Condensadores y energía almacenada

Ajusta la capacidad del condensador, la tensión de la fuente y la resistencia. Elige cuántos pasos dará la fuente hasta alcanzar la tensión final y recorre la carga paso a paso: verás cuánta energía queda en el condensador y cuánta se convierte en calor. Más abajo podrás separar las placas de un condensador y comparar qué ocurre con la batería desconectada y conectada.

Ejemplo resuelto — Condensadores y energía almacenada

Carga del condensador	1,200 mC
Energía almacenada	7,200 mJ
Energía extraída de la fuente	14,40 mJ
Calor en la resistencia	7,200 mJ
Fracción de energía aportada que se conserva	50,00%
Intensidad al comenzar cada salto	12,00 mA
Capacidad inicial	354,2 pF
Energía almacenada inicialmente	1,771 µJ

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Condensadores y energía almacenada

Un condensador está formado por dos conductores separados por un aislante. Si colocas una carga +Q en uno y −Q en el otro, aparece entre ellos una tensión V. El cociente C = Q/V es la capacidad, que se mide en faradios. Para dos placas planas de área A separadas una distancia d, C = ε₀εᵣA/d. Un condensador cargado almacena una energía U = ½CV² = Q²/2C. Una fuente de tensión constante V aporta QV para transferir la carga Q: el doble de la energía que queda almacenada.

Qué significa cada símbolo

C: capacidad, en faradios: carga por unidad de tensión. Un faradio es una capacidad enorme; los condensadores de esta página tienen capacidades del orden de microfaradios y picofaradios
Q: carga de cada placa, en culombios; ambas tienen el mismo valor absoluto y signos opuestos
V: tensión entre las placas. En una fuente, es la tensión que mantiene sea cual sea la intensidad de corriente
U: energía almacenada en el campo entre las placas, en julios
εᵣ: permitividad relativa del material entre las placas: vale 1 en el vacío y casi 1 en el aire. Indica el factor por el que un aislante multiplica la capacidad
d: separación entre las placas. La capacidad es proporcional a 1/d: reducir la separación a la mitad duplica la capacidad
N: número de pasos iguales en que aumenta la tensión de la fuente. Cada salto es de V/N

Supone: Los componentes son ideales: el condensador no tiene fugas ni resistencia propia, la fuente mantiene exactamente su tensión y la resistencia cumple la ley de Ohm. Tras cada salto se espera durante 15 constantes de tiempo antes del siguiente; así quedan sin completar 3 partes de cada 10 millones del cambio de tensión. Las placas también son ideales. Se considera uniforme el campo entre ellas y se desprecia el que sobresale por los bordes, una buena aproximación cuando la separación es pequeña comparada con su anchura. La placa se mueve lentamente, de modo que la corriente que entra o sale de la batería no genera calor.

Con 10 pasos, las pérdidas se reducen a la décima parte 🖖

Pulsa Diez pasos. El condensador acaba igual que tras un solo salto: a 12 V, con 7,200 mJ almacenados. La resistencia, sin embargo, ha generado 720,0 µJ de calor en lugar de 7,200 mJ. Cada salto disipa ½C(ΔV)²; la reducción se debe al cuadrado. Con 10 saltos de 1,2 V se disipa 10 veces ½C(1,2 V)², la décima parte de ½C(12 V)². La fracción de energía aportada que se conserva pasa de 1/2 a N/(N+1): 90,91 % con 10 pasos y 99,01 % con 100. Si la tensión de la fuente aumenta de forma continua y suficientemente lenta, las pérdidas son casi nulas. En diseño de circuitos, este método se conoce como carga escalonada. Es una de las técnicas adiabáticas empleadas para excitar cargas capacitivas, como las puertas de los grandes transistores de potencia, las líneas de reloj y los sensores táctiles.

El calor total es independiente de la resistencia 🖖

Pulsa Con 10 Ω y después Con 1 MΩ. Al comenzar el salto, la intensidad es de 1,200 A en el primer caso y de 12,00 µA en el segundo: difieren en un factor de 100 000. La potencia disipada en ese instante difiere en el mismo factor. La fila del calor muestra 7,200 mJ en ambos casos. Una resistencia pequeña disipa la energía en un pico breve; una grande la reparte a lo largo de más tiempo. El área bajo la curva de I²R es la misma. Para entenderlo, sigue la carga: cada culombio sale de la fuente a 12 V y llega a un condensador cuya tensión media durante la carga es de 6 V. Esa diferencia de energía debe disiparse en el elemento que los une. El valor de la resistencia no interviene en el balance.

Al separar las placas, la energía almacenada puede disminuir 🖖

Pulsa Triplica la separación. A la izquierda, la batería se ha desconectado antes, así que la carga queda en las placas. El campo entre ellas depende solo de esa carga y se mantiene en 100 kV/m. La tensión, que es el campo multiplicado por la separación, se triplica hasta 300,0 V. También se triplica la energía almacenada: el aumento procede del trabajo que haces al tirar, 3,542 µJ. A la derecha, la batería mantiene los 100 V. La capacidad se reduce a un tercio, dos tercios de la carga vuelven a la batería y la energía almacenada baja a 590,3 nJ. Las placas siguen atrayéndose. Separarlas exige un trabajo de 1,181 µJ, exactamente la energía que pierde el condensador. La batería recibe ambas aportaciones: 2,361 µJ, el doble de tu trabajo. Ese factor de 2 se mantiene para cualquier área, tensión o par de separaciones.

Problema resuelto al detalle

La tensión intermedia óptima 6 pasos
Debes cargar un condensador de 100 µF a 12 V a través de 1 kΩ. La fuente de alimentación tiene una salida adicional que puedes conectar primero. ¿Cuánto calor se genera con un solo salto a 12 V? ¿Y si la salida adicional es de 4 V? ¿Y si es de 6 V? ¿Qué tensión conviene elegir para una única salida intermedia y cuántos pasos iguales hacen falta para limitar el calor al 1 % de la energía almacenada?

Abre este problema en la herramienta
1. Empieza por un solo salto. La fuente transfiere 1,2 mC con una tensión de 12 V y aporta 14,40 mJ. El condensador almacena ½CV² = 7,200 mJ, así que la resistencia genera 7,200 mJ de calor. Puedes comprobarlo en la herramienta con N = 1.
  
  $Q = C V = 1.2 mC, Q V = 14.40 mJ, \frac{1}{2} C V^{2} = 7.200 mJ$
2. Un salto de tensión ΔV aplicado al condensador genera un calor de ½C(ΔV)², sea cual sea la resistencia y la tensión inicial del condensador. Con una salida intermedia a x voltios hay dos saltos, cuyo calor total es ½C[x² + (12 − x)²].
  
  $E_{heat} = \frac{1}{2} C [x^{2} + (12 - x)^{2}]$
3. A 4 V: ½ × 100 µF × (16 + 64) V² = 4,000 mJ. Una salida intermedia a 8 V da el mismo resultado, porque solo se invierte el orden de los dos saltos.
  
  $x = 4 V : \frac{1}{2} \cdot 100 μ F \cdot (16 + 64) V^{2} = 4.000 mJ$
4. A 6 V: ½ × 100 µF × (36 + 36) V² = 3,600 mJ, la mitad que en un solo salto. Ajusta N = 2 en la herramienta y comprueba la fila del calor.
  
  $x = 6 V : \frac{1}{2} \cdot 100 μ F \cdot (36 + 36) V^{2} = 3.600 mJ$
5. Para encontrar la mejor tensión intermedia, busca el mínimo de x² + (12 − x)². Su derivada, 2x − 2(12 − x), se anula en x = 6 V, justo en el punto medio. El razonamiento se extiende a cualquier número de saltos: si su suma está fijada en V, la suma de sus cuadrados es mínima cuando todos son iguales. En ese caso vale N(V/N)² = V²/N.
  
  $\frac{d}{d x} [x^{2} + (12 - x)^{2}] = 2 x - 2 (12 - x) = 0 \Rightarrow x = 6 V$
6. Los pasos iguales permiten obtener el menor calor posible con una carga escalonada; por eso la herramienta solo ofrece esa opción. El calor es la energía almacenada dividida por N. Para reducirlo al 1 % de 7,200 mJ, necesitas N = 100.
  
  $N (\frac{V}{N})^{2} = \frac{V ^{2}}{N}, \frac{7 . 200 mJ}{N} \leq 0.072 mJ \Rightarrow N \geq 100$
Respuesta

7,200 mJ en un solo salto, 4,000 mJ pasando por 4 V y 3,600 mJ pasando por 6 V. Para una única salida intermedia, la mejor tensión es la del punto medio. Con varias salidas intermedias, conviene que los saltos sean iguales: calor = ½CV²/N. Limitar el calor al 1 % de la energía almacenada requiere 100 pasos. La última fila de la tabla muestra los 72,00 µJ resultantes. La herramienta admite únicamente pasos iguales. Una secuencia desigual, como la que pasa por 4 V, genera más calor; la suma de cuadrados del paso 2 permite calcular cuánto más.

$4.000 mJ (4 V) > 3.600 mJ (6 V), N = 100 : 72.00 μ J$

Ruta de aprendizaje

Lo que no es una resistencia

Referencias (2)

The parallel-plate capacitance and the three forms of the stored energy in the definition and the results table: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2. OpenStax. §8.1 "Capacitors and Capacitance" (Equation 8.3) and §8.3 "Energy Stored in a Capacitor" (Equation 8.10).
Stepwise charging as a real circuit technique, for the last sentence of the first insight: E. J. Carlson and J. R. Smith, "An Analytical Model for Stepwise Adiabatic Driver Energy Consumption." arXiv:2210.16680, 29 October 2022. §1.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.