Lección
La teoría — Crecimiento logístico con extracción
El crecimiento logístico con captura de tasa constante es la ecuación dN/dt = rN(1 − N/K) − H: una población que crece más deprisa cuando está a media capacidad, menos un número fijo que se retira cada año sin importar cuántos queden. Esa última cláusula es toda la dificultad. La captura no encoge cuando encoge la población.
Qué significa cada símbolo
r- la tasa de crecimiento intrínseca: con qué rapidez crece la población cuando es pequeña y no está limitada.
K- la capacidad de carga, donde el crecimiento cae a cero.
H- la captura: un número de individuos por unidad de tiempo, no un porcentaje.
N₋, N₊- los dos equilibrios.
N₊es estable y es donde se asienta una población sana;N₋es inestable y es la línea por debajo de la cual ya no puede recuperarse.
De dónde viene la fórmula
- Un equilibrio es una población que no cambia, así que imponga
dN/dt = 0:rN(1 − N/K) = H. El crecimiento a la izquierda, la captura a la derecha: la población se mantiene exactamente cuando lo que produce iguala a lo que se retira. - El lado izquierdo es una parábola hacia abajo en
N, nula enN = 0y enN = K, con su máximo enN = K/2, donde el crecimiento valerK/4. La ecuación es entonces una recta horizontal de alturaHque corta una colina: dos cortes, uno o ninguno. - Al resolver sale
N± = (K/2)(1 ± √(1 − 4H/(rK))). La raíz solo es real mientrasH ≤ rK/4, y de ahí viene el rendimiento máximo sostenible: no como una decisión política, sino como la altura por encima de la cual la recta pasa por encima de toda la colina. - Las dos raíces no son equivalentes. Justo por encima de
N₋la colina queda por encima de la recta, el crecimiento vence a la captura y la población sube; justo por debajo gana la captura, la población baja más y el año siguiente es peor.N₋repele yN₊atrae. Al subirHambos se acercan y se encuentran enK/2, y más allá no hay corte alguno.
Cómo leer lo que ves
La línea azul es la población en el tiempo. La discontinua gris es la capacidad de carga, la verde el equilibrio estable hacia el que se dirige, y la punteada roja el umbral de colapso. La banda roja de debajo es la región desde la que no hay recuperación posible con esta captura: si la línea azul empieza ahí, o alguna vez es empujada ahí, llega a cero. Cuando la captura supera el rendimiento máximo sostenible, ambas discontinuas desaparecen, porque no queda nada donde la población pueda asentarse.
- Supone
- Una sola especie, sin estructura de edades, sin depredadores y sin un entorno que varíe de un año a otro. El crecimiento es logístico, así que el excedente depende solo de la población actual. Y la captura es realmente constante: continúa con el mismo tamaño absoluto por pocos individuos que queden, y eso es lo que hace la extinción alcanzable en tiempo finito y no meramente aproximada.
- Falla cuando
- El equilibrio inestable es peligroso de un modo que esta imagen determinista no puede mostrar. Una población real fluctúa, y basta con que se la empuje una sola vez por debajo de
N₋, por un mal año de reclutamiento, para que el modelo la lleve a cero, con la cuota intacta. Cuanto más cerca esté la captura del rendimiento máximo sostenible, más alto trepaN₋y menor es el golpe necesario para cruzarlo. Gestionar hacia el máximo teórico no es, por tanto, una política algo arriesgada: es la política que hace más pequeño el golpe fatal.
Problema resuelto al detalle
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Extraer solo 10 de una pesquería con rendimiento máximo sostenible de 50 5 pasos
Una pesquería crece de forma logística con r = 0,4 y una capacidad de carga de 500, y su rendimiento máximo sostenible es 50. Extraiga solo 10 —una quinta parte de lo que la población podría soportar— y determine lo cerca que se encuentra todavía del colapso.
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El modelo es un crecimiento logístico menos una captura constante. Constante es el supuesto que causa el problema: la captura no disminuye cuando lo hace la población.
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Al igualar la tasa de cambio a cero se obtiene una ecuación de segundo grado en N, por lo que hay dos equilibrios en lugar de uno. Ahí reside la cuestión: una población logística sin explotar tiene un único punto estable en K, y añadir una captura fija lo divide en dos.
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Con H = 10 el discriminante es 0,8 y las raíces son 473,6 y 26,4. La mayor es estable: si se perturba la población en cualquier sentido, esta regresa. La menor no lo es: representa un límite.
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La raíz cuadrada se anula cuando H alcanza rK/4 = 50. Ese es el rendimiento máximo sostenible, y es precisamente donde los dos equilibrios se fusionan y anulan: por encima de él no existe equilibrio alguno y la población se reduce a cero desde cualquier tamaño inicial.
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Lo cual replantea por completo la raíz menor. No es una población, sino un margen de seguridad: la cantidad de contratiempos que la pesquería puede absorber antes de que la captura supere a la regeneración.
Respuesta
La herramienta indica una población estable de 473,607, un umbral de colapso de 26,393 y un RMS de 50. Extraer una quinta parte del máximo sostenible deja aún un límite estricto en torno al 5% de la capacidad de carga: caer por debajo de él una sola vez, por la razón que sea, y esa misma captura modesta llevará la población a cero. Pescar en el RMS es peor de lo que parece: allí las dos raíces coinciden en 250, el margen de seguridad es exactamente cero, y la menor sobreestimación de r o de K sitúa la población al otro lado de una frontera que ya no existe. El ajuste predeterminado que comienza en N₀ = 26 muestra toda la trampa: una captura legal, modesta y verdaderamente sostenible, y una población que se extingue de todos modos.
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Ruta de aprendizaje
Crecimiento con límite
Referencias (1)
- The paper that put maximum sustainable yield into fisheries management, and the model this tool integrates: M. B. Schaefer, "Some aspects of the dynamics of populations important to the management of the commercial marine fisheries", 1954 — reprinted in Bulletin of Mathematical Biology 53(1–2), 253–279, 1991.