Modelo Epidémico SIR

Modela la dinámica epidémica: observa cómo la tasa de transmisión, la tasa de recuperación y R0 determinan el brote.

Ejemplo resuelto — Modelo Epidémico SIR

Número básico de reproducción R₀	3.00
Umbral de inmunidad de grupo	66.7%
Pico de infectados	3017 (30.2%)
Total de infectados	9412 (94.1%)

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Modelo Epidémico SIR

Una epidemia tiene dos finales distintos, y esta página imprime los dos. El umbral de inmunidad de grupo es el punto en que cada infección deja de producir más de un sucesor: donde la curva se vuelca. La tasa de ataque es la parte de la población que ha sido infectada cuando todo ha terminado de verdad. No son el mismo número, nunca son el mismo número, y de la distancia entre ellos trata esta lección.

Qué significa cada símbolo

R₀: el número reproductivo básico, β/γ: a cuántas personas contagiaría una infección en una población aún completamente susceptible. Un cociente de dos tasas, así que describe un patógeno en un entorno, nunca un patógeno solo.
s: la fracción susceptible S/N. Casi todo lo que sigue es una afirmación sobre esta cantidad y no sobre el tiempo, y por eso los resultados no dependen de lo rápido que corra el brote.
H: el umbral de inmunidad de grupo, 1 − 1/R₀: la fracción inmune a la que se detiene el crecimiento. La página lo imprime.
A: la tasa de ataque: la fracción alguna vez infectada, una vez que I ha vuelto a cero. La página también la imprime, como «total de infectados».

De dónde viene la fórmula

Preguntemos cuándo crece el brote. El compartimento infeccioso cambia según dI/dt = βIS/N − γI, que se factoriza como I(βs − γ). Como I es positivo durante un brote, el signo lo decide solo el paréntesis: la infección crece mientras βs > γ, es decir mientras s > γ/β = 1/R₀. Fíjese en que es una condición sobre la fracción susceptible, sin que el tiempo aparezca por ninguna parte.
El punto de giro es entonces exactamente s = 1/R₀, y la fracción que ya no es susceptible en ese instante vale 1 − 1/R₀. Ese es el umbral de inmunidad de grupo, y es el número que imprime la página: 33.3% para el ajuste de gripe, con R₀ = 1.5. Ahí es también donde la curva de infecciosos alcanza su máximo, lo que puede comprobarse en el gráfico: el pico no es una casualidad de forma, es esta condición cumpliéndose.
Ahora el paso que suele saltarse. En el umbral dI/dt = 0, pero eso no es I = 0. Sigue habiendo una población infecciosa grande, y cada uno de ellos continúa contagiando a tasa βs. Menos de un sucesor cada uno, así que los números bajan; pero bajar desde un pico lleva tiempo, y cada una de esas infecciones cae sobre alguien. La epidemia no se detiene en el umbral: lo atraviesa por inercia.
Para hallar dónde se detiene de verdad hay que eliminar el tiempo. Divida la ecuación de los susceptibles entre la de los recuperados: dS/dR = −(β/γ)(S/N) = −R₀s, que se integra como s = s₀·e^(−R₀·r), donde r es la fracción recuperada. Al final no queda nadie infeccioso, así que r∞ = 1 − s∞, y sustituyendo se obtiene la relación de tamaño final: s∞ = s₀·e^(−R₀(1 − s∞)). La tasa de ataque es A = 1 − s∞. Es trascendente —s∞ aparece dentro y fuera de la exponencial—, así que no hay forma cerrada, y por eso esta página integra en vez de evaluar una fórmula.
Ponga los dos números uno al lado del otro y el hueco es el sobrepaso. Con R₀ = 1.5 la página imprime un umbral de 33.3% y un total de 58.5%: el brote se pasa 25 puntos del punto en que dejó de crecer. Barra R₀ y el sobrepaso no es monótono: sube hasta unos 30 puntos cerca de R₀ ≈ 2 y luego vuelve a caer, anulándose cuando R₀ → 1 porque apenas se propaga nada, y también con R₀ grande porque umbral y tasa de ataque se aprietan ambos contra el 100%. Con R₀ = 5 son 80.0% frente a 99.3%; con R₀ = 15, propio del sarampión, 93.3% frente a 100.0%. El peor sobrepaso cae justo en el rango de la gripe pandémica y del SARS-CoV-2 temprano.

Cómo leer lo que ves

Tres curvas y tres números. Las curvas son los compartimentos; la que merece atención es la joroba de infecciosos, cuyo pico es el paso 2 sucediendo. De los números, «pico de infectados» y «total de infectados» responden a preguntas completamente distintas: el primero dice cuántos están enfermos a la vez, que es lo que importa a los hospitales, y el segundo cuántos lo estuvieron en algún momento, que es lo que predice la relación de tamaño final. Para el ajuste de gripe son 6.4% y 58.5%, y el primero no dice nada del segundo. El umbral de inmunidad de grupo que aparece encima no es ninguno de los dos: es donde el primero se vuelca.

Supone: Una población cerrada y bien mezclada: sin nacimientos, sin muertes, sin viajes, y cada susceptible igual de propenso a encontrarse con cada infeccioso. β y γ constantes, o sea sin cambios de conducta, sin estaciones, sin intervenciones a mitad de camino. Inmunidad permanente, nadie vuelve al grupo susceptible. Y un modelo determinista, razón por la cual aquí un puñado de infecciosos siempre desata un brote, mientras que en la realidad los números pequeños se extinguen a menudo por azar incluso con R₀ > 1.
Falla cuando: La expresión «umbral de inmunidad de grupo» invita a una lectura que las matemáticas no sostienen: que una epidemia abandonada a sí misma termina ahí. No termina ahí: termina en la tasa de ataque, que el paso 5 muestra que puede estar 25 puntos más arriba. El umbral es un objetivo de vacunación, un nivel al que se puede llegar sin epidemia; alcanzado en cambio por infección, cuesta el umbral y el sobrepaso encima. Esa distinción no fue nada académica en 2020. Dos advertencias más para quien se tome en serio estos números: la buena mezcla es aquí la hipótesis menos realista, y relajarla suele bajar tanto el umbral como la tasa de ataque, porque las personas muy conectadas se infectan pronto y dejan de hacer de puente; y esta página parte de diez infecciosos en vez de una semilla infinitesimal, por lo que su 58.5% queda justo por encima del 58.3% del límite clásico s₀ → 1.

R₀ es un cociente de dos tasas, así que nunca es una propiedad solo del patógeno 🖖

El modelo SIR divide la población en Susceptibles, Infectados y Recuperados. Su dinámica se rige por ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales: dS/dt = -βIS/N y dI/dt = βIS/N - γI. El parámetro R₀ = β/γ representa el número de reproducción básico, dictando el avance antes de la inmunidad de rebaño.

Por qué los brotes terminan antes de que todos enfermen 🖖

La curva de infección sube, alcanza un pico y luego baja, pero no porque el patógeno desaparezca. Baja porque ya se ha infectado tanta gente que el virus se topa constantemente con personas que ya son inmunes. Por eso una epidemia se extingue mucho antes de llegar a todos: con R₀ = 1.5 solo se infecta alrededor del 58% de la población, no el 100%.

El teorema del umbral vino de un químico ciego 🖖

El modelo SIR fue publicado en 1927 por William Kermack y Anderson McKendrick. Tres años antes, una explosión de laboratorio había dejado a Kermack completamente ciego a los 26 años; aun así, contribuyó a deducir el teorema del umbral epidémico y, según se cuenta, resolvió buena parte de las matemáticas de cabeza. Su artículo pasó casi inadvertido durante décadas antes de convertirse en un pilar de la epidemiología moderna.

Problema resuelto al detalle

Una infección con R₀ = 3 propagándose más allá de la fracción inmune 5 pasos
Una infección tiene R₀ = 3. Halla la fracción que debe ser inmune para frenar su propagación — y demuestra que la epidemia sigue creciendo más allá de ese punto.
1. R₀ es el número promedio de nuevos casos que genera un caso en una población completamente susceptible: la tasa de transmisión dividida por la tasa de recuperación. Es el cociente de dos tasas, razón por la cual no tiene unidades ni escala temporal.
  
  $R_{0} = \frac{β}{γ} = 3.00$
2. Un brote crece mientras cada caso se reemplaza a sí mismo. Una vez que parte de la población es inmune, solo cuenta la proporción susceptible, por lo que el crecimiento continúa exactamente mientras esa proporción supere 1/R₀.
  
  $\frac{d I}{d t} > 0 ⟺ R_{0} \frac{S}{N} > 1 ⟺ \frac{S}{N} > \frac{1}{R _{0}}$
3. Inviértelo. El simulador de arriba muestra este umbral, y es toda la base de la política de vacunación: nunca necesitas llegar a todo el mundo.
  
  $herd immunity = 1 - \frac{1}{R _{0}} = 1 - \frac{1}{3} = 66.7%$
4. Pero el umbral es donde el crecimiento se detiene, no donde lo hace la epidemia. Las personas infectadas siguen siendo contagiosas en ese momento, por lo que los casos se siguen acumulando más allá de él.
  
  $I_{m a x} = 1 - \frac{1 + ln R _{0}}{R _{0}} = 1 - \frac{1 + 1.0986}{3} = 30.0%$
5. Ese exceso es la razón por la que el pico y el umbral son números diferentes, y por la que una epidemia no mitigada termina con una fracción de infectados mucho mayor que la del umbral.
  
  $R_{0} = 15 (measles) : 1 - \frac{1}{15} = 93.3%$
Respuesta

66.7%. El pico se alcanza con alrededor del 30% infectado a la vez, y —el punto que más fácilmente se pasa por alto— la epidemia continúa más allá del umbral en lugar de detenerse ahí, por lo que el tamaño final se excede sustancialmente. La inmunidad de rebaño es una afirmación sobre el momento en que la curva cambia de tendencia, no sobre el final del brote. Y dado que el umbral es 1 − 1/R₀, es brutalmente sensible en el extremo superior: el sarampión con R₀ ≈ 15 requiere una cobertura del 93.3%, razón por la cual el sarampión reaparece primero cada vez que bajan las tasas de vacunación.

$threshold = 1 - \frac{1}{R _{0}} R_{0} = 3 \Rightarrow 66.7%$

Ruta de aprendizaje

Crecimiento con límite

Referencias (3)

The compartment model and the threshold theorem this tool implements: W. O. Kermack & A. G. McKendrick, "A contribution to the mathematical theory of epidemics." Proceedings of the Royal Society A 115, 700–721, 1927.
The lesson's step 4 — where the transcendental final-size relation comes from: J. C. Miller, "A Note on the Derivation of Epidemic Final Sizes." Bulletin of Mathematical Biology 74(9), 2125–2141, 2012.
Thresholds, final sizes and the overshoot, treated together: H. W. Hethcote, "The Mathematics of Infectious Diseases." SIAM Review 42(4), 599–653, 2000.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-06-29

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Sarampión (R₀≈15) - Sarampión: extremadamente contagioso (R₀ ≈ 15), lo que provoca brotes rápidos.
Gripe (R₀≈1,5) - Gripe estacional: propagación moderada (R₀ ≈ 1.5), con su pico en los meses de invierno.
COVID Delta - COVID-19 Delta: modelado con una fase de incubación SEIR (R₀ ≈ 5.0).
Subcrítico - Caso subcrítico: R₀ < 1.0, la enfermedad se extingue de forma natural sin llegar a epidemia.