Ecuaciones lineales

Pulsa un término para restarlo de ambos miembros y observa cómo cambia la ecuación. La franja inferior muestra las soluciones en su estado actual. Un paso válido jamás las desplaza.

Ejemplo resuelto — Ecuaciones lineales

Solución	3
Comprobado con la original	13 ✓
Operaciones realizadas	0
Soluciones actuales de la ecuación	3

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Ecuaciones lineales378 palabras

Toda ecuación lineal con una incógnita, sin importar cómo se escriba, puede reducirse mediante operaciones válidas a la forma única ax = b, con a y b como números conocidos. A partir de entonces, todo lo que puede hacer la ecuación lo deciden ellos dos.

Qué significa cada símbolo

a: el coeficiente de la incógnita tras reunir todos los términos con x en un mismo miembro. Es el número que decide en cuál de los tres resultados siguientes te encuentras.
b: la constante, todo lo que queda en el otro miembro. Solo importa cuando a vale 0.
x: la incógnita. Solo aparece elevada a la primera potencia y nunca dentro de una función; eso es lo que significa "lineal" aquí.

De dónde viene la fórmula

Agrupa: pasa todo término que contenga x a un miembro y los que no la tengan al otro. Ambas son sumas, así que siempre son reversibles.
Ahora tienes ax = b. Si a ≠ 0 divide entre él, y habrá exactamente una solución, x = b/a.
Si a = 0 la incógnita desaparece y lo que queda es una afirmación puramente numérica: falsa cuando b ≠ 0, verdadera cuando b = 0. Así que la pareja (a, b) decide en cuál de los tres resultados te encuentras antes siquiera de empezar a resolver.

Supone: Que a y b son exactos. Cuando se miden en lugar de darse, un coeficiente cercano a cero es una advertencia antes que un valor: x = b/a divide entre él, por lo que una pequeña incertidumbre en a se convierte en una grande en x. Esa es la misma dificultad con la que este recorrido se topa de nuevo en el paso 5 con dos incógnitas, donde el determinante hace el papel que a hace aquí.
Falla cuando: En ninguna parte, y esa es la parte útil. Una incógnita no admite un cuarto caso: hay una solución, ninguna o todas. Cuál obtienes se decide mirando a y b antes de resolver nada. Esa completitud es el caso para una incógnita de la condición de rango que rige todo sistema lineal, tenga las incógnitas que tenga, y los pasos 5 y 6 de este recorrido son la misma tricotomía con más letras.

Dos de los cuatro botones realizan la misma acción 🖖

Restar 7 a ambos lados es lo mismo que sumar −7 a ambos lados, y dividir entre 2 equivale a multiplicar por un medio. El panel ofrece cuatro botones porque así pensamos las personas. En el fondo, sin embargo, solo existen dos movimientos: sumar algo o multiplicar por algo. Los dos se comportan de manera muy distinta. Sumar siempre es seguro, sin importar la cantidad. Multiplicar funciona con todos los números salvo con uno. Esta excepción no es un mero detalle técnico. Pulsa × con un valor de 0 y observa qué le sucede a una ecuación que hace apenas un instante tenía una solución perfecta.

Multiplicar por cero es la operación irreversible 🖖

Toma x = 3 y multiplica ambos lados por 0. Obtienes 0 = 0. Es una afirmación cierta. También lo es para x = 5, x = −1 y cualquier otro número, así que la ecuación ha dejado por completo de darnos información sobre x. Cualquier otro movimiento puede deshacerse. Si sumas 7 y luego restas 7, vuelves al punto de partida. Esa reversibilidad es la verdadera garantía detrás de la norma de «hacer lo mismo en ambos lados». La regla no consiste en que los dos lados coincidan. Consiste en que el movimiento debe poder deshacerse, y multiplicar por cero es la única operación aritmética que no lo permite.

Que una ecuación no tenga respuesta también es información 🖖

Pulsa Ninguna x es válida. Al restar 2x de ambos miembros en 2x + 5 = 2x + 9, la x desaparece y nos queda 5 = 9. No ha habido ningún fallo. La ecuación es simplemente falsa y no hay valor de x que la salve. Si pulsas Toda x es válida, ocurre algo similar pero con un final distinto: 5 = 5, una afirmación cierta en cualquier caso. Ambas situaciones se dan cuando los términos con x se anulan. El resultado final lo deciden exclusivamente las constantes. Por tanto, «resolver para x» tiene tres posibles respuestas, no solo una. Una herramienta que se limite a arrojar un número está ocultando dos tercios del panorama matemático.

Problemas resueltos al detalle

Taxis que cobran 4 más 3 por milla y 10 más 1 7 pasos
Un taxi cobra 4 por iniciar la carrera más 3 por milla. Otro cobra 10 por iniciar más 1 por milla. ¿A qué distancia cuestan lo mismo y qué hace el álgebra si te equivocas ligeramente en la pregunta?
1. Escribe ambas tarifas como expresiones con la misma incógnita. La incógnita debe representar lo mismo en ambas; aquí es donde fracasan la mayoría de los problemas de planteamiento antes siquiera de empezar con el álgebra.
  
  $4 + 3 x 10 + 1 x$
2. Igualarlas constituye la totalidad del paso de modelado. Todo lo que sigue es mecánico.
  
  $4 + 3 x = 10 + x$
3. Agrupa los términos con x. Restar x en ambos lados es válido y reversible, así que las soluciones permanecen intactas.
  
  $4 + 2 x = 10$
4. Agrupa las constantes y luego divide por lo que queda delante de la x. Tres millas, y ambas tarifas ascienden a 13.
  
  $2 x = 6 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow 4 + 9 = 13 = 10 + 3$
5. Ahora equivócate en la pregunta a propósito. Supón que la segunda empresa también cobrara 3 por milla. Los términos con x se cancelan y te quedas con 4 = 10. Esto es falso, de modo que no hay ninguna distancia en la que coincidan: una de las tarifas es simplemente siempre 6 más cara.
  
  $4 + 3 x = 10 + 3 x \Rightarrow 4 = 10 \Rightarrow \emptyset$
6. Y si la segunda empresa cobrara 3 por milla con el mismo cargo inicial de 4, esa misma cancelación arroja 4 = 4, lo cual es cierto para cualquier distancia. Las dos tarifas son en realidad la misma tarifa escrita dos veces.
  
  $4 + 3 x = 4 + 3 x \Rightarrow 4 = 4 \Rightarrow x \in R$
7. Aquí es donde termina el álgebra y empieza el criterio. Los tres resultados son respuestas correctas a una pregunta bien formulada y la herramienta te los mostrará con total fidelidad. Lo que no puede decirte es que una solución negativa significa que el punto de cruce ocurrió antes de comenzar el trayecto, o que quizás no sea posible comprar una fracción de milla. La ecuación no sabe lo que es la x.
  
  $x = - 2 \Rightarrow x \in / [0, \infty)$
Respuesta

Tres millas, con una tarifa de 13 cada una. Cambia un coeficiente y la misma álgebra te devolverá "ninguna distancia" o "cualquier distancia" en su lugar, y ambas opciones son respuestas en vez de fallos.
x en ambos lados: 5x − 2 = 3x + 8 5 pasos
Resuelve 5x − 2 = 3x + 8. Hay una x en cada lado. No puedes deducir nada hasta que estén juntas.
1. Primero agrupa los términos con x. Restar 3x a la derecha también resta 3x a la izquierda, y la ecuación sigue diciendo lo mismo sobre x.
  
  $5 x - 2 = 3 x + 8 - 3 x$
2. Ahora el lado izquierdo es 2x − 2. Suma 2 a ambos lados para despejar el número y alejarlo de la x.
  
  $2 x - 2 = 8 + 2$
3. Dos x suman 10, así que una sola equivale a 5.
  
  $2 x = 10 \div 2 ⟹ x = 5$
4. Compruébalo en la ecuación inicial, no en la final. Ambos lados dan 23, por lo que x = 5 satisface la original.
  
  $5 (5) - 2 = 23, 3 (5) + 8 = 23$
5. No tenías que agrupar a la izquierda obligatoriamente. Resta 5x en ambos lados y obtendrás −2 = −2x + 8. Se ve distinto, pero da el mismo x = 5. El lado que elijas es libre; la respuesta no.
  
  $5 x - 2 = 3 x + 8 - 5 x ⟹ - 2 = - 2 x + 8 ⟹ 2 x = 10$
Respuesta

x = 5, y ambos lados dan 23. Agrupar los términos con x en el lado contrario es solo un camino distinto hacia el mismo número.
Cuando la respuesta es negativa: 4x + 9 = x − 6 5 pasos
Resuelve 4x + 9 = x − 6. Aquí no hay nada raro hasta la última línea, donde el resultado cae por debajo de cero.
1. Resta x en ambos lados para agrupar las x a la izquierda.
  
  $4 x + 9 = x - 6 - x$
2. Resta 9 en ambos lados para despejar el número.
  
  $3 x + 9 = - 6 - 9$
3. Tres x equivalen a −15, así que una sola equivale a −5. Un signo menos en la respuesta no indica ningún error.
  
  $3 x = - 15 \div 3 ⟹ x = - 5$
4. Comprueba en la original: el lado izquierdo es −20 + 9 = −11, y el derecho es −5 − 6 = −11. Coinciden, así que −5 es realmente la solución.
  
  $4 (- 5) + 9 = - 20 + 9 = - 11, (- 5) - 6 = - 11$
5. Que −5 sea una respuesta lógica depende de qué representaba la x. Como temperatura, es un martes cualquiera; como cantidad de entradas, no tiene sentido. La ecuación no nota la diferencia ni te va a avisar.
  
  $x = - 5 \Rightarrow 5 tickets short of none$
Respuesta

x = −5, con ambos lados en −11. Una solución negativa es una respuesta a la ecuación. Si también es una respuesta válida a tu pregunta es algo que debes juzgar tú.
Cuando la respuesta no es un número entero: 6x + 1 = 2x + 4 5 pasos
Resuelve 6x + 1 = 2x + 4. Son los mismos tres pasos de antes, pero esta vez no terminan en un número entero.
1. Resta 2x en ambos lados.
  
  $6 x + 1 = 2 x + 4 - 2 x$
2. Resta 1 en ambos lados.
  
  $4 x + 1 = 4 - 1$
3. Cuatro x suman 3, así que una sola es 3 dividido entre 4, que da exactamente 0,75.
  
  $4 x = 3 \div 4 ⟹ x = \frac{3}{4} = 0.75$
4. Comprueba en la original: 6 × 0,75 + 1 = 5,5, y 2 × 0,75 + 4 = 5,5.
  
  $6 (0.75) + 1 = 5.5, 2 (0.75) + 4 = 5.5$
5. Tres cuartos resulta exacto como decimal. Dos tercios no lo es: si resuelves 3x + 1 = 3 la respuesta es 2⁄3, algo que ningún decimal termina de escribir jamás. La fracción es la respuesta real; 0,6667 es solo un redondeo.
  
  $3 x + 1 = 3 ⟹ x = \frac{2}{3} = 0.6667 \dots$
Respuesta

x = 0,75, o tres cuartos, con ambos lados en 5,5. Las fracciones son respuestas normales. Cuando una fracción no tiene un decimal exacto, la fracción es la respuesta precisa y el decimal no lo es.
Paréntesis, dos caminos: 3(x + 4) = 24 4 pasos
Resuelve 3(x + 4) = 24. Tienes dos caminos válidos, y no exigen el mismo esfuerzo.
1. El paréntesis indica tres veces (x + 4). Si primero divides ambos lados entre 3, el paréntesis simplemente desaparece: x + 4 = 8, así que x = 4.
  
  $3 (x + 4) = 24 \div 3 ⟹ x + 4 = 8 ⟹ x = 4$
2. O puedes expandirlo primero. Tres veces (x + 4) es 3x + 12, luego restas 12 en ambos lados y divides entre 3. Te da el mismo x = 4.
  
  $3 (x + 4) = 3 x + 12 = 24 - 12 ⟹ 3 x = 12 ⟹ x = 4$
3. Comprueba en la original: 3 × 4 + 12 = 24. La herramienta lee ecuaciones con la forma ax + b = cx + d, así que necesita la línea expandida.
  
  $3 (4) + 12 = 24$
4. Dividir primero fue más corto solo porque 24 es divisible exactamente por 3. Si cambias el 24 por un 25, esa misma ruta te deja con x + 4 = 25⁄3. Sigue siendo correcta, pero ahora es la opción más enredada.
  
  $3 (x + 4) = 25 ⟹ x + 4 = \frac{25}{3} ⟹ x = \frac{13}{3}$
Respuesta

x = 4 por cualquiera de las dos vías. Ambas son válidas, así que elige mirando los números y no por pura regla.
Dos tarifas de teléfono que nunca cuestan lo mismo 4 pasos
El plan A cuesta £8 al mes más £2 por gigabyte. El plan B cuesta £12 al mes más £2 por gigabyte. ¿Con cuántos gigabytes cuestan lo mismo?
1. Escribe cada coste usando x para los gigabytes consumidos. Luego iguálalos, que es lo que significa "cuestan lo mismo".
  
  $A : 2 x + 8 B : 2 x + 12$
2. Ambos lados tienen 2x, así que resta 2x a los dos.
  
  $2 x + 8 = 2 x + 12 - 2 x$
3. La x ha desaparecido y lo que queda es 8 = 12, una falsedad. Ningún valor de x puede hacerlo cierto. Estos dos planes nunca cuestan lo mismo.
  
  $8 = 12 — false, for every x$
4. La respuesta útil es con la que tropezó la ecuación. El plan B es £4 más caro que el A para cualquier x. Las tarifas no se cruzan porque suben al mismo ritmo y se mantienen siempre a £4 de distancia.
  
  $(2 x + 12) - (2 x + 8) = 4 at every x$
Respuesta

Ninguna x funciona. Tener precios iguales por gigabyte y cuotas mensuales distintas supone una diferencia fija para siempre. Aquí son £4, uses lo que uses.
La misma oferta, escrita dos veces 4 pasos
Una tienda cobra 2(x + 3). Otra cobra 2x + 6. ¿Cuál es más barata y a partir de cuántos libros?
1. Expande la primera. Dos veces (x + 3) es 2x + 6, exactamente lo que escribió la otra tienda.
  
  $2 (x + 3) = 2 x + 6$
2. Al igualarlas y restar 2x en ambos lados te queda 6 = 6. Esto es cierto, y lo es sin saber absolutamente nada sobre x.
  
  $2 x + 6 = 2 x + 6 - 2 x ⟹ 6 = 6$
3. Así que cualquier número funciona. Prueba con 0, 1, 7 o −100: los dos lados siempre coinciden.
  
  $x = 0, 1, 7, - 100 all true$
4. Vale la pena darle nombre a esto. La diferencia entre ambos precios no es pequeña, es exactamente cero para cada x. Las dos tiendas escribieron un solo precio dos veces.
  
  $2 (x + 3) - (2 x + 6) = 0 identically$
Respuesta

Cualquier x funciona, así que ninguna es más barata jamás. Cuando ambos lados son la misma expresión disfrazada, "resuelve para x" es la pregunta equivocada. La correcta es: "¿son realmente diferentes?".
Edades: el álgebra es fácil, el planteamiento no 5 pasos
Ben tiene el triple de la edad de Mia. En ocho años tendrá el doble que ella. ¿Cuántos años tienen ahora?
1. Llama x a la edad actual de Mia. Entonces Ben tiene 3x. En ocho años, Mia tendrá x + 8 y Ben 3x + 8.
  
  $Mia = x, Ben = 3 x$
2. "El doble que ella" significa el doble de la edad de ella entonces, no el doble de su edad ahora. Esa simple lectura es toda la dificultad del problema: 3x + 8 = 2(x + 8), que se expande a 3x + 8 = 2x + 16.
  
  $3 x + 8 = 2 (x + 8) = 2 x + 16$
3. Resta 2x en ambos lados y luego 8, y te da x = 8. Mia tiene 8 y Ben 24.
  
  $3 x + 8 = 2 x + 16 - 2 x ⟹ x + 8 = 16 ⟹ x = 8$
4. Comprueba la historia y no solo el álgebra. En ocho años Mia tendrá 16 y Ben 32, y 32 realmente es el doble de 16.
  
  $Mia 8 \to 16, Ben 24 \to 32, 32 = 2 \times 16$
5. Lee la frase de la otra manera, como el doble de su edad actual, y obtendrás 3x + 8 = 2x, por lo que x = −8. El álgebra es igual de obediente. Tu respuesta es una niña que nacerá dentro de ocho años.
  
  $3 x + 8 = 2 x ⟹ x = - 8$
Respuesta

Mia tiene 8 y Ben tiene 24; en ocho años tendrán 16 y 32. Son tres pasos de álgebra y una línea de lectura que decide si alguno de ellos tiene sentido.

Ruta de aprendizaje

Despejar la x, partiendo del signo menos

Lleva a Desigualdades

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-26

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

x en ambos miembros - 3x + 4 = x + 10. Restamos x, restamos 4, dividimos entre 2 y obtenemos x = 3. Luego comprobamos el resultado en la ecuación original: ambos miembros equivalen a 13.
Respuesta negativa - 2x + 9 = 5x. Aquí la respuesta es x = 3. Al modificar el valor de d, la solución pasa a ser negativa sin que el sistema falle. Una solución negativa sigue siendo una respuesta, no un error.
Toda x es válida - 2x + 5 = 2x + 5. Ambos miembros presentan la misma expresión, de modo que cualquier x la satisface. No hay nada que resolver, y preguntar por «x = » carece de sentido.
Ninguna x es válida - 2x + 5 = 2x + 9. Si restas 2x, te queda 5 = 9. Ningún valor de x puede arreglar este resultado. La ecuación no es difícil; simplemente es falsa.