Inecuaciones

Toca un término para quitarlo de ambos lados y observa la recta numérica. La solución es una región en lugar de un punto, y uno de los movimientos invierte la relación.

Ejemplo resuelto — Inecuaciones

Extremo	4 (excluido)

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Lección

La teoría — Inecuaciones280 palabras

Resolver una inecuación consiste en determinar el conjunto de valores que la satisfacen. Dos factores definen ese conjunto: dónde se sitúa el límite y si dicho punto límite pertenece al conjunto.

Qué significa cada símbolo

<: una relación estricta. Excluye el límite y el conjunto solución queda abierto en ese extremo.
≤: una relación no estricta. Incluye el límite, de modo que el conjunto queda cerrado en ese extremo.
sup: el supremo: el menor valor que no es superado por ningún elemento del conjunto. Todo conjunto acotado superiormente posee uno, independientemente de si el conjunto lo contiene o no.

Supone: Que el límite se sitúa exactamente donde ambos lados son iguales. Por esta razón aplicas la misma aritmética que al resolver una ecuación. La relación no realiza operaciones matemáticas; tan solo elige un bando y decide la pertenencia.
Falla cuando: Elegir si la relación es estricta o no determina algo mucho más profundo que la simple pertenencia: si llega a existir un valor máximo. En x ≤ 5 la solución mayor es 5, un valor tangible que puedes entregarle a alguien. En x < 5 carecemos de solución máxima. Menciona cualquier candidato menor que 5; el punto medio entre ese número y 5 será una solución aún mayor que sigue dentro del conjunto, y así de forma infinita. El conjunto conserva a 5 como su mínima cota superior, simplemente no lo contiene. Por eso una optimización sujeta a una restricción estricta puede quedarse sin respuesta mientras que el mismo problema con ≤ sí la encuentra. Esa distinción, que en un ejercicio escolar parece mera puntuación, sostiene toda la estructura matemática en el instante en que necesitas maximizar algo.

Un movimiento lo invierte, y ya sabes por qué 🖖

Cualquier operación válida en una ecuación también lo es aquí. Sumar a ambos miembros, restar, multiplicar o dividir resultan acciones correctas y reversibles que no alteran los números que satisfacen la afirmación. Existe una excepción: multiplicar por un negativo invierte la relación. Este hecho se observa directamente en la recta numérica, donde −5 es menor que −3, pero 5 es mayor que 3. Cambiar el signo refleja la recta respecto al cero y, al reflejarla, se intercambian la izquierda y la derecha. Pulsa La relación se invierte y omite mentalmente dicho cambio: obtendrás x < −4 en lugar de x > −4, que es la otra mitad de la recta.

La solución es una región; el extremo, una decisión 🖖

Una ecuación tiene una solución exacta. Una inecuación posee un conjunto de ellas. Resolverla implica encontrar una frontera y decidir un lado. La frontera se sitúa donde ambas expresiones son idénticas, motivo por el cual funciona la misma aritmética. Después, la relación determina si ese punto exacto pertenece al conjunto. Pulsa El extremo cuenta. La inecuación −4x ≥ 12 da x ≤ −3. En x = −3, ambos lados equivalen a 12. Como 12 ≥ 12 es verdadero, el −3 entra en la solución. Al cambiar el ≥ por un >, el punto se vuelve hueco sin que nada más se altere. Ese único punto es todo lo que distingue a los dos símbolos.

La operación no disponible 🖖

Pulsa Multiplicar por x. La herramienta no lo hará. Multiplicar por un número negativo invierte la relación, multiplicar por uno positivo no lo hace, y x es precisamente el valor que todavía no has encontrado. Resulta imposible dar una única respuesta. Por este motivo no puedes despejar x/(x−2) > 1 multiplicando ambos miembros, y quien lo intenta obtiene un resultado correcto a un lado del 2 y erróneo al otro. Las ecuaciones perdonan este error. Una ecuación multiplicada por una incógnita adquiere soluciones que logras identificar y descartar mediante una comprobación. Las inecuaciones no ofrecen esta misma posibilidad. Su respuesta es una región entera en lugar de una breve lista de candidatos que puedas poner a prueba uno a uno.

Problemas resueltos al detalle

Un reparto que cuesta 5 más 2 por kilómetro con un presupuesto por debajo de 20 7 pasos
Un envío cuesta 5 más 2 por kilómetro. Tu presupuesto es inferior a 20. ¿Hasta dónde puedes llegar y qué ocurre con el álgebra si la tarifa se expresa como un descuento?
1. Escríbelo como inecuación en vez de ecuación, ya que la pregunta no es qué distancia cuesta exactamente 20.
  
  $5 + 2 x < 20$
2. Resta 5 a ambos lados. Sumar y restar nunca alteran la desigualdad, sin importar el signo de la cantidad que sumes.
  
  $2 x < 15$
3. Divide entre 2. Como es positivo, la desigualdad se mantiene igual y la respuesta es una región abierta por su extremo superior.
  
  $x < 7.5$
4. Menos de 7,5 kilómetros. El límite queda excluido porque el presupuesto debía ser estrictamente menor a 20. Justo a los 7,5 la tarifa equivale exactamente a 20, lo que supera el presupuesto según el enunciado, aunque sea por muy poco.
  
  $5 + 2 (7.5) = 20 \neq < 20$
5. Ahora, la versión con descuento. Imagina que cada kilómetro resta 2 a un saldo de 20 y necesitas mantener tu balance por encima de 5.
  
  $20 - 2 x > 5$
6. Dividir entre −2 invierte la desigualdad, de modo que el resultado abarca la misma región de antes. Tiene que ser así: se trata del mismo trayecto descrito desde la perspectiva opuesta. Omitir la inversión habría dado x > 7,5, lo que representa el lado inasequible del límite en lugar del que sí puedes pagar.
  
  $- 2 x > - 15 \Rightarrow x < 7.5$
7. Aquí la aritmética deja de ayudar. Ambas formas dan x < 7,5, pero ninguna aclara si el propio 7,5 es asequible. Saber si "inferior a 20" significa 19,99 o si incluye el 20 es una cuestión de contrato y no de la inecuación. El símbolo estricto está realizando un trabajo que el álgebra no puede verificar.
  
  $x < 7.5 vs x \leq 7.5$
Respuesta

Menos de 7,5 kilómetros, excluyendo el propio 7,5. Si se expresa como descuento, el mismo viaje exige dividir entre −2 y, por lo tanto, invertir la desigualdad. Olvidar ese paso te deja en el lado inasequible.
La inecuación que se queda sin x 6 pasos
Este ajuste es 2x + 5 ≥ 2x + 5. Resuélvelo y decide después si una inecuación que pierde su x ha fracasado en dar una respuesta o ha dado una respuesta enorme.
1. Resta 2x a ambos lados. Sumar la misma cantidad a los dos lados conserva la desigualdad sea cual sea esa cantidad, así que el movimiento es seguro aunque involucre x, que es justo lo que no ocurre al multiplicar por x.
  
  $2 x + 5 \geq 2 x + 5 - 2 x$
2. Lo que queda es 5 ≥ 5. Ambos lados llevan ahora coeficiente cero en x, de modo que no hay nada que despejar ni nada entre lo que dividir.
  
  $0 \cdot x + 5 \geq 5$
3. La fórmula del límite muestra el mismo obstáculo en términos aritméticos. Resolver ax + b ≥ cx + d da x = (d − b)/(a − c), que aquí es 0 ÷ 0. El panel imprime un guion en la fila del límite porque no hay límite que imprimir.
  
  $x = \frac{d - b}{a - c} = \frac{5 - 5}{2 - 2} = \frac{0}{0}$
4. 5 ≥ 5 es cierto, y lo es sin mencionar x. Por tanto, todo número real satisface la inecuación original, y así lo dice la fila de la respuesta.
  
  $5 \geq 5 is true and holds no x ⟹ every x is a solution$
5. Vuelve estricta la relación y 5 > 5 es falso: no sirve nada. Mueve en cambio el término independiente de la derecha a 5,001 y el enunciado pasa a ser 0 ≥ 0,001, falso otra vez. Casi los mismos cuatro números, y el conjunto de soluciones pasa de la recta entera a nada en absoluto.
  
  $2 x + 5 > 2 x + 5 \Rightarrow 5 > 5 false \Rightarrow \emptyset; 2 x + 5 \geq 2 x + 5.001 \Rightarrow 0 \geq 0.001 false \Rightarrow \emptyset$
6. Ese salto parece una discontinuidad y no lo es. Mantén el segundo miembro en 5,001 y deja que los dos coeficientes de x se diferencien en ε en vez de coincidir. El límite queda en 0,001/ε: con ε = 0,1 la respuesta es x ≥ 0,01, con ε = 0,001 es x ≥ 1, con ε = 0,0001 es x ≥ 10. La semirrecta se retira hacia el infinito conforme ε se cierra, que es el conjunto vacío llegando a cámara lenta.
  
  $a - c = ε, d - b = 0.001 : x \geq \frac{0.001}{ε} : ε = 0.1 \Rightarrow x \geq 0.01, 0.001 \Rightarrow x \geq 1, 0.0001 \Rightarrow x \geq 10$
Respuesta

Todo x. La respuesta vacía es su gemela y no su contraria: cuando los dos coeficientes de x coinciden, el término en x se cancela y deciden solos los dos términos independientes, de modo que el enunciado o es cierto y lo resuelve cualquier número, o es falso y no lo resuelve ninguno. Ninguno de los dos casos tiene límite, y por eso la fila del límite se queda en blanco en ambos y la fila de la respuesta es la única que merece leerse. La elección entre estricto y no estricto, que en cualquier otro ajuste mueve un solo punto, en este mueve la recta real entera.

$a \neq = c : x ≷ \frac{d - b}{a - c}; a = c : the constants alone decide, and the answer is R or \emptyset$

Ruta de aprendizaje

Despejar la x, partiendo del signo menos

Lleva a Despeje de fórmulas la excepción y su correspondiente prueba.

Referencias (1)

Where the guarantee comes from that a least upper bound always exists, even when no largest member does: R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen. Vieweg, Braunschweig, 1872.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-26

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Nada se invierte - 3x − 5 > 7 se convierte en x > 4 sin sorpresas. Sumas 5 y divides entre 3. Como el 3 es positivo, nada se invierte. El extremo 4 queda hueco porque x = 4 da exactamente 7, y 7 no es mayor que 7.
La relación se invierte - −2x + 1 < 9 resulta en x > −4. Dividir entre −2 transforma el < en un >. Si omites este paso obtendrás x < −4, que corresponde justamente a la mitad equivocada de la recta.
El extremo cuenta - −4x ≥ 12 da x ≤ −3. Aquí el extremo aparece relleno. En x = −3 ambos lados equivalen a 12. Puesto que 12 ≥ 12 es cierto, el −3 pertenece a la solución. Ese punto relleno representa toda la diferencia entre ≥ y >.
Siempre verdadero - 2x + 5 ≥ 2x + 5 presenta la misma expresión a ambos lados. Los términos con x se cancelan y queda 5 ≥ 5. Esto es cierto para cualquier valor de x, por lo que toda la recta queda sombreada.