La evolución de la cooperación

Ajusta la composición inicial de una población que juega el torneo de Axelrod contra sí misma. Cada generación multiplica la cuota de cada estrategia por su puntuación frente a la población que realmente encontró. Así, los ganadores se reproducen y los perdedores dejan de jugar.

Ejemplo resuelto — La evolución de la cooperación

Aún sobre una décima de un por ciento	3 de 8
Pago medio más bajo	1,00 en la generación 27
Pago medio al final	3,00
Un desertor entre reciprocadores	1,02 frente a sus 3,00
Un reciprocador entre desertores	0,9950 frente a sus 1,00
Desertores en su apogeo	99,2 % en la generación 21
Desertores al final	0,0 %
Generaciones	200

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — La evolución de la cooperación

La ecuación del replicador es lo que transforma un torneo en una ecología. Cada estrategia ocupa una cuota de la población. Su aptitud es lo que gana por ronda al enfrentarse a la población real con la que se cruza, que no es más que el resto de las estrategias ponderadas por su abundancia. Para calcular la siguiente generación, multiplicas cada cuota por su propia aptitud dividida entre la media poblacional. Toda estrategia que supere el promedio crece. La que se quede por debajo mengua. Y no ocurre absolutamente nada más: aquí no se inventa, se elige ni se enseña ninguna estrategia.

Qué significa cada símbolo

pᵢ: la cuota de la población que juega la estrategia i
fᵢ: lo que gana esa estrategia por ronda frente a toda la población
f̄: la media poblacional, el listón con el que se mide cada estrategia

Supone: Partimos de una población infinita y perfectamente mezclada. Cada estrategia se cruza con las demás en proporción exacta a su cuota, sin vecindarios territoriales ni azar. Por eso verás que las cuotas son valores continuos y no recuentos de individuos. También es la razón por la que el bloque de análisis 2 puede seguir una cuota que desciende hasta el 10⁻¹⁷⁶ sin que el modelo advierta que una población así es imposible.

Los desertores mueren por su propio éxito 🖖

Pulsa Mundo confiado al final y observa la línea roja. Un uno por ciento de la población deserta; el 97% de ella coopera con cualquiera. Durante ocho generaciones no pasa casi nada. Luego, la deserción supera a la mitad del mundo en la generación 9 y al 90% en la generación 12. Para la generación 14, la tabla declara extintos a los cooperadores incondicionales. Ese es también el momento en que mueren los ingresos de los desertores, pues eran la misma cosa: un desertor que se encuentra con otro gana 1 por ronda. El pago medio se mantiene en 1,00 desde la generación 15 hasta la 120, cien generaciones de todos quitándole a todos. Mientras tanto, Ojo por dos ojos, Ojo por ojo y Rencoroso superaron la hambruna con un 0,17% cada uno, y cuando dos de ellos se cruzan siguen ganando 3. Sus tres cuotas juntas crecen a un ritmo de alrededor de un uno y medio por ciento por generación. No parece nada durante un siglo, y luego deja de parecer nada: los desertores tienen el 97,1% en la generación 120, un 6,5% en la 150 y desaparecen en la 155. Axelrod llamó a esto la ronda ecológica de su torneo. Ninguna estrategia nueva entra en él. Lo único que cambia es cuántas hay de cada una.

La cooperación vuelve; los cooperadores no 🖖

En la generación 200 la población gana 3,00 puntos por ronda. Es lo máximo que puede ganar, pues cada pareja que se encuentra coopera. El mundo confiado se ha restaurado sin la estrategia confiada en él. Cooperar siempre cayó por debajo de una décima de un por ciento en la generación 14, y su cuota en la generación 200 es de 3,55 × 10⁻¹⁷⁶. Ni siquiera sigue cayendo. Toca fondo en la generación 147 y se recupera un 23% desde ahí. Esa es la generación en la que su aptitud supera la media de la población, 1,63 contra 1,57. Para entonces la mayor parte de lo que un cooperador encuentra es un reciprocador que paga tres, mientras que la media sigue lastrada por los desertores quitándose uno mutuamente. La dinámica de replicadores multiplica. La multiplicación no tiene suelo, así que el modelo puede encoger una estrategia a 10⁻¹⁷⁶ y devolvértela. Una población no puede hacer eso. Hay unos 10⁸⁰ átomos en el universo observable, y una cuota de 10⁻¹⁷⁶ no es una estrategia rara sino una ausente. Lo que acaba ganando tres por ronda es Ojo por dos ojos con un 38,3%, Ojo por ojo con un 31,0% y Rencoroso con un 30,7%. Las tres abren cooperando y siguen cooperando entre sí durante las 200 rondas. Recaudan así exactamente lo que habría recaudado Cooperar siempre. La diferencia entre ellas y esta última solo se nota cuando llega un desertor, y es toda la diferencia: se detienen.

Un cuarto de un por ciento basta para arrancar 🖖

Lee las tres tarjetas debajo de ¿Puede siquiera arrancar la cooperación?. Un mundo de desertores incondicionales paga a todos 1,00 por ronda. Deja caer un único Ojo por ojo en él y el recién llegado gana 0,9950: coopera una vez, no saca nada por ello y deserta durante las 199 rondas restantes. Le falta media centésima, y se extingue. Ahora haz que los recién llegados lleguen juntos, para que una fracción q de sus interacciones sea entre ellos y pague 3,00. El grupo gana q × 3,00 + (1 − q) × 0,9950, lo cual supera el 1,00 en q = 0,2494%, o una interacción de cada 401. Esa es la respuesta de Robert Axelrod y W. D. Hamilton, publicada en 1981, a la pregunta de cómo logra arrancar la cooperación en un mundo que la castiga. La pérdida total del reciprocador es una sola ronda explotada de las 200, así que el umbral cae como 1/n a medida que la relación se alarga. A un cooperador incondicional lo explotan en cada ronda y no solo en la primera. Su umbral es un tercio de todas sus interacciones, sea cual sea la duración de la relación.

Problema resuelto al detalle

¿Cómo de pequeño puede ser el primer grupo? La herramienta imprime una respuesta: un grupo de reciprocadores necesita que el 0,2494% de sus interacciones sean con los suyos para poder resistir ante un mundo de desertores. Esa cifra pertenece a un enfrentamiento de 200 rondas con los pagos de Axelrod. ¿De dónde sale, y qué le ocurre cuando la relación es más corta?

Abre este problema en la herramienta
1. En un mundo de desertores incondicionales cada encuentro es una deserción mutua, por lo que un residente gana el pago de castigo P en cada ronda.
  
  $π_{res} = P = 1$
2. Un Ojo por ojo solitario coopera en la primera ronda y cobra el pago del incauto S. Luego deserta durante las n − 1 rondas restantes. Le roban una vez y reparte esa pérdida por todo el enfrentamiento, con lo que a las 200 rondas conserva 199/200.
  
  $π_{lone} = \frac{( n - 1 ) P + S}{n} = \frac{199 \times 1 + 0}{200} = 0.9950$
3. Ahora dales un grupo a los recién llegados: una fracción q de sus interacciones son entre sí, pagando la recompensa R, y el resto con los residentes. El grupo se afianza cuando esa media supera lo que ganan los residentes.
  
  $q R + (1 - q) π_{lone} > π_{res} = P$
4. Despeja q. La n bajo ambas diferencias se anula. Te queda el coste de una ronda explotada sobre lo que n rondas de cooperación mutua ganan respecto a la deserción mutua, más ese mismo coste.
  
  $q^{*} = \frac{P - π _{lone}}{R - π _{lone}} = \frac{( P - S ) / n}{( n ( R - P ) + ( P - S ) ) / n} = \frac{P - S}{n ( R - P ) + ( P - S )}$
5. A las 5, 3, 1, 0 y 200 rondas eso es 1/401, el 0,2494% que imprime la herramienta. El umbral cae como 1/n: a diez rondas es de 1/21, o un 4,76%.
  
  $q^{*} = \frac{1}{2 n + 1} = \frac{1}{401} = 0 . 2494%, n = 10 \Rightarrow \frac{1}{21} = 4 . 76%$
6. A un cooperador incondicional lo explotan en cada ronda y no solo en la primera, así que su pago en solitario es el propio S y la n desaparece por completo de su umbral. A una sola ronda las dos estrategias son la misma y ambos umbrales coinciden en un tercio. Cada ronda posterior a la primera es un descuento que solo el reciprocador recauda.
  
  $q_{AC}^{*} = \frac{P - S}{R - S} = \frac{1}{3}$
Respuesta

Un grupo de reciprocadores necesita que q ≥ (P − S)/(n(R − P) + (P − S)) de sus interacciones sean internas, lo que con los pagos de Axelrod es 1/(2n + 1) y a 200 rondas resulta en 1/401 = 0,2494%. Un grupo de cooperadores incondicionales necesita (P − S)/(R − S) = 1/3, para cualquier n. Ambos grupos están haciendo lo mismo, organizándose para encontrarse con los suyos, y el reciprocador necesita ciento treinta veces menos de eso, porque la única ronda en la que le pueden robar es la primera.

$q^{*} = \frac{1}{2 n + 1} vs q_{AC}^{*} = \frac{1}{3}$

Ruta de aprendizaje

La mejor respuesta y lo que pasa cuando nadie la calcula

Referencias (4)

The cluster result this page's third block and worked problem are about: a lone reciprocator cannot enter a world of defectors, and a cluster of them can. Also the source for the 1981 date and for the two authors' names: R. Axelrod and W. D. Hamilton, "The Evolution of Cooperation." Science 211(4489), 1981, pp. 1390–1396.
The second tournament, from which this population's eight strategies and the 200-round match are drawn, written up by the man who ran it: R. Axelrod, "More Effective Choice in the Prisoner's Dilemma." Journal of Conflict Resolution 24(3), 1980, pp. 379–403.
"The ecological round" — the same strategies in changing proportions, with no new entrant — and the four maxims that came out of it: R. Axelrod, The Evolution of Cooperation. Basic Books, New York, 1984.
The generation step on this page is the discrete replicator equation, and this is where it and the evolutionarily-stable-strategy connection were set out: P. D. Taylor and L. B. Jonker, "Evolutionary stable strategies and game dynamics." Mathematical Biosciences 40(1–2), 1978, pp. 145–156.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.