica. Un modelo estocástico mostraría en cambio que los desequilibrios iniciales extremos suelen terminar en colapso.

Vito Volterra formuló estas ecuaciones en 1926 para resolver un enigma planteado por su yerno, el biólogo Umberto D'Ancona: ¿por qué había aumentado la proporción de peces depredadores en las capturas del Adriático durante la Primera Guerra Mundial, cuando la pesca casi se detuvo? La respuesta es el principio de Volterra: una mortalidad que afecta por igual a ambas especies eleva la población media de presas y reduce la de depredadores. Explica por qué los insecticidas de amplio espectro pueden ser contraproducentes: matar a las plagas y a sus enemigos naturales suele dejar más plagas que antes.