Crecimiento poblacional y caos

Explora la dinámica poblacional: el crecimiento logístico continuo y el camino hacia el caos del mapa logístico discreto.

Ejemplo resuelto — Crecimiento poblacional y caos

Tasa de crecimiento (r)	0.5
Capacidad de carga (K)	1000
Población inicial (N₀)	10
Población final	1000.0

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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El caos viene de cortar el tiempo en pasos 🖖

La ecuación logística continua se porta notablemente bien: cualquiera que sea la tasa de crecimiento que le des, la población sube o baja suavemente y se asienta en la capacidad de carga, sin oscilación y sin sorpresas, para siempre. Todo el comportamiento salvaje aparece solo cuando el mismo modelo se escribe en generaciones discretas, xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ). Allí el estado estacionario permanece estable solo mientras r está por debajo de 3, se parte en un ciclo de dos años en r = 3, se duplica una y otra vez y se disuelve en caos alrededor de r = 3,5699. La misma biología, el mismo parámetro — la diferencia es si la reproducción ocurre de forma continua o una vez por temporada. El caos es una propiedad del paso temporal, no de la población.

Por qué las curvas de crecimiento se aplanan en S 🖖

En el modelo continuo, una población crece más deprisa cuando alcanza justo la mitad de la capacidad de carga. A medida que se acerca a K, cada individuo dispone de menos alimento y espacio debido al hacinamiento; el crecimiento se frena y la curva se aplana hasta adoptar una suave forma de S. Abre la pestaña Continuo y observa cómo el crecimiento máximo se produce en el punto de inflexión, exactamente cuando N = K/2, no al principio.

Un caos que se puede resolver con una fórmula 🖖

Con r = 4 el mapa discreto es totalmente caótico y, sin embargo, tiene una solución exacta en forma cerrada: al escribir x = sin²(π θ), cada paso se reduce a duplicar θ y quedarse con la parte fraccionaria. En binario, duplicar solo desplaza los dígitos a la izquierda, de modo que la órbita «impredecible» no hace más que leer los bits sucesivos del valor inicial. Parece aleatoria únicamente porque fijar θ exigiría precisión infinita.

Problema resuelto al detalle

El modelo discreto con 80 generaciones 5 pasos
Halla dónde se estabiliza una población cuando su propia regla de crecimiento no le permite estabilizarse. Este es el modelo Discreto, x_t+1 = r_dx_t(1 − x_t), con r_d = 3,2, x₀ = 0,1 y 80 generaciones.
1. Un equilibrio es un valor que la aplicación devuelve inalterado. Al resolverlo se obtienen dos raíces, y la útil es la fracción no nula de la capacidad de carga: llena al 68,75 %.
  
  $x^{*} = r x^{*} (1 - x^{*}) ⟹ x^{*} = 1 - \frac{1}{r} = 1 - \frac{1}{3.2} = 0.6875$
2. Que exista un punto fijo no es lo mismo que una población lo alcance. Al desplazar ligeramente la población, la aplicación multiplica ese error por la pendiente en cada generación, de modo que el equilibrio solo se mantiene mientras la pendiente sea menor que 1 en módulo. Con r_d = 3,2 vale −1,2: el signo menos desplaza la población al otro lado de 0,6875 cada año, y el 1,2 la sitúa más lejos de donde empezó.
  
  $f^{'} (x) = r (1 - 2 x), f^{'} (x^{*}) = r (\frac{2}{r} - 1) = 2 - r = - 1.2, ∣ - 1.2 ∣ > 1$
3. Así pues, busquemos en su lugar un par de valores que se intercambien la posición. Cualquier valor que se repita tras dos pasos resuelve f(f(x)) = x, que es una ecuación de cuarto grado —pero el 0 y el 0,6875 ya la resuelven, puesto que todo lo que se repite tras un paso se repite tras dos. Al dividir entre esas dos raíces conocidas, queda una ecuación de segundo grado.
  
  $f (f (x)) - x = - r^{3} x (x - x^{*}) (x^{2} - \frac{r + 1}{r} x + \frac{r + 1}{r ^{2}})$
4. Las raíces de la ecuación de segundo grado constituyen el ciclo. La 80.ª generación de la herramienta es la menor de ellas, en los seis dígitos que muestra; la 79.ª es la mayor.
  
  $x_{1, 2} = \frac{( r + 1 ) \pm ( r + 1 ) ( r - 3 )}{2 r} = \frac{4.2 \pm 0.84}{6.4} = \frac{4.2 \pm 0.916515}{6.4} = 0.513045, 0.799455$
5. El ciclo es un punto fijo de f aplicada dos veces, de modo que se aplica el mismo criterio de estabilidad, y su pendiente es el producto de las pendientes en los dos puntos. Con 0,16, el ciclo contrae los errores en un factor de seis cada doble paso, razón por la cual 80 generaciones desde un valor inicial nada cercano van a parar exactamente a él. Al aumentar r_d hasta que dicho producto alcance −1, el ciclo de período 2 pierde a su vez la estabilidad.
  
  $μ = f^{'} (x_{1}) f^{'} (x_{2}) = 4 + 2 r - r^{2} = 0.16; μ = - 1 ⟹ r = 1 + 6 = 3.4495$
Respuesta

La herramienta imprime 0,513045 y etiqueta el régimen como Oscilación de período 2. Ni una sola cifra de ese resultado es aproximada: equivale a (4,2 − √0,84) / 6,4, un número algebraico, y el régimen transitorio se extinguió décadas de generaciones antes del paso 80. El mecanismo vale más que el número. El equilibrio en 0,6875 no desapareció con r_d = 3: sigue ahí con 3,2, continúa siendo una solución perfectamente válida pero sencillamente inalcanzable, y lo que lo sustituyó nació siendo ya estable. Esto vuelve a ocurrir en 1 + √6 = 3,4495, luego en 3,5441 y después en 3,5644: intervalos de 0,4495, 0,0946 y 0,0203, cada uno aproximadamente 4,7 veces más corto que el anterior. Una sucesión geométrica decreciente tiene una suma finita, de modo que infinitas duplicaciones caben por debajo de 3,5699, y más allá de ese límite no queda ningún ciclo de ninguna longitud en el que caer.

$r_{n} = 3, 1 + 6 = 3.4495, 3.5441, 3.5644, \dots ⟶ r_{\infty} = 3.5699$

Ruta de aprendizaje

Crecimiento con límite

Lleva a Captura

Referencias (1)

Insight blocks 1 and 3 — the discrete logistic map, its period doubling and the 3.5699 threshold: R. M. May, "Simple mathematical models with very complicated dynamics." Nature 261, 459–467, 1976.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Logístico - r = 0,5 y la población crece desde 10 hasta K = 1000. La pendiente alcanza su máximo en t = 9,19, justo cuando N llega a 500; en ese punto, la tasa es rK/4 = 125 por unidad de tiempo.
Crecimiento rápido - La tasa de crecimiento es cuatro veces mayor que en el caso logístico, por lo que supera la mitad de K en t = 1,10 en vez de en 9,19. Aun así, nunca rebasa K: el modelo continuo no puede sobrepasar la capacidad de carga, sea cual sea el valor de r.
Periodo 2 - Con r = 3,2, la población acaba alternando indefinidamente entre dos valores exactos: 0,799455 y 0,513045. Por encima de r = 3, el único punto fijo se ha dividido en dos.
Caos - Con r = 3,9, la población nunca se estabiliza: durante las últimas cien generaciones pasa por cien valores distintos. No hay azar alguno. El mismo valor inicial produce siempre la misma sucesión.